대학수학능력시험/수학 영역/2015 개정 교육과정



  상위 문서: 대학수학능력시험/수학 영역

1. 개요[편집]

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2015 개정 교육과정 고등학교 수학을 범위로 하는 대학수학능력시험 수학 영역에 관한 정보 및 의견을 공유하는 문서.

2. 2022~2026학년도 (예정) (5개년)[편집]

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가형과 나형의 구분을 두지 않고 선택 과목 체제가 도입된다. 형식상 가형과 나형 체제를 폐지하여 문·이과 통합이 실현된 것처럼 보이나, 어차피 자연과학대학이나 공학계열로 진학할 학생은 '미적분'이나 '기하' 선택을 다수 상위권 대학에서 걸어놓은 상태[1]이며, 기존 인문계열 진학 응시생들도 '확률과 통계'를 그대로 고를 것이 예상되므로 기존의 가형과 나형 분리 체제에서 큰 변화되는 점은 없을 것으로 전망된다. 문제는 표준점수를 선택과목에 따라 조정하여 모든 응시생이 같은 리그에서 서열화된다는 것. 극단적으로 말해 수능을 30만 명이 보고 미적분 10만, 기하 10만, 확통 10만을 선택했다 치더라도, 1등급 1만 2천명 모두 미적분에서 나올 수 있다는 이야기이다.

이른바 자연계(이과) 진학자들의 필수 과정이었던 '확률과 통계', '기하', '미적분'에 모두 응시하는 형태가 아닌 3중 1택이 필연적이게 되어 이공계학회·대학들이나 학부모들 사이에서 반발이 심한 편이다. (기사: 2022 수능 '기하·과학Ⅱ 제외'에 거센 반발, [2022학년도 大入 개편 확정] 기하 '선택'화는 꼼수) 이후 과학계에서는 가, 나형 체제로 다시 환원하고 '가형' 범위에 '기하', '미적분', '확률과 통계'로 제정하라고 요구하였으나 받아들여지지 않은 모양이다.

공통 과목인 수학Ⅰ(지수·로그·삼각함수, 수열), 수학Ⅱ(다항함수의 미적분)에서 22문항, 선택 과목에서 8문항을 출제할 예정이다. 2012학년도 이래로 10년간 유지되던 문항 번호 체계가 개편된다. 문항 수는 기존과 동일하게 30문항이며, 객관식은 1~15번, 23~28번에 배치되고 주관식은 16~22번, 29~30번에 배치된다. 최고난도 문항은 22번(공통 과목) 혹은 30번(선택 과목)이다.

선택 과목인 '미적분(초월함수의 미적분)', '확률과 통계', '기하(2007 개정 기하와 벡터에서 일차변환과 공간벡터가 빠진 것)' 중 단 1택으로 제한된 상태에서 시험을 치른다.

2020년 5월 29일에 공개된 2022 수능 예시 문항만 본다면 다시 2005 수능 ~ 2011 수능 체제처럼 '골고루 어려운 문항을 넣어두는 경향'으로 복귀할 것임을 예고했다. 전체적으로 '가장 쉬운 문항(눈으로도 풀리는 문항)'을 없애 버렸고, 초반부터 까다로운 문제가 다소 등장하는 모습이다. 기존 문과 표본을 고려하여 수학Ⅰ, 수학Ⅱ에서 쉽게 낸다는 예상을 깼다. 수학Ⅱ '다항함수의 미분법' 문항이 공통 문항 주관식 킬러 문제로, 수학Ⅰ의 '삼각함수'가 도형 킬러 문제로 출제되며, 일각에서 예상했던 대로 '중학교 도형' 연계율을 높였다(외심이라는 용어가 직접적으로 등장함.). 이로써 아무리 사교육을 줄인답시고 '기하와 벡터' 같은 과목을 빼도 어떻게든 도형 문제를 어렵게 낼 수 있다는 것만 증명되었다. 선택 과목의 문항에선 최후반 주관식 문항도 상위권 학생을 제외하고는 만만치 않은 문제로 장식되었다.

이과생들에게 있어 2015 개정 교육과정부터 달라지는 학교별 과목 개설 체제가 2022학년도 수능 3중 1택 경향에 어느 정도 영향을 미칠 것이라는 의견도 있다. 일부 자율형 사립고등학교를 제외하면 '기하'가 3학년 2학기 과정[2]으로 차출되는 등의 행보를 보이고 있어, 이런 점에서 볼 때 '미적분'이 강제되는 것이나 다름없다고 보는 것이다. '확률과 통계' 및 '기하'를 수업받을 순 있을지언정, 정시로 대학 가는 상위권 학생들 입장에서는 사실상 확률과 통계를 선택하지 말라는 것과 다름 없어진다는 이야기다. 이공계가 크게 반발하는 이유도, 선택 받지 않은 과목에 대한 상대적 중요도가 혼탁해질 수밖에 없는 점을 우려하는 것이다. 과학과 중에 유사한 사례를 찾자면, '물리학Ⅱ', '화학Ⅱ'가 있다. 수능에서 선택을 안 하는 것도 있지만, 그 1차적인 원인은 실제 교내 '물리학Ⅱ', '화학Ⅱ' 개설률 및 수강률도 밑바닥을 기는 상황에 상관관계가 크다는 입장이다.

• 상세한 시험별 후기는 2022학년도 대학수학능력시험/의견 참조.

3. 2021학년도 (단년 체제)[편집]

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• 가형: 수학Ⅰ, 미적분, 확률과 통계
• 나형: 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 확률과 통계

기존 가형 준비생 기준으론 이차곡선, 공간도형 및 공간좌표, 그리고 벡터가 최초로 필수 출제 범위로부터 빠지는 세대이다. 개편 전부터 굉장히 많은 논란을 낳았지만 일단 확정이 난 상태이다. 이전에 간접 출제 범위로 다루었던 '삼각함수', '수열', '수열의 극한' 등이 다시 직접출제범위로 포함되었다. 벡터와 공간기하학의 부재를 보충하기 위해 평면 기하 파트를 어떻게든 최대한 어렵게 낼 것이라는 사교육계 관측도 있다. 또한 2012~2013학년도처럼 기초 내용에서 어렵게 내는 IQ 테스트의 형식으로 바뀔 가능성도 점쳐지고 있다.

나형은 유리함수/무리함수가 간접 출제 범위로 넘어가고 대신 '삼각함수', '지수함수와 로그함수'가 새롭게 들어왔다. 물론 불과 5년 전인 2016학년도 세대에서도 나형 준비생들도 '삼각함수'를 고1 때 배웠고, '지수함수와 로그함수'도 나형 직접 출제 범위였다는 것이 함정. 그리고 기존 '지수와 로그'의 함수 버전이기 때문에 크게 호들갑을 떨며 겁먹을 필요는 없을 것이다. 늘어난 부분만 보고 지레 겁먹을 부분이 아닌 게 빠진 부분도 그만큼 많기 때문이다. 기존 직접 출제 범위였던 '함수', '집합과 명제', '경우의 수', '수열의 극한', '구분구적법과 무한급수'은 아예 빠지게 되었고[3], '모비율', '분할'처럼 교육과정 탈락으로 다룰 수 없는 내용까지 생각하면 부담 측면에선 제로섬에 가깝다. 애초에 킬러 문항은 평가원이 새로운 시도를 하지 않는 이상 '다항함수의 미분/적분법'이 될 것이다. 그러므로 새로 추가된 파트는 끽해야 쉬운 4점, 어려운 3점 정도에서 출제되는 데에 그칠 것으로 예상되니 너무 스트레스 받지 말고 충실히 공부해 두자. 물론 2020년 3월 학평[4] 29번처럼 삼각함수 고난도문제도 나올 수 있다.

• 상세한 시험별 후기는 2021학년도 대학수학능력시험/의견 참조.

4. 과목별 의견[편집]

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4.1. 공통[편집]

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4.1.1. 수학Ⅰ[편집]

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2020년 5월 29일에 공개된 예시 문항에서는 공통 시험지에서 준킬러와 까다로운 문제들로 도배해놓았다. 당장에 1페이지부터 단순히 눈으로 계산하기 난해한 문제가 등장하고 있다. 시험 범위가 줄면서 변별력을 올리기 위해 당연한 수순이긴 했으나 실제 시험장에서 맞이했다면 당황했을 것이다. 전체적으로 수학Ⅰ이 수학Ⅱ보다 훨씬 까다롭게 출제되어 이 과목의 중요도가 급부상했다. 객관식 공통 킬러에서는 기존 21/29번 수준의 문항을 '삼각함수'로, 30번 수준의 문항을 '다항함수의 미적분'으로 출제하였다.

수학Ⅰ에서 삼각함수의 사인법칙 / 제2 코사인법칙이 오랜만에 수능 출제 범위로 들어오면서 기하추론력(각기하)을 수능 템포로 올려야 한다는 부담감이 생겼다. 출제자들이 '기하'(기하와 벡터)를 빼버린 것에 심술이 났는지 발문에 외심이 노골적으로 등장하는 등 오히려 중학 도형 연계성은 더 높아졌다.

직전의 2009 개정 교육과정 시험 체제과 비교하면 '나형(인문계)' 기준으로 삼각함수와 지수, 로그 함수가 들어와서 학업 부담이 늘었다고 하나, 어디까지나 직전 교육과정이랑만 비교했을 때 그런 것이다. 그 이전에는 삼각함수는 30년 넘게 고1 때 배웠고, 지수함수와 로그함수 역시 몇 십년 넘게 고2 때 문이과 공통으로 배우던 내용이므로, 그 이전에 비하면 오히려 학업 부담이 줄어들었거나 유지되었다고 할 수 있다. 구성 상의 논제를 마치 수준적인 순서로 일치시키면 안 된다. 예컨대 '벡터의 정의', '이차곡선'도 당장 고1 과정으로 끌어내려도 문제가 없는 수준이다.

• 지수함수의 밑이 다르고 지수가 같을 때, 지수가 0이 되는 부분을 기준으로 위치 관계가 바뀐다.
• 로그함수의 밑이 다르고 진수가 같을 때, 진수가 1이 되는 부분을 기준으로 위치 관계가 바뀐다. 주로 ㄱ.ㄴ.ㄷ 문제로 자주 나오는 유형이다.
• 직전 교육과정부터 정식 명칭으로 쓸 수 없지만 편의상 '지수방정식과 로그방정식', '지수부등식과 로그부등식'에 대해서 다룬다.[5]
  단, 대한수학회에서는 아직도 이 명칭을 쓴다.
• 지수함수와 로그함수 단원에서 나왔던 킬러는 크게 두가지가 있었는데 하나는 지수함수 / 로그함수의 '개수 세기' , 하나는 상용로그의 지표와 가수 문제이다. 그런데 지표와 가수는 상용 로그의 지표와 가수가 삭제되면서 낼 수가 없고 (상용로그 자체는 남아있음) '개수 세기'는 부등식의 영역 (수학 3단원)이 경제수학(교과)으로 넘어가면서 빠지는 바람에 내더라도 非킬러 수준에 그칠 것으로 보인다.
• 물론 순수 지수로그 만으로도 어느 정도 어렵게 낸 적이 있었으나[6]
  2019년 9모 나형 28번, 그 외 기출에 찾아보면 은근 있다.
  2019년 고2 6모 가형 30번에 데여서 여기서는 안 낼 가능성이 높다.[7]
  사실 문제 오류라고는 할 수 없다. 수학적으로 틀린 건 없는데, 출제자들조차도 눈치채지 못한 반례가 수백가지 존재했을 뿐.
• 삼각함수는 쉽게 나온다면 육십분법을 호도법으로 바꾸는 문제가 나오며, [math(180°=π)]를 기억하고 있으면 쉽게 풀 수 있다. 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하는 문제도 자주 출제되며, 길이는 [math(l=r\theta)], 넓이는 [math(\displaystyle S=\frac{1}{2}r^{2} \theta=\displaystyle \frac{1}{2}rl)]를 이용하면 된다. 참고로 부채꼴의 둘레의 길이가 일정할 때 부채꼴의 넓이가 최대일 때는 중심각이 2(라디안)일 때이다.
• 삼각함수에서 사인법칙, (제2)코사인법칙의 경우 2009 개정 교육과정(직전 교육과정) '삼각함수' 과정에 딱 한 번 빠졌던 내용이었는데, 이번 2015 개정 교육과정에 접어들면서 다시 부활한다. 2016학년도 이전 기출 문제를 찾아서 학습해야 한다. 그러나 당시에도 직접 출제 범위는 아니었기 때문에, 단일 문항으로 나오는 경우는 17년 만에 최초이다. 직접 출제 범위였던 세대가 지금 30대 중반이 넘어갔던 세대이며, 당시엔 계산이 워낙 조잡하므로 별로 도움은 못 된다. 그러므로 기타 사설 문제집을 풀어보는 것이 좋다. 당장 고2 2019년 11월 모의고사에서 이걸 활용한 문제가 가형28, 나형29에 공통으로 배치되었는데 가형 2.66%, 나형 0.52%[8]
  나형 응시자 200985 x 0.52% = 1045명
  ...의 기적이 나왔다. 참고로 이 시험 가형 1컷 80, 만점표점 155...[9]
  이게 어느정도냐면, 그 악명높은 2009학년도 대학수학능력시험 수리 가형이 1컷 81에 만점 표점 154이다..
  나형 1컷 76..
• 수열은 7차 교육과정 때는 가히 헬게이트를 펼쳐놨었지만, 2007 개정 교육과정 이래로는 딱히 부담스럽게 다루는 부분도 없고, 킬러의 반열에서 내려왔다. 다만 이는 수열이 간접 출제 범위였던 수학 가형 한정이고 수열이 출제 범위에 포함되었던 수학 나형에서는 2019학년도와 2020학년도 수능 모두 수열 문제가 파괴력이 있게 출제되어 상위권 변별에 일조하였다.[10]
  19수능 수학나형 29번 등차 등비수열 성질문제 정답률 19%, 20수능 수학나형 21번 수열 점화식 추론문제 정답률 32%
  [11]
  정답률은 메가스터디 기준
  이를 감안하면 2021 수능/모의평가에도 수열 단원이 준킬러 문제로 얼마든지 출제될 수 있음을 예상할 수 있다.
• 공개된 2022 수능 예시 문항(2020년 5월 29일)에서는 15번 문항(객관식 공통 마지막 문항)을 보면 수열에서 어느 정도 다시 급부상할 여지를 남겨두었다. 이전 교육과정으로 돌아가지 않아도 충분히 어려운 문항을 창조해낼 수 있는 평가원을 엿볼 수 있었다. 기존 문과생들을 의식해서라도 난이도 조절에 들어갈 수 있을 것이라고 예상했지만 결과는 준킬러 파티.
• 수열의 합으로부터 일반항을 구하는 과정의 빈칸을 채우는 문제, 부등식의 성립을 확인하는 문제가 주로 출제된다. 온갖 기괴한 방법을 동원하므로 앞뒤의 식에서 끼워맞추는 방법도 자주 쓰인다.

4.1.2. 수학Ⅱ[편집]

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2021학년도 대학수학능력시험에서는 나형 출제 범위에만 포함되고 가형에서는 제외되었으나, 2022학년도 대학수학능력시험부터는 필수과목으로 격상되었다. 여전히 킬러 문제는 2단원의 '다항함수의 미분법'일 가능성이 높다. 2020년 5월 29일에 공개된 2022 예시 문항에서는 '다항함수의 미분법'을 다소 가형 버전으로 바꾼 듯한 킬러 문제로 출제했다.

2016학년도 대수능을 기점으로 이과 시험에서 종적을 감추어버렸던 '다항함수의,, 미적분'이 6년 만에 다시 2022학년도에 직접 출제 범위로 부활함에 따라, 이과생들을 중심으로 한 입시 커뮤니티에서도 다항함수 관련 주제들이 다시 떡상하고 있다. 수학 강사 현우진은 이과생들이 문과생들보다 다항함수에 대한 이해도가 부족한 상황이라고 밝힌 바 있다. 수학Ⅱ가 아무리 미적분의 하위 호환 교과라 해도, 직접 출제 범위냐, 간접 출제 범위냐에 따라 성취도가 크게 갈렸던 듯 하다. 그러나 다항함수의 미적분을 필수 범위로 추가하는 과정에서 기하, 확통이 이공계의 필수 범위에서 빠진 것에 대한 논란이 많았다.

• 미정계수를 구하는 문제는 대부분 로피탈의 정리를 이용하면 빠르게 풀 수 있다.
• 2019 고2 전국연합학력평가 문항들 기준으로 보았을 때 그래프를 보고 연속/불연속 판별하는 문제가 여전히 단골 2점짜리 수준 문제로 출제되고 있다. 수능에서도 큰 기조 변화는 없을 것으로 보인다. 만일 조금 더 꼬아서 낸다면, 합성함수와 역함수를 연계하기도 한다.
• 가/나형 구분이 사라진 수능부터는 삼차함수, 사차함수를 활용한 그래프 추론 문제가 킬러 문제로 급부상할 것으로 보인다. 당시 역대 최강으로 평가받았던 2011 수능 가형 24번 문항처럼 나오는 게 이젠 아예 디폴트로 자리잡아버렸으니 연습을 놓치지 말 것.
• 기존의 자연계 기준에서는 다항함수 적분에서는 그렇다 할 킬러가 나온 적이 없다. 2017 수능 이후 나형에서 자리잡은 30번 역시 풀 만한 수준으로 출제된다. 가형 적분과 나형 적분 난이도 격차가 큰 만큼, 이 후속 과목인 미적분에서 등장했던 심화 적분 킬러가 예삿일이 아닐 정도로 매우 어려웠다(2017 수능, 2018 수능 가형 기준).

한국교육과정평가원 관할 시험의 수학Ⅱ에서는 미·적분을 통한 다항함수 관련 추론 문항이 교과서에서만 나오는 직접적인 내용만으로 대비하기엔 역부족이다. 그러므로 기출 문제를 갖고 경향성을 파악하는 것이 중요하다.

  자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서를 참고하십시오.

  자세한 내용은 삼차함수 문서를 참고하십시오.

  자세한 내용은 사차함수 문서를 참고하십시오.

4.2. 선택[편집]

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주장을 요약하면, 공통과목의 점수가 낮은(높은) 수험생이 많이 선택할 과목이라고, 선택과목이 그 수준에 맞게 쉬워지지(어려워지지) 않는다는 주장이다.[예시1] 예를 들어, 한 선택과목을 선택한 수험생의 공통과목 평균이 38점이라고 하면, 그 수험생들의 선택과목 점수 평균은 12점이 될 난이도로 출제되고, 한 선택과목을 선택한 수험생의 공통과목 평균이 57점이라고 하면, 그 수험생들의 선택과목 점수 평균은 18점이 될 난이도로 출제된다는 것이다.

평가원이 발표한 산출 공식의 원리는 '공통과목의 평균 점수가 높고, 선택과목의 평균 점수가 낮은 과목을 선택한 사람은 표준점수에서 우위를 점한다'이다. 이를 간단히 적용하면 다음과 같다.[12]

만일 한 선택과목을 선택한 수험생의 공통과목 평균이 38점인데, 그 수험생들의 선택과목 점수 평균은 16점이고, 한 선택과목을 선택한 수험생의 공통과목 평균이 57점인데, 그 수험생들의 선택과목 점수 평균은 16점이라면 분명 전자의 선택과목이 쉽고 후자의 선택과목은 어려웠을 것이다. 왜냐하면 공통과목을 비교해 보았을 때 전자의 수험생 수준이 낮고 후자가 높으나 점수가 비슷하다는 건 그만큼 시험의 수준도 전자가 쉽고 후자가 어려웠다는 것이다.

여기에서, 전자는 원래 선택과목에서 12점이 평균이 되어야 했으나 16점이 되어 버렸기 때문에 조정 과정에서 그 차이인 4점을 감점하게 된다. 반대로 후자는 원래 선택과목에서 18점이 평균이 되어야 했으나 16점이 되어 버렸기 때문에 조정 과정에서 그 차이인 2점을 가점하게 된다.[예시2] 바로 이 부분에서 선택과목의 점수 조정이 일어나게 된다.

그러므로 무슨 과목을 선택했든 결국 본인의 실력에 맞는 표준점수를 얻게 된다. 여기에서, 극단적으로 선택과목에서 24점 혹은 0점을 맞은 경우는 분명히 가점된 후자가 유리하나, 그렇지 않다면 결국 본인이 잘하는 과목을 선택하는 게 유리하다는 것이다. 그니까 3과목 다 만점받을 수 있는 거 아니면 소신대로 하라는 거다

참고로 공통과목은 선택과목과 관계없이 표준화되니 공통과목 열심히 하자(...).

4.2.1. 확률과 통계[편집]

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2021학년도 대학수학능력시험에서는 '가형'과 '나형' 모두 필수이지만, 2022학년도 대학수학능력시험부터서는 문·이과 구분을 두지 않는다는 명목으로 '미적분', '기하'와 함께 선택 과목으로 격하되었다. 기존 인문계열 대학 지망자가 다수 지망할 것으로 보이지만, 과거 수리 나형 수학Ⅰ 시절 '확통의 공포'[13]가 재림할 수 있는 부분이기도 하여 수리 가형의 '확률과 통계' 마냥 기피 선택 과목이 될 수도 있다. 늘 평가원의 전통대로 기초적인 부분에서 문제를 더럽게 어렵게 내는 것도 있고, 이 과목에서 작정하고 킬러 문제가 제대로 등장하면 감히 미적분이나 공간도형 따위가 범접할 수 없을 정도로 정말로 답이 없기 때문이다. 대표적인 예시가 그 악명 높은 오답률 100%[14] 2019학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 가형 30번 문제.

사설 인터넷 강의 수학 강사 현우진은 2022 수능부터 '확률과 통계' 난도가 소폭 상승할 것으로 예측하였다.관련영상[15] 그 이유는 문이과 공통으로 치르는 시험 특성상 문과 표본과 이과 표본이 합쳐지면, 공통 범위에서 어렵게 내는 것은 합리적으로 불가능하기 때문에 선택 과목에서 변별력을 가를 것이라는 해석이다.[16] 이에 따라 '미적분'은 지금보다 어려워지거나 17 수능, 18 수능 수준으로 갈 가능성이 있으며, '기하'는 작년 수능에서 빠졌기 때문에 재수생 유입이 필히 덜할 것이므로 킬러의 난도는 무난할 것이고, '확률과 통계'는 소폭 상승이라는 의견이다. 그런데 이 소폭 상승이라는 말이 굉장히 무서운데, 2020학년도 6월 모의평가에서 '확률과 통계' 문제 수준을 아주 살짝 올렸는데도 정답률이 우수수 떨어지는 진풍경을 보여준 적이 있다.[17] 그리고 이 문제는 20번대 중반부의 중상 수준의 문제였다. 그러나 이제는 당장 30번에 '확률과 통계' 문제가 뜰 수 있다는 것이다. 인문계열 진학 예정 수험생 입장에서는 이 점을 잘 생각해보아야 한다. 만점을 맞을 게 아니라면 별 상관없지만 만점을 맞아야 하는 입장이라면 공간 벡터가 탈락한 기하 30번이 더 수월할 수도 있다!

2020년 공개된 2022 수능 예시 문항에서는 확률+경우의 수+통계가 모조리 융합된 유형이 30번에 떴다. 선택형 문항이 총 8개인데, 다른 문항은 그리 어렵지 않은 것으로 보아 확통 선택자 한정으로 6+2 또는 7+1 기조를 보일 것이라는 관측이 있다.

경우의 수 문제의 경우 문제를 보자마자 '아 이건 중복조합이네'와 같이 곧바로 어떤 단원에서 배웠던 건지 떠올리기가 힘들다. 그래서 아예 직접 세어 보면서 규칙을 찾는 풀이법(일명 NGD Theorem)도 많다.[18] 4점짜리가 이러한 이산수학적인 창의적인 구성법을 요구하기도 한다. 문제가 어려워질수록 빼야 하는 경우의 수가 많아지는데, 어떻게 빼야할 지 당연히 알려줄 리 없기 때문에 그로 인해 고전하는 경우도 많다. 문제를 많이 풀어서 다양한 유형을 접하며 감각을 익혀야 이 단원에 익숙해질 수 있다. 평가원/교육청 기출 확통 박스형 빈칸 추론 문제들을 박스 없이 해결할 수 있는 수준이면 충분할 것이다.[19]

• 순열과 조합에서는 합의 법칙, 경우의 수, 직순열, 조합은 고1 수학으로 내려가면서[20]
  2007 개정 교육과정 때도 한 번 내려간 적이 있어, 이번이 두 번째로 내려간 것이다.
  다루지 않는다. 그러므로 복습이 필요하다. 특히 개념 복습도 중요하지만 그 자체로는 앙금 없는 찐빵 같은 존재라, 문제 복습을 더 확실히 해두어야 한다. 그리고 자연수의 분할, 집합의 분할이 삭제(심화 수학Ⅱ로 올라감)되었다.
• 확률은 주관식으로 나오면 피를 토할 수 있다. 아니나 다를까 2022 수능부터 인문계열 전용 선택 과목으로 전락할 가능성이 농후하기 때문에, 2013 이전 수능 때처럼 거친 문제가 마구 등장할 수 있기 때문.
• 순수 확률 문제는 사실상 순열과 조합의 응용이다. 조건부 확률과 이항분포가 관건.
• 통계 파트는 실력 싸움이라기보다는 그냥 안 외워서 까먹는 파트에 가깝다. 2014 수능에서 미분을 활용한 최댓값 구하기 융합 문항이 등장한 적 있으나, 기본적으로는 그냥 탐구 영역이라 생각하고 학습하는 것이 좋다.

4.2.2. 미적분[편집]

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2021학년도 대학수학능력시험에서는 가형 출제 범위에 포함되어 있으나, 2022학년도 대학수학능력시험부터는 선택과목으로 격하되어 기하나 확률과 통계 선택자는 응시하지 않는 과목이 되었다. 직전 2009 개정 교육과정의 메타 대로라면, 적분법에서 30번 킬러 문제가 뜰 수 있겠으나, 이번에 수학Ⅰ을 포함시키는 바람에 2013 수능 때처럼 '수열'이나 '지수함수'에서 킬러를 출현시킬 수 있다. 2020년 수능(작년)[21]에서도 30번 문제가 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하는 문제였으므로 이번 교육과정의 예비 실험이었을 지도 모른다.

(무한)등비급수 도형 관련 추론 문제는 직전 교육과정 세대 딱 한 번만 '공통범위'에서 빠지고 '인문계열'에서만 다루는 우스꽝스러운 일이 일어났었다. 혹시 재수생일 경우에는 이 유형을 집중적으로 학습하기 바란다. 특히 수학I에 나오는 사인법칙과 코사인법칙을 활용하는 문제는 충분히 킬러급으로 나올 수 있기 때문에 옛날 기출들을 풀어보는 것이 중요하다.[22] 문과용 범위였다가 이과용 범위가 되어버린 희한한 단원 중 하나이다.

삼각함수 파트는 지난 교육과정과 동일하다. 삼각함수는 극한과 미분 파트만 봐도 무리가 없을 것이다. 다만, 수학 I에 상당부분 추가된 삼각함수 파트는 소홀히 하지 말 것.

아직은 추측의 영역이지만, 기하가 수능 범위에서 제외됨에 따라 약화된 도형 관련 문제들이 여기에서나 등비급수에서 강화되어 출제될 수 있으므로 주의하도록 하자.

2022학년도 대학수학능력시험부터는 선택과목으로 격하되므로 2005~2011 수능 때처럼 30번이라고 하더라도 준킬러 수준으로 난도가 낮아질 가능성이 높다. 이는 2020년 5월 29일에 공개된 2022 수능 예시 문항에서도 확인할 수 있는데, 29번과 30번 문항이 둘 다 기존의 30번과 비슷한 비주얼을 보이고 있지만 실질적으로는 한 자리수 정답률이 뜰 정도로 크게 어려운 편은 아니다.

4.2.3. 기하[편집]

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2021학년도 대학수학능력시험에서는 이 과목이 수리영역 가/나형 모두 출제범위에 포함되지 아니한다. 이로써 이과수학은 수능 첫 시행 이후 최초로 기하 및 벡터 범위 전체가 사라지게 되었다. (문과는 6차 교육과정기인 1999학년도 대학수학능력시험부터 사라졌다.)

상위권 대학에서 ‘미적분’과 이 과목 중 하나를 선택하게끔 유도할 방침이기 때문에 공대, 자연대 지망 학생들은 유념해두어야 한다.

대학 학부 적응(이공계 및 상경계 한정)까지 생각할 때는 미적분을 선택하는 것을 추천하나, 수능에선 확통, 미적분보다 쉽게 나올 수도 있는 꿀과목이 될 수 있으니 선택을 잘 해야 한다. [23]

참고로 어차피 수능에서는 변별력을 위해 문제가 미적분 수준으로 어렵게 출제 될 수 밖에 없다. (아니면 미적분이 상대적으로 쉽게 나오든가) 기하는 주로 이공계 진학을 고려하는 학생들이 선택하는데 (말이 문이과 통합이지 상위권 이공계 가려면 기하or미적분 선택해야된다.) 수1,수2가 인문계,자연계 공통과목이기 때문에 선택과목인 미적분,기하에서 변별력 문제를 낼 수 밖에 없기 때문이다.(최상위권과 상위권을 선택과목인 미적분,기하에서 판가름하기 위해서이다. 공통과목인 수1, 수2에서는 변별력 문제를 못내는 이유가 인문계 진학을 고려하는 학생들이 썰려 나갈 수 있기 때문이다. 어차피 인문계 최상위권과 상위권이야 확통에서 충분히 썰리게 만들 수 있고.[24])

교육과정상 기하를 미적분보다 먼저 배우지만[25] 개념 난이도 자체가 많이 차이 나기 때문에 선행 학습을 하고 비교적 일찍 수능 준비를 하는 상위권 학생들은 미적분을, 비교적 늦은 시기부터 수능을 준비하고 개념이 쉬운 것을 선호하는 중, 하위권 학생들은 기하를 선택 할 것으로 예측된다. 무엇보다 21수능을 치룬 재수생들은 22수능에서 대부분 미적분(가형 + 수I/수II 상위권 나형)이나 확률과 통계를 선택 할 것으로 보인다.

2020년 5월 29일에 공개된 2022학년도 예시 문항을 보면 기존 2014~2020학년도 수능에서 나온 29번의 공간도형이 30번으로 옮겨 갔고, 29번 문항은 이차곡선에서 킬러 문제로 출제하였다. 반면 평면 벡터나 공간도형에서는 힘을 빼버리는 기조가 강하다.

과탐 I과목에 수학 선택 과목을 비유하자면 기하는 물리학 I, 미적분은 화학 I, 확률과 통계는 생명과학 I 정도가 되겠다.

• 이차곡선
  • 수학적 테크닉을 강요하는 문제가 나오기도 한다. 가장 신유형으로 각색하기 좋은 단원이기도 해서 그리 만만하게 볼 단원은 아닐 수도 있다. 실제로 2019학년도 6월 모평에서 신유형으로 매우 어렵게 등장했고(17, 19번), 이 문제 때문에 1등급 컷이 85점으로 내려갔었다. 포물선은 좌표 평면 상에서 준선과 초점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합으로 표현된다. 이를 통해 이등변삼각형을 유도하기도 한다.
  • 처음 배우는 학생들은 이차곡선은 쉽다고 생각해서 약간 무시하는 경향이 있고[26]
    상술했듯이 본래 고등학교 1학년 과정에서만 다루던 '중단원' 규모의 기초 수준에 불과했기 때문에 이런 인식이 생기는 것이다.
    , 벡터 파트를 더 열심히 공부하는데, 이차곡선은 2009 개정후 첫 시행인 2017, 2018학년도 모평과 수능에서 꾸준히 준킬러로 나오며 수험생들을 골 때리게 했었다. 또, 2019학년도 6월 모평 가형 19번과 2020학년도 9월 모평 가형 21번에서는 신유형으로 등장하며 상당히어렵게 나왔다. 비록 2015 개정 교육과정에서는 이차곡선에 음함수의 미분과 엮어서 나올 수는 없지만, 판별식으로 충분히 접선의 방정식을 유도할 수 있기 때문에 음함수의 미분과 엮지 않아도 매우 어렵게 출제할 수가 있다. 이차곡선의 기하적 성질이 접선과 엮으면 매우 방대하기 때문. 중학교때 배운 기하적 성질과 더불어 원의 방정식과 엮어서 나오면 그야말로 헬이 될 수도 있다. 이차곡선은 잠재적인 킬러 단원이므로 소홀히 공부하면 절대 안된다.

• 평면벡터
  • 벡터의 합 차 같은 경우에는 과학의 힘의 합성과 유사한 부분이 있어 이론 자체는 다른 단원보다 쉽게 느껴질 수 있다.
  • 내분 · 외분으로 어렵게 나올 순 있지만, 모평이나 수능에 내분 · 외분을 복잡하게 낸 사례는 10년 동안 딱 한 문제 밖에 없었다. 따라서 앞으로도 모평이나 수능에 나올지는 의문이지만, 나온다면 꽤 어렵게 나올수 있다.
  • 벡터의 내적의 경우 중학교 과정의 삼각비만으로 설명할 수 있도록 예각과 둔각의 경우를 나눠놨는데, 왜냐하면 교육과정상 고1 공통수학만을 배우고 바로 기하를 배울 수 있도록 하여 기하를 배우는 학생들은 삼각함수를 일절 배우지 않았다는 것을 전제로 하기 때문이다. 이에 따라 삼각함수를 써야 풀리는 문제는 나오지 못하게 됨으로써 코사인의 최대 · 최소를 묻는 문제도 어렵게 나올 수가 없게 되었다. 다만 수능에서는 삼각함수와 연계한 문제가 나올 수도 있겠지만, 실제로 연계할지는 미지수다.
  • 또한 같은 이유로 2009 개정 교육과정까지 각도 표시를 호도법으로 했었는데, 2015 개정 교육과정에서는 각도를 육십분법으로 나타낸다. 상술했듯이 삼각함수에 대한 교육이 전무하기 때문에 호도법을 쓰지 않는 것. 호도법은 수학Ⅰ의 삼각함수에서 맨 처음 나오는 개념이다.

• 공간도형과 공간좌표
  • 교육과정이 바뀌면서 코사인 법칙[27]
    삼각형 ABC에서 a²=b² + c² - 2bc cos A° . 여기서 a, b, c는 임의의 길이이므로 관점(?)을 다르게 봐도 성립한다.
    이 다시 들어왔기 때문에, 입체도형의 물리량을 다시 물어볼 수 있게 되었다. 변의 길이와 각도의 크기를 묻는 문제가 출제될 수 있다는 것에 유의해야 한다. 따라서 만약 시중 참고서나 문제집이 최근 경향만 다루고 있으면 비추천한다. 2017~2020 기출 문제로 공부하면 상당히 피볼 수 있으므로 2016 이전 기출 문제를 꼼꼼히 찾아볼 필요가 있다. 또 '쎈', '정석', '바이블' 등 시중 참고서에서는 코사인법칙 연계 관련 문제가 없다. 교육과정 해설서에도 다루지 말라고 굳이 막지는 않았지만, 기하 과목은 코사인법칙이 들어가 있는 수학I을 배우지 않고도 배울 수 있는 과목이기 때문에 시중 참고서에서는 코사인법칙과 연계한 문제를 잘 볼 수 없는 것으로 추정된다.
  • 이론서만 달달 외우고 문제를 푸는데, 사실상 이 파트에서 그런 식의 사회탐구식 공부법은 전혀 도움이 되지 않는다. 또 하나 이 부분을 어려워 하는 학생들은 주로 중학교 도형 수학이 제대로 안 되어 있는 사람들이 대부분이니 안됐지만 중학교 수학의 그쪽을 다시 공부하기 바란다. 중학교 2학년 때 배운 도형의 성질과 닮음 개념을 휘황찬란하게 곁들여주기 때문에 중학교 때 논 사람들은 상당히 힘들어한다. 각종 인터넷 강의 전문 사이트에서는 중학 도형 특강을 무료로 제공하고 있으니, 중학교 도형이 약한 수험생들은 그쪽 컨텐츠를 적극적으로 활용하기 바란다. 처음 배운 사람 입장에서 생소한 개념으로 꼽히는 삼수선 정리는 가히 평면 도형의 피타고라스 정리 만큼의 위상을 갖고 있다. 특히 문제에서 수직이 나오면 일단 삼수선 정리를 떠올리자. 직접 증명해보는 것도 좋은 방법이다. 일단 수선의 발을 내리고 삼수선 정리를 생각해 보면 뭘 물어보려는 지가 보인다.

• 특히 이면각을 구하는 문제를 풀때, 직각이 있는 곳에 임의로 좌표공간을 도입하고, 점의 좌표를 이용하여 법선벡터(교육과정 탈락 내용)를 설정함으로써 평면의 방정식까지 세우면 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 벡터의 외적까지 사용하면 문제가 빠르게 풀린다.
• 과거엔 공간도형 · 공간벡터의 연관성을 중시하여 이 두 단원을 엮어서 출제하였다. 공간도형 · 공간벡터, 소위 말하는 공도벡 파트는 이과 수학 수능 29번의 킬러 문제로 군림했었다.(30번은 미분 · 적분에서 출제하였다) 그러나 공간벡터 문제들이 모두 삭제되며, 이에 따라 공간벡터를 배우면 쉽게 풀 수 있는 공간도형과 공간좌표의 문제들도 대거 삭제된다. 특히 공간도형의 이면각이나 직선과 평면 사이의 각을 구하는 문제가 그러하다. 따라서 개정 후 공간파트의 문제는 다소 쉬워질 것으로 예상된다. 다만, 공간도형 특성상 그림을 그리는 게 평면보다 쉽지는 않기 때문에 세 개의 단원 중 체감 난도가 가장 높을 수 있다. 걱정하지마라, 2010학년도 9월 모의수능 23번 문제는 전혀 공간 벡터를 쓰지 않아도 되었으니...

5. 여담[편집]

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• 원래 공통 수학은 2021 수능 수학 영역에서 수능 직접 출제 과목으로 포함시켜 치르게 할 예정이었다. (당시 1안) 이유는 초안을 작성하는 과정에서 고1 수학을 넣는 것이 차라리 수학능력을 시험하는 데 있어 더 알맞다고 의견이 모아졌기 때문. 하지만 알 수 없는 이유로 수능 범위에서 빠지게 되었다. 이 뿐만 아니라 7차 교육과정부터 고1 수학이 수능 범위가 아니라는 이유로 건너 뛰는 바람에 수포자가 많아졌다는 설도 꾸준히 제기되기도 했다. 중간 기둥이 무너지면 후속 과정에 차질이 생기고, 사실상 높은 성적을 받기 힘들기 때문.[28]
  근데 이런 논리라면 중학교 도형이랑 통계 파트도 직접 출제 해야 한다. 나머지 대수, 해석, 이산수학 파트는 고1 수학에 와서 재설명을 해주고 있지만, 기하랑 통계는 이러한 부분이 전혀 없기 때문.
• 2023 수능부터 미적분 선택률에 대한 전망이 썩 좋지는 않다는 것이 중론이다. 유명 인터넷 강사 현우진에 의하면, 선택 과목으로 전환되는 2022 수능부터 이공계 지망생들의 선택 추이는 미적분보다 기하로 죄다 갈 것으로 예측하였다.링크(1:07:50) 참조[29]
  참고로 여기에서 현우진은 선택자수가 적은 과목에 대한 통계적 방법의 한계성(표본 왜곡 우려)도 지적했다.
  잘하면 수능 화학Ⅱ 꼴이 날 수도 있다.[30]
  화학Ⅱ도 처음엔 고전적인 응시자 수에 반응해 2014 6평엔 무려 1만 명을 넘길 정도로 응시자 수가 많았으나, 2009 개정 교육과정이 종료되는 2020 수능 기준으로 그 응시자 수는 2천 명대로 뚝 떨어졌다.
  미적분이 필수인 2021 응시생이자 2022 재수생들은 기하를 필수로 공부하지 않는다. 재학생들 입장에서는, 2022 때 그대로 미적분을 고를 것으로 예상되는 재수생들과 굳이 힘겨운 경쟁할 이유가 없고, 기하를 선택해도 대학에서 05~11수능때 서울대에서 미분과 적분을 강제하는 것과는 달리 별다른 제약을 하지 않기 때문에 미적분 선택자 수가 점점 떨어질 것이라는 것은 비교적 합리적인 예측이다.[31]
  하지만, 어떤 과목을 고르던 일괄표본이고, 선택과목의 점수는 이중보정을 거치기 때문에 생각만큼 선택과목 내에서 표본 차이는 21년 수능 결과가 나와봐야 알겠지만 중요하지 않을 가능성이 높다.
• 2022 입시부터 상위권 이공계열 대학에서는 수능에서 '기하', '미적분' 중에 1택이라는 조건을 걸어놓아, 사실상 확률과 통계가 문과용 과목으로 전락할 예정이다. 하지만 확률과 통계 역시 이공계에게 중요한 과목이라는 것을 간과해선 안 된다. 컴퓨터나 전산 업무와 직결되는 학과에서는 오히려 확통이 기하보다 더 중요할 수 있다.
• 중국 수학 교육과정에서는 기하에 해당하는 내용을 문이과를 막론하고 1~2학년 때 필수로 배운다. 반면, 확률과 통계은 무려 이과 전용 과정이며, 문과는 간단한 자료 정리와 통계 함수만 배운다. 2022 수능부터 기하가 이과 전용 과목, 확통이 문과 전용 과목인데 중국은 정반대라는 것이 기이하다. 이 때문에 이과 지망생들이 확률과 통계를 건드리지도 않을 경우 우려가 크다. 만일 그러하다면 '문과보다 머리는 나쁘면서(수학능력적 수학), 그저 아는 것만 더 많은(지식적 수학) 이과'로 남게 될 수 있다. 장차 PSAT를 준비하는 학생들이 이 과목을 못 하면 벽에 부딪치고 말 것이다.
• 2022학년도 수능에서 확률과 통계와 미적분 사이의 트릴레마에 끼어들게 되면서 선택자 수가 과연 세 과목 중 몇 위를 달릴 것에 대한 예상도 열띠다. '수만휘 출구 조사'라는 출처 불명의 자료가 떠돌아다닌 적이 있으나, 현재 삭제되었는지 거짓이었는지에 대한 여부가 불명인 상태다. 애초에 그 때 선택 동향과 미래 선택 동향이 언제나 일치한다는 보장은 없으며 모든 결과는 그 때 가봐야 아는 것이다. 유명 인터넷 강사 현우진에 의하면, 미적분보다 기하로 많이 갈 것으로 예측하였다.링크(1:07:50) 참조[33]
  참고로 여기에서 현우진은 바로 다음에 선택자수가 적은 과목에 대한 통계적 방법의 한계성(표본 왜곡 우려)도 지적했다. 참고로, 섭외한 사람들에게 굳이 틀린 답만 고르도록 훈련시킬 필요는 없다. 그냥 답안지를 백지로 제출시키면 그만이기 때문.
  • 계열에 관계없이 상대적으로 더 어렵고 학업량이 많은 미적분은 망설여지고, 확률과 통계에 응시하면 자연계열 대학 지망자는 서울 상위권 대학에 지원할 수 없게 되고, 인문사회계열 대학 지망자 역시 확률과 통계 특유의 답이 없는 킬러 난도로 인한 속칭 '확통의 공포'로 인해 기피되면서 사실상 간보기나 완충 지대적인 기하가 선호되고 있다. 선호도보다는 차악을 선택하자는 동향이라는 게 더 설득력 있는 분석이다. 입시에 능통한 상위권 입장에선 확통 30번보단 차라리 기하 30번이 낫다고 여길 것이다.
  • 실제로 문이과를 막론하고 '기하'만 응시해도 서울대학교 및 서울 상위권 대학에 지원이 가능하다.[32]
    대한민국 교육부가 19년 4월 30일 공개한, 지금까지 수능 선택과목 제한이 확정된 20개 대학의 2022학년도 수능 과목 선택 현황에 따르면 자연계열의 경우 8개교가 수학에서 '기하' 또는 '미적분'을 지정 필수화하였고, 이들 대학은 모두 서울 소재 상위권 대학들이다. 한편 인문계열 수학에서 '확률과 통계' 선택만 인정한 학교는 서울과학기술대학교 한 곳밖에 없었고, 나머지 19개교는 선택과목 제한을 두지 않았다. 그나마도 동년 10월 발표 자료에 의하면 서울과기대도 인문계열 수학 영역 선택과목 제한을 해제했다고 한다. 관련기사
  • 2022 수능 이후 기하 선택에 대한 낙관론이 또 하나 있는 게, 이전의 2021 수능 세대의 재수생 입장에서는 이 기하가 포함되지 않은 시험을 치른다는 것이다. 보통 2021 수능 세대가 재수할 경우 당시 범위에 포함되었던 '미적분'(가형 한정)이나 '확률과 통계'를 그대로 고를 것으로 예상되는 가운데, 2021 수능 범위에 포함되지 않았던 '기하'는 상향 평준화로 인한 문제 난도 상승에 대한 우려가 다른 두 과목보다 당연히 떨어질 수밖에 없다. 즉, 매해 수능 수험생의 약 20%가 재수생인 상황에서 이 기하의 선택률이 필히 낮을 것이므로, 재학생(이른바 현역) 입장에선 이 과목을 고르는 게 부담이 덜할 수밖에 없다.
  • 실제로 수능에서 어떻게 될 지는 그 때 가 봐야 안다. 대부분의 고등학교나 입시에서는 인문사회대학에 진학 희망자들에게 '확률과 통계'를 선택할 것을 불문율로 생각하고 있다. 인문계열 재수생과 경쟁하는 것이 자연계열 현역과의 경쟁보다는 낫다고 생각하는 것도 있을 수 있고, 교과서도 얇으며, 무엇보다 예시문항의 난도가 가장 낮다. 그래서 기하 선택자들은 예상보다 높진 않을 것이다.
    • 다만 위의 불문율을 무시하고 기하를 선택해도 상관은 없다. 학교의 개설 사항은 필수 사항과 달리 선택하지 않는다고 해도 원서 접수 자격이 박탈되지 않는다. 실제로 2019년 10월 43개대 선택과목 지정 현황에 따르면 아직까지 인문사회대학에서 확통을 필수 지정한 대학은 한 곳도 없다(지난 4월 자료에 의하면 서울과학기술대학교만 인문계열 수학에서 '확률과 통계' 필수 지정을 하였으나 그나마도 이후에 지정을 해제했다). 다만 일부 대학에서는 입시에 마이너스가 될 수 있으므로 인문사회대학 지망자들은 주의해야 한다.
    • 여담이지만 인문계열 대학 진학 예정자 중 '기하' 선택이 많다면, 상당한 호재가 될 것이다. 국제적으로 일본, 싱가포르 등에서는 벡터의 기본적인 내용 정도는 문과도 배우고 있기 때문이다. 그러다 다음 교육과정에서 공통 범위로 들어오거나, 아예 수학I과 합쳐질 수도 있다
• (자연계 기준) 2021 수능에서 기하가 빠지는 바람에 공학 계열 입장에서는 벡터를 안 배우고 공대에 진학하는 학생들이라는 존재와 맞닥뜨려야 하고, 이 때문에 반발도 크고 이목도 당연히 쏠릴 수밖에 없게 되었다. 그래서인지 2022 수능 3개 선택 과목(확통, 미적, 기하) 중 기하 문서의 기여도가 압도적이였다.

6. 관련 문서[편집]

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• 다항함수/추론 및 공식
  • 삼차함수
  • 사차함수