아인슈타인 방정식
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1. 개요[편집]
아인슈타인 방정식(Einsteinsche Feldgleichungen / Einstein Field Equations / Einstein 方程式)은 일반 상대성 이론의 장방정식으로, 고전역학의 중력장 방정식을 일반화하는 텐서 방정식이며 독일 물리학자 알베르트 아인슈타인이 1915년에 발표하였다.
이 방정식은 일반 상대성 이론의 정수를 그대로 담고 있다. 방정식의 좌변은 시공간의 기하학적 정보, 즉 시공간이 어떻게 휘어져있나를 나타내고, 우변은 물질(에너지)의 분포를 나타낸다. 직관적으로, 아인슈타인 방정식은 물질(에너지)의 분포가 시공간의 휨에 어떻게, 얼마나 영향을 끼치는가를 나타낸다.
2. 설명[편집]
일반 상대성 이론에서는 중력을 4차원 시공간의 곡률로 설명한다. 따라서, 일반 상대성 이론의 중력장 방정식은 다음과 같은 구조로 이루어져야 한다. 이것이 정확하게 아인슈타인 방정식이다.
[math(\,\,G_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
(시공간의 곡률) [math(=)] (물질 – 에너지)
(시공간의 곡률) [math(=)] (물질 – 에너지)
[1] [math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R)]
간단하게 설명하면 이게 끝인데, 좀 더 들어가자면
(1) 무엇에 관한 방정식인가? [math(G_{\mu\nu})]는 메트릭 텐서 [math(g_{\mu\nu})]의 이계 미분이므로, 텐서장 [math(g_{\mu\nu}(\mathbf x))]에 관한 이계 미분 방정식이다. 정확히는 이계 비선형 편미분 방정식이다. [math(g_{\mu\nu})]는 시공간의 기하학적 구조를 말해주는 가장 기본적인 함수로, 일반 상대성 이론의 중력장(중력 퍼텐셜)과 같은 역할을 한다. 그 구체적인 의미는 후술.
(2) 방정식은 몇 개인가? [math(\mu, \nu)]는 각각 [math(t=x^0, x=x^1, y=x^2, z=x^3)]로 지정된 네 좌표의 첨자를 나타낸다. 따라서 양변은 총 [math(4 \times 4 = 16)]개의 성분으로 되어 있으며, 양변에는 대칭성 ([math(G_{\mu\nu} = G_{\nu\mu})])이 있으므로 총 [math(10)]개의 방정식이다.
(3) 어떻게 활용하는가? 이 방정식은 [math(g_{\mu\nu})]의 분포를 통해 시공간의 기하학적 구조를 결정한다. 이 안에서 어떤 일이 일어나는지 확인하려면 중력만을 받는 물질들이 어떻게 움직이는지 알기 위해 운동 방정식, 즉 측지선 방정식이 필요하다. 이 둘을 조합하면 다음과 같은 구조이다.
주어진 물질 분포를 어떤 식으로 나타낼 지(구형 대칭, 축 대칭 등) 표현
→ 아인슈타인 방정식 → 시공간 지형 결정
→ 측지선 방정식 → 중력 현상 설명
→ 아인슈타인 방정식 → 시공간 지형 결정
→ 측지선 방정식 → 중력 현상 설명
2.1. 역사[편집]
특수 상대성 이론을 기반으로 뉴턴의 중력 이론을 수정하려 한 알베르트 아인슈타인이 등가 원리(1907, 1911)를 거쳐 민코프스키의 시공간과 리만 기하학을 결합한 일반 상대성 이론을 1912년 쯤부터 구상하였고, 아인슈타인 방정식의 기본적인 개념은 1913년 발표된 아인슈타인-그로스만[2] 이론에서 처음으로 구체적으로 제시된다.
아인슈타인은 새로운 중력장 방정식이 "뉴턴 중력의 유도, 빛의 굴절량 계산, 수성의 근일점 세차운동 계산" 세 가지를 해내야 한다는 분명한 목표의식을 갖고 있었고 당시 그 둘은 이 목표를 달성하는데 실패했기 때문에 방정식을 정식으로 제시하지는 못했다. 이후 우여곡절 끝에 (불완전한 방정식을 통해) 1915년 11월 수성의 근일점 세차운동을 정확히 계산하는 데 성공하자 아인슈타인은 자신의 이론과 중력장 방정식의 성공을 확신하였고, 그 다음 주 중력장 방정식의 정확한 형태를 제시하면서 일반 상대성 이론 또한 완성되었다.
아인슈타인 방정식은 일반 상대성 이론의 범위 안에서 좌변에 메트릭 텐서의 상수배를 추가함으로써 자연스러운 확장이 가능하다. 1917년에 발표된 아인슈타인의 우주론 논문에서 이 추가항이 처음 제안되었는데, 이는 공간에 음압을 부여하여 척력을 형성하며, 원래는 당대의 정적 우주관을 반영하려는 목적이 있었다. 1929년 증명된 허블 법칙은 이 우주관을 부정하였기에 아인슈타인은 추가항을 철회하였다.
하지만 우주관이 부정된다고 해서 추가항 자체가 부정되는 것은 아니며, 아인슈타인 방정식의 변형으로 여겨지다, 이후 우주의 가속팽창이 관측되면서 이를 설명하기 위한 수단으로 공식화되었다.
2.2. 활용 범위[편집]
아인슈타인 방정식의 활용 범위는 일반 상대성 이론의 활용 범위와 똑같다. 원칙적으로는 중력이 관여되는 모든 상황에 이 방정식이 활용될 수 있다. 다만 방정식을 풀기가 매우 까다로워서 보통은 몇가지 특수한 상황에 대한 해(특수해)를 미리 만들어놓고 거기에 연구되는 상황이 속하는 걸 적용시키는 경우가 많다. 아니면 계산에 슈퍼 컴퓨터를 동원하는 수치 상대론을 활용할 수도 있다.
양자역학의 슈뢰딩거 방정식과 마찬가지로 고전 역학이 적용되는 상황에서는 대부분 기존의 중력장 방정식이 유효하지만, 상대론적 상황(빠른 속도, 높은 밀도)에서는 슬슬 이 방정식을 꺼내들어야 한다.
아인슈타인 방정식은 밀도가 크고 무거운 천체를 중심으로 한 중력장(시공간)을 기술하는 슈바르츠실트 해, 라이스너-노르드스트룀 해, 커(kerr) 해 등을 통해 빛의 적색편이, 중력렌즈효과, 주변 행성들의 궤도(특히, 공전궤도 세차이동)와 블랙홀의 물리적 성질 등을 모두 다룰 수 있다. 매우 작게 요동하는 중력장에 대해서도 방정식을 선형근사시켜 중력파의 물리적 성질과 그 검출 방법에 대해 말해주기도 하며, 심지어 우주 전체에 균일한 공간 기하학을 가정할 경우 나오는 FLRW 해와 프리드만 방정식은 우주 공간의 성질과 진화를 말해주며 허블 법칙 등 다양한 관측 결과들을 잘 설명할 수 있다.
하지만, 이 방정식이 만드는 특이점(유한한 질량이 무한히 작은 영역에 밀집된 것), 특히 블랙홀 중심의 특이점이나 태초 우주의 특이점을 물리학적으로 설명이 불가능하다는 것이 중요한 한계이다. 이것을 설명하기 위해선 매우 작은 요동을 설명하는 양자역학과의 결합이 필수적이지만 현재까지 그러한 시도 중 완벽히 성공한 사례는 보기 어렵다. 이것은 현대 이론 물리학의 최대 숙제 중 하나이다.
2.3. 해의 기하학적 의미[편집]
아인슈타인 방정식의 모든 해는 메트릭 텐서 [math(g_{\mu\nu})]의 4 x 4 성분으로 주어진다. 이것은 확실히 기존 중력 퍼텐셜에 비해선 생소하므로 가장 간단한 근사해 중 하나인 뉴턴 극한Newtonian limit을 통해 그 의미를 자세히 알아보자. 뉴턴 극한은 태양계와 같이 중력이 약한 환경에 적용되는 해이므로, 중앙에는 태양이 있다고 가정하자. [math(\Phi)]는 기존의 중력 퍼텐셜이다.
[math(dt^2, dx^2, dy^2, dz^2)] 등 앞에 붙은 각각의 계수는, 직관적으로 시공간에 좌표 격자를 놓았을 때 이웃하거나 교차하는 그리드 사이의 거리/각도, 정확히는 각 점에 위치한 기저 벡터 간의 내적([math(\mathbf{e_{\mu}(x) \cdot e_{\nu}(x)})])을 의미한다. 이들을 적절한 규칙으로 조합하면, 시공간 위 임의의 두 점 사이의 좌표값 차이 [math((\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z))]로부터 둘 사이의 실제 시간 또는 거리, 즉 고유 거리proper length ([math(ds)]) / 고유 시간proper time ([math(d\tau)])를 계산할 수 있다. 그 규칙은 정확히
[math(\displaystyle ds^2 = -c^2d\tau^2 = \sum_{\mu, \nu}\boldsymbol{g_{\mu\nu}}\Delta x^{\mu}\Delta x^{\nu}\,\,(\mathrm{m^2}))]
이다.[4] ((거리) = (시간) x (속력)이므로 광속 [math(c)]로 단위를 맞춰준다.) 예를 들어 [math(dx^2)] 앞에 붙어 있는 [math(1 - \frac{2\Phi}{c^2})]는, 시공간 상의 점 [math(\mathbf x = (t, x, y, z))]과 [math(\mathbf x' = (t, x + 1, y, z))] 사이의 실제 거리(고유 거리)는 [math(\sqrt{1 - \frac{2\Phi(\mathbf{x})}{c^2}}\,\mathrm m)]임을 의미한다. 마찬가지로, [math(\mathbf y = (t, x, y, z))]와 [math(\mathbf y' = (t + 1, x, y, z))] 사이의 실제 시간 간격(고유 시간)은 [math(\sqrt{1 + \frac{2\Phi(\mathbf{y})}{c^2}}\,\mathrm s)]이다.
한편 [math(dxdy)] 앞의 계수는 [math(0)]인데, 이는 [math(x)] 축과 [math(y)] 축이 서로 수직임을 의미한다. 따라서 이 좌표계에서 각각의 좌표축은 모두 수직이다.
이제, 이러한 거리 및 시간이 각 점에서 어떻게 측정되었는지 서로 비교해보자. 태양에서부터의 거리, 즉 [math(r)]을 증가시켜보면 [math(\Phi)]는 커지면서 [math(0)]에 수렴한다. 따라서, 태양으로부터 멀어질수록 좌표격자가 담고 있는 (공간 상의) 부피는 대략 [math((1 - \frac{2\Phi}{c^2})^{3/2} \mathrm m^3)]으로 점점 작아진다.
시간 역시 같은 방식으로 생각하면 된다. [math(r = r_1)]에 서있는 관찰자는 1 좌표 단위([math(\Delta t =1)])마다 [math(\sqrt{1 + \frac{2\Phi(r_1)}{c^2}}\,\mathrm s)] 만큼의 흐름을 경험한다. 반대로 말하면, 좌표를 기록하는 제삼의 관찰자는 이들을 모두 똑같은 1초([math(t)]는 각각의 점에서 느끼는 시간 자체가 아니라, 저마다의 흐름을 하나의 실수로 표현하는 가상의 시간이다.)해석하기 때문에, 태양에 가까이 있을수록 더 적은 시간을 쭉 늘여서 기록하게 된다. 따라서, 태양에 가까이 있을 수록 시간은 느리게 흐르는 것으로 보게 될 것이다.
궁극적으로는 [math(ds^2 \rightarrow -c^2\,dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)]이 되면서 공간 격자는 평범한 [math(1\mathrm m^3)]짜리 정육면체가 되며, 각 점에서 시간은 [math(1)]초씩 균일하게 흐르게 된다. 이는 특수 상대성 이론의 평평한 시공간에 해당한다. 즉, 태양에서부터 충분히 멀리 떨어지면 평평한 시공간으로 수렴한다.
이런 식으로 각 점에서 좌표계가 어떻게 놓여있는지, 즉 좌표격자의 크기는 어떤지, 축 사이의 각도는 어떤지를 통해서 시공간의 지형을 정확하게 확인할 수 있다. 이러한 정보는 16개의 [math(g_{\mu\nu})]에 전부 담겨있다. 또한 주변의 물체들은 이와 같이 휘어진 시공간을 통과하면서 운동이 왜곡됨을 비유클리드 기하학에서의 경험을 통해 직관적(혹은 추상적?)으로 이해할 수 있다.
사실, 지금까지 설명한 것은 이 좌표계에서 어떤 식으로 시공간의 정보를 받아들이는지에 관해서이다. 실제로 물리현상이 어떻게 일어나는지와는 약간 다른 문제이다. 다른 좌표계를 선택할 수 있다면, 이 좌표계에서는 물리현상을 다르게 기술할 것이다. 실제로 모든 좌표계는 (특별히 선호되는 좌표계 없이) 평등하게 물리법칙을 기술할 수 있으며, 이는 일반 상대성 이론의 중요한 특징이다.
3. 표현[편집]
아인슈타인 방정식의 표현은 부호 설정, 단위계 선택, 우주 상수의 도입 여부에 따라 다양하게 나타날 수 있다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
[4] 즉, [math((g_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} \ -c^2(1+\frac{2\Phi}{c^2})&0&0&0 \\ 0&1 - \frac{2\Phi}{c^2}&0&0 \\ 0&0&1 - \frac{2\Phi}{c^2}&0 \\ 0&0&0&1 - \frac{2\Phi}{c^2} \end{pmatrix})]임을 알 수 있다.
3.1. 부호 규약 (sign convention)[편집]
연구자, 혹은 분야에 따라 계량 텐서, 리만 텐서, 아인슈타인 텐서의 부호를 다음과 같이 선택함으로써 일반 상대성 이론의 전반적인 표기 부호가 달라진다. 다음은 MTW의 Gravitation(1973)에서 정리한 방식이다. 문서의 표기는 전반적으로 MTW가 따르는 LLSC(Landau-Lifshitz Spacelike Convention, 1962), 즉 ( space-like / + / + )를 따르고 있다. [5]
(1) 계량 텐서 : [math((-, +, +, +))] (space-like) 혹은 [math((+, -, -, -))] (time-like).
(2) 리만 텐서 : [math(+\,R^{\alpha}_{\,\,\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu} - \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu} + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\nu\beta} - \Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu})]
(3) 아인슈타인 텐서 : [math(\displaystyle G_{\mu\nu} = + k T_{\mu\nu})]
이 때, (2)와 (3)은 [math(+\,R_{\mu\nu} = R^{\alpha}_{\mu\alpha\nu})]로 상호 호환된다.
3.2. 단위계[편집]
어떤 단위계를 사용하느냐에 따라서도 모양이 달라질 수 있다. 원칙적으로, [math(\displaystyle k = 8 \pi G / c^4)]이므로
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}T_{\mu\nu})]
[5] Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), "Gravitation", W. H. Freeman, Princeton University Press: 501
이다. 다만, 실제 사용 시에는 거의 이렇게 쓰지 않는다.
먼저 특수 상대론에서처럼, 광속 [math(c)]의 존재는 매우 계산을 번거롭게 한다. 따라서 [math(c = 1)]이라 두고 나중에 단위를 맞춰서 [math(c^2, c^4)] 등을 곱하는 방식으로 후처리를 하는 방식을 사용할 수 있다.
[math(G_{\mu\nu} = 8 \pi G\,T_{\mu\nu})]
일반 상대론에서는 추가로 중력 상수 [math(G)] 역시 [math(c)]처럼 계산을 번거롭게 한다. 따라서 [math(G = 1 = c)] 라고까지 둘 수 있다. 이것을 일반 상대론에서 많이 사용하며, 기하학 단위계(Geometrized Unit system)라고 한다.
[math(G_{\mu\nu} = 8 \pi\,T_{\mu\nu})]
3.3. 우주 상수 (cosmological constant)[편집]
마지막으로 우주 상수 [math(\Lambda)]를 도입하면 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
우주 상수는 처음 방정식이 완성되었을 때에는 없었으나[6] 1917년 아인슈타인의 우주론 논문에서 방정식을 이론적으로 확장하고 당대의 정적 우주관을 반영하려는 목적으로 처음 도입되었다.[7] 이러한 시도는 아인슈타인의 입장에서 실패적이었는데, 우주 상수로 '만들어낸' 정적 상태는 수학적으로 불안정한 평형인데다(시계추가 아래방향이 아니라 위방향으로 달려있는 것과 비슷하다.), 이후 1929년 에드윈 허블이 외부은하의 일관된 적색편이를 실제로 관측하였기 때문이다.
아인슈타인은 허블의 관측 사실을 듣고 우주 상수 가설을 폐기하였으나, 사실 우주 상수는 아인슈타인 방정식에 자연스럽게 추가할 수 있는 가장 간단한 수정항이기에 이론적 차원에서 그 의미에 대한 연구가 이루어졌고(물론 0이거나 있더라도 거의 없는 값으로 여겨졌지만), 더욱이 최근 관측 결과가 말해주는 가속 팽창은 우주 상수에 의한 효과와 굉장히 유사하기에 실질적으로도 연구할 가치가 더욱 커졌다. 따라서 현재에는 우주 상수가 들어간 아인슈타인 방정식이 보다 일반적인 형태로 제시되고 있다. 하지만, 우주론 분야가 아닌 이상 우주 상수는 거의 무시할 수 있다. 한편,
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu} \quad \Leftrightarrow \quad G_{\mu\nu} = k \biggl(T_{\mu\nu} - \frac{\Lambda}{k}g_{\mu\nu} \biggr))]
[6] A. Einstein (1915), "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsberichteder Preussischen Akademie der Wissenschaftenzu, Berlin, 844-847[7] A. einstein (1917), "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie", Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 142-152.
로 우주 상수는 좌변의 기하학 항 혹은 우변의 물질 항으로 자유롭게 바꾸어 표현할 수 있다. 우주 상수를 물질적 양으로 볼 경우 [math(\displaystyle (T_\Lambda)_{\mu\nu} = - \frac{\Lambda}{k}g_{\mu\nu})]는 진공 에너지(vacuum energy)와 관련이 있다. 이 식을 완전유체 공식과 대응시켜보면[8] [math(\displaystyle \rho_\Lambda = -\frac{p_\Lambda}{c^2} = \frac{\Lambda}{kc^2})]를 진공 에너지 밀도로 정의할 수 있다. [math(\Lambda>0)]일 경우, 이 에너지는 음압 [math(\displaystyle p_\Lambda = -\frac{\Lambda}{k})]을 형성한다.
[math(-{8\pi } T_{\mu\nu} = \displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} )] [9]
[8] [math(\displaystyle T_{\mu\nu} = \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right)u_{\mu}u_{\nu} + pg_{\mu\nu})][9] Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, 발행인 Clarendon Presshttps://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.177229 §129 P319
는 변수로서 우주 상수 [math(\Lambda)]를 다루는 리처드 톨먼(Richard Chace Tolman)의 표현식이다.[10]
4. 유도 과정[편집]
다음은 아인슈타인의 접근법과 비슷하며, 대부분의 교과서에서 가장 먼저 설명한다. 방정식을 유도하는 것 자체는 오래 걸리지 않으나 그 전까지 미분 기하학 지식을 쌓는 데 시간이 훨씬 오래 걸린다. 여기에 소개된 것은 그 결론부이다.
계량 텐서 [math(\mathbf g)]는 시공간의 기하학적 정보를 담고 있으므로, 일반 상대성 이론의 결론에 따라 중력장을 표현함과 동시에 중력원이 되는 물질 - 에너지와 연결되어 있다. 한편, 물질 - 에너지는 상대성 이론에서 스트레스 - 에너지 텐서 [math(\mathbf T)]로 일반화된다.
따라서, 아인슈타인 방정식의 유도는 계량 텐서 [math(\mathbf g)] 와 그 미분으로만 구성된 텐서 [math(\mathbf G?)]와 스트레스 - 에너지 텐서 [math(\mathbf T)]를 어떻게 연결짓느냐의 문제가 된다. 이 때, 아인슈타인 방정식은 어떤 상수 [math(k)]에 대하여
[math(\mathbf{G?} = k\mathbf{T})]
[10] Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman §26.5. DYNAMIC EQUATION AND BOUNDARY CONDITIONS d. Einstein Field Equations P693 http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf
가 된다. 가장 간단한 계량 텐서의 미분 텐서는 곡률을 표현하는 리만 텐서이다. 하지만 리만 텐서는 차수가 스트레스 에너지 텐서와 맞지 않아서 바로 사용할 수 없다. 아인슈타인 방정식에 들어갈 아인슈타인 텐서 [math(\mathbf G)]는 다음 세 가지 조건을 만족시켜야 한다.
(1) [math(\Lambda = 0)], [math(\mathbf T = 0)]으로 시공간이 평평할 때 [math(\,\mathbf G = 0)]이다.
(2) 계량 텐서와 리만 텐서만으로 얻어진다.
(3) 리만 텐서에 대해 선형이며, [math(\mathbf T)]가 만족시키는 기본적인 수학적 성질(대칭성, 2차 텐서)과 공변 보존([math(\mathbf {\nabla \cdot G} = 0)])을 만족시킨다. 이 공변 보존은 에너지 - 운동량 보존법칙을 표현한 것이다.
발산 조건을 제외한 나머지 조건을 만족시키는 텐서는 언제나 리만 텐서의 대각합인 리치 텐서 [math(\mathbf R)]와 그 대각합인 리치 스칼라 [math(R)]에 대하여 [math(\displaystyle \mathbf{R} + \alpha\mathbf{g}R)] 꼴이며, 공변 보존은 비앙키 항등식의 축약된 버전을 사용하면 [math(\displaystyle {\mathbf{\nabla\,\cdot}\biggl(\mathbf{R} - \frac{1}{2}\mathbf{g}R \biggr)} = 0)] 임을 보일 수 있다. 따라서 [math(\displaystyle \mathbf G = \mathbf{R} - \frac{1}{2}\mathbf{g}R)] 이다. 즉, 아인슈타인 방정식은(2) 계량 텐서와 리만 텐서만으로 얻어진다.
(3) 리만 텐서에 대해 선형이며, [math(\mathbf T)]가 만족시키는 기본적인 수학적 성질(대칭성, 2차 텐서)과 공변 보존([math(\mathbf {\nabla \cdot G} = 0)])을 만족시킨다. 이 공변 보존은 에너지 - 운동량 보존법칙을 표현한 것이다.
[math(\displaystyle \mathbf{G} = \mathbf{R} - \frac{1}{2}\mathbf{g}R = k\mathbf{T})]
가 된다. [math(k)]는 이 방정식을 뉴턴 중력에 근사시키는 과정에서 결정된다. SI 단위계에서 [math(\displaystyle k = \frac{8 \pi G}{c^4})]이다.
참고로 아인슈타인의 해당 논문에는 다음과 같이 표현되어 있다.
[math(G_{im})]은 지금의 리치 텐서이며, 양변을 축약하면 [math(R = - kT)]이므로 서로 동등함을 알 수 있다.[math(G_{im} = -\varkappa \left( T_{\,im} - \dfrac{1}{2} g_{im} T \right))][11]
4.1. 대응 원리(Correspondence principle)[편집]
[math(k)]의 구체적인 값은 뉴턴 중력을 유도하는 과정에서 결정된다. 이 과정은 그 자체로 양자 역학에서 말하는 대응 원리처럼, 일반 상대성 이론의 대응 원리로 볼 수 있다.
과정은 다음과 같다. 먼저 뉴턴 중력이 성립하는 조건은 매우 느린 속도 및 작은 질량(중력장)이라고 가정한다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
먼저, 측지선 방정식 및 고전적 운동 방정식으로부터
[math(\displaystyle \begin{aligned}\frac{d^2x^i}{dt^2} = -\frac{\partial\Phi}{\partial x^i} &\approx \frac{d^2x^i}{d\tau^2} \\ &= -\Gamma^i_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d \tau}\frac{dx^{\nu}}{d \tau} \\ &\approx -\Gamma^i_{00} \end{aligned})]
[11] <Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin> P844 Einstein, Albert 1915 “Die Feldgleichungun der Gravitation” https://archive.org/details/sitzungsberichte1915deut/page/844
을 얻는다. 한편, [math(T_{\mu\nu})]는 [math(00)] 성분
[math(\displaystyle T_{00} = \rho c^4)]
만이 남고 나머지는 사라진다. 따라서 [math(T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \approx g^{00}T_{00} \approx -\rho c^2)]이다.
아인슈타인 방정식에 의하면
[math(\displaystyle R_{00} = k\left(T_{00} - \frac{1}{2}g_{00}T\right) \approx \frac{1}{2}k\rho c^4)]
을 얻으며, 중력장이 작으므로 접속계수가 매우 작다고 생각할 수 있다. 즉, 접속계수의 제곱이 모두 사라진다고 보면 [math(\displaystyle R_{00} = \frac{\partial \Gamma^i_{00}}{\partial x^i})]로 간단화될 수 있다. 이제 둘을 조합하면
[math(\displaystyle \frac{\partial \Gamma^i_{00}}{\partial x^i} = \sum_i \frac{d^2\Phi}{d(x^i)^2} = \nabla^2\Phi = \frac{1}{2}k\rho c^4)]
이 된다. 뉴턴의 중력장 방정식과 비교하면
[math(\displaystyle k = \frac{8\pi G}{c^4})]
임과 동시에 뉴턴 중력이 유도된다.
5. 힐베르트 액션[편집]
자세한 내용은 힐베르트 액션 문서를 참고하십시오. 수학자 다비드 힐베르트가 1915년 11월 20일 발표한 힐베르트 액션(Hilbert action)은 최소 작용의 원리에 따라 아인슈타인 방정식을 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle S = \frac{1}{2k} \int R \sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x)]
힐베르트의 논문에서는 다음과 같이 표기했다. [math(K_{\mu\nu})]는 지금의 리치 텐서이다.
[math(\displaystyle \int H \sqrt{g}d\omega \,\,\left( g=\lvert g_{\mu\nu} \rvert,\,\,\,d\omega = dw_1\,dw_2\,dw_3\,dw_4 \right) )]
[math(H = K + L)]
[math(\displaystyle K = \sum_{\mu, \nu}g^{\mu\nu}K_{\mu\nu})][가]
6. 특수 형태[편집]
6.1. 진공 방정식[편집]
진공 환경(근방에는 물질이 있을 수 있다.)에서는 [math(T_{\mu\nu} = 0)]이다. 따라서, 아인슈타인 방정식은
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = -\Lambda g_{\mu\nu})]
[가] (직역:물리학의 기초)Die Grundlagen der Physik . 1915.11.20(Erste Mitteilung.) D. Hilbert ,Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1915) page 395-408 https://eudml.org/doc/58946
이 된다. [math(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = -\Lambda g^{\mu\nu}g_{\mu\nu})]에서 [math(R = 4\Lambda)]이므로
[math(\displaystyle R_{\mu\nu} = \Lambda g_{\mu\nu})]
를 얻는다.[12]
우주 상수를 0으로 놓으면, 방정식은 다음과 같다. 일반적인 천체 문제에서는 다음 형태를 자주 사용한다.
[math(R_{\mu\nu} = 0)]
[12] 이와 같이 리치 텐서가 메트릭 텐서의 상수배인 다양체를 아인슈타인 다양체(Einstein Manifold)라고도 부른다.
[math(R_{\mu\nu})]는 리만 텐서의 대각합(평균)이므로, 시공간의 곡률이 0임을 의미하지는 않는다. 만약 우주 상수가 존재하면, 완전 진공 환경에서도 시공간의 곡률은 0이 아니게 된다.
6.2. 선형화 방정식[편집]
자세한 내용은 선형화 중력 문서를 참고하십시오. 시공간이 매우 평평하다고 가정할 경우, 메트릭 텐서는
[math(\displaystyle g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \quad |h_{\mu\nu}|≪1)]
의 형태를 갖도록 좌표를 놓을 수 있다. 이처럼 섭동(perturbation)의 형태로 아인슈타인 방정식을 다루는 분야를 선형화 중력(Linearized Gravity)이라 한다. 선형화 중력은 중력파(gravitational wave) 이론의 근간이 되는데, 중력파는 시공간 곡률이 매우 작으나 시간에 따라 변하는 특수해로 볼 수 있기 때문이다.
선형화 이론(Linearized theory)에서 아인슈타인 방정식은 다음과 같이 선형 방정식, 특히 파동 방정식으로 근사된다.
[math(\displaystyle \square \left(h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\eta^{\sigma\tau}h_{\sigma\tau})\right)= - 2k T_{\mu\nu})][13]
[13] [math(\displaystyle \square = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2})]
6.3. 아인슈타인-맥스웰 방정식[편집]
전자기장 텐서 [math(F_{\mu\nu})]는 다음과 같은 스트레스-에너지 텐서(electromagnetic stress-energy tensor)를 만들 수 있다.
따라서 아인슈타인 방정식의 우변에 이 텐서를 대입하면 순수 전자기장에 의한 진공 방정식이 만들어지는데, 이것을 아인슈타인-맥스웰 방정식(Einstein-Maxwell Equations)이라고 한다.
일반적으로 우주 상수는 무시할 수 있다.
이 형태는 천체의 대전량을 무시할 수 없을 때 천체 외부의 진공 조건에서 적용할 수 있다.(라이스너-노르드스트룀 계량 등)
7. 특수해[편집]
아인슈타인 방정식을 푼다는 것은, 주어진 물질-에너지 분포를 방정식의 우변에 대입하여 [math(g_{\mu\nu})], 즉 시공간에 대한 정보를 얻어내는 것이다. [math(g_{\mu\nu})]는 4 × 4 대칭행렬이므로 대각선 성분 4개와 삼각행렬 성분 6개의 총 10개의 독립된 성분으로 이루어져 있다. 따라서 10개의 방정식이 필요한데, 아인슈타인 방정식 경우 좌변의 아인슈타인 텐서 [math(G_{\mu\nu})]가 "자동으로" 발산이 0인 텐서이기 때문에 4개의 성분이 겹친다. 따라서 아인슈타인 방정식은 사실상 6개의 방정식이 된다. 나머지 4개는 좌표 선택의 자유에 해당한다. 즉, [math(g_{\mu\nu})]의 10개 성분 중 6개는 아인슈타인 방정식이 결정하고, 4개는 좌표 선택으로 결정된다.
이 6개는 연립 비선형 편미분방정식이며 수많은 아인슈타인 축약과 각종 편미분 등이 들어가 있으므로 해석적 해를 구하는 건 불가능에 가깝다. 슈뢰딩거 방정식과 같은 선형 편미분방정식이라면 변수분리를 통해 극히 일부의 모델들에 대해 해석적인 해를 구할 수 있겠지만 아인슈타인 방정식은 비선형 방정식이기 때문에 보통은 변수분리가 불가능하다. 그렇기 때문에 최대한 변수분리가 가능해지도록 여러가지 조건들을 주어가면서 일부 해를 찾는 방식으로 연구가 진행되고 있다.
그리고, 여기서 얻어진 방정식의 해(즉, 계량 텐서)의 특징을 분석하면 그 시공간이 어떤 기하학적 구조를 가지고 있는지에 대한 정보를 이끌어낼 수 있다. 대표적인 예로 슈바르츠실트 해는 블랙홀의 특이점 등에 대한 정보를 주고, 역사적으로도 블랙홀의 이론적 예견 및 발견에 큰 영향을 끼쳤다.
7.1. 블랙홀 해(점근적 평탄해)[편집]
일반 상대성 이론에서 가장 중요한 연구 대상 중 하나가 블랙홀이다. 점/축 대칭성을 가정하고 아인슈타인 방정식을 풀어 해를 얻으면, 어떤 (중심 천체의 질량에 비례하는) 반지름을 기준으로 시공간의 양상이 크게 달라진다. 이것을 사건의 지평선(event horizon)이라고 하는데, 만약 천체의 반지름이 임계 반지름보다 크면 이러한 현상은 일어날 수 없다. 블랙홀이 블랙홀인 것은 블랙홀의 밀도가 매우 커서 임계 반지름보다 천체 반지름이 작기 때문이다.(사실 축퇴압을 이겨내고 완전히 중력 붕괴하기 때문에 실제 반지름은 [math(0)]이다.) 회전 여부, 대전 여부에 따라 크게 다음 네 종류의 해가 밝혀져 있다. 이들은 공통적으로 점근적으로 평평하고, 정적인 해이다.
7.1.1. 슈바르츠실트 해(Schwarzschild metric)[편집]
자세한 내용은 슈바르츠실트 계량 문서를 참고하십시오. 회전하지 않고 대전되지 않은 구형 천체 주변의 중력장을 표현한다.
7.1.2. 라이스너-노르드스트룀 해(Reissner-Nordström metric)[편집]
자세한 내용은 라이스너-노르드스트룀 계량 문서를 참고하십시오. 회전하지 않고, 대전된 구면기하상의 시공간을 기술한다.
7.1.3. 커 해 (Kerr metric)[편집]
회전하고, 대전되지 않은 구형 천체 주변의 시공간을 기술한다.
7.1.4. 커-뉴먼 해 (Kerr - newman metric)[편집]
회전하고, 대전된 구형 천체 주변의 시공간을 기술한다. (발견된 해 중) 가장 일반적인 블랙홀 해이다. 사실 커 해와 동일한 식인데, 전하 때문에 [math(r_Q)]만 추가되었다. 마찬가지로, 라이스너-노르드스트룀 해에서 [math(r_Q)]만 없애면 슈바르트실트 해를 얻는다.
7.2. 우주론[편집]
7.2.1. 프리드만 - 르메트르 - 로버트슨 - 워커 계량 (Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker Metric ; FLRW)[편집]
아인슈타인 방정식은 하나의 천체를 중심으로 한 중력장을 넘어서, 우주 전체의 물질 분포에 대한 중력장도 구할 수 있다. 이것을 현대 우주론에 활용하고 있다.
먼저, 현대 우주론에서는 우주가 균일(homogeneous)하고 등방(isotropic)적이라고 가정하고 있다. 따라서 전 시간에 걸쳐 우주 공간 전체에 균일한 평균 밀도를 가정할 수 있다. 여기에 다음을 가정하자.
(1) 시공간을 각각의 시간에 대하여 균일하고 등방적인 3차원 초곡면으로 나눌 수 있다.
(2) 그 동시성(즉, 동시로 측정되는 사건들의 집합)의 기준은 우주의 물질 전체가 평균적으로 정지해 있는 좌표계이다.[18]
이로부터 기본적인 계량의 구조를 추정할 수 있다.
[math(ds^2 = -dt^{2} + a^{2}(t)h_{ij}dx^{i}dx^{j})]
[14] [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2})]는 슈바르츠실트 반지름이다.[15] [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2},\quad r^2_Q = \frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0c^4})][16] [math(\displaystyle a = \frac{J}{Mc}\,,\quad \Delta = r^2 - r_sr + a^2 \,,\quad \Sigma = r^2 + a^2 \mathrm{cos}^2 \theta)][17] [math(\displaystyle a = \frac{J}{Mc}\,,\quad \Delta = r^2 - r_sr + a^2 + r_Q^2\,,\quad \Sigma = r^2 + a^2 \mathrm{cos}^2 \theta)][18] 따라서, 각각의 은하는 이 좌표계에서 정지해있다, 또는 고정된 공간 좌표 [math((x^{1}, x^{2}, x^{3}))]를 가진다고 가정할 수 있다. 이 때 이 좌표계의 시간 좌표는 각 은하의 고유시간으로 설정할 수 있다.
일단, 빅뱅 이론이 그렇듯이 닮은 꼴 좌표라도 시간좌표에 따라서 공간의 scale 자체가 커지거나 작아질 수 있다(각각의 좌표 격자에 들어가는 부피가 커진다). 따라서 적당히 정한 [math(t = t_{0})]에 대하여 기준 scale [math(h_{ij}(t_0))]을 정하고, 여기에 시간에 따른 scale factor [math(a(t))][19]를 곱해 위와 같은 공간 성분 계량을 유도해낼 수 있다. 또한 시간 축은 각 초곡면에 수직일 것이므로[20] 시간축과 공간축의 내적은 [math(g_{0i} = 0)]이다.
이제, [math(h_{ij})]를 구해보자. metric 자체가 등방적이므로, [math(h_{ij})]는 원점에 대한 구 대칭이어야 한다. 한편 구 대칭 계량(공간 성분)의 일반형은
[math(\displaystyle dl^2 = e^{2\Lambda(r)}dr^2+r^2d\Omega^2)]
으로 주어진다. 여기에는 균일 조건을 넣지 않은 상태인데, 이는 (3차원 공간, 즉 [math(dl^2)]에 대한) 리치 스칼라 [math(R = R^{\,i}_i)]가 균일하다는 조건으로 바꿀 수 있다. (물질 분포가 균일하므로, 각 점에서의 곡률도 균일할 것이다.) 이제 이 일반형으로 3차원 리치 스칼라를 계산하면
[math(\displaystyle R = \frac{2}{r^2}[1 - (re^{-2\Lambda})'] = 6k)]
라 둘 수 있다. [math(k)]는 곡률 상수라 부른다(딱봐도 스칼라 곡률의 배수이다.). 여기서 [math(\displaystyle dl^2(t_{0}) = h_{ij}dx^{i}dx^{j} = \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2)]이라 두면
[math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\biggl[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \biggr])]
를 얻는다. 이것이 FLRW 계량이다. 이제 우주의 전체 (공간) 구조를 [math(k = -1, 0, 1)] 세 경우에 대한 계량으로 분류할 수 있다. (이외는 함수 계수를 바꾸면 이 셋 중 하나로 바뀐다.)
여기까지는 우주가 등방하고 균일하다는 성질만 이용했지 아인슈타인 방정식은 사용되지 않았다. 여기에 우주의 평균밀도 [math(\rho)]를 이용해 [math(T_{\mu\nu})]를 구하고, 아인슈타인 방정식에 대입하여 scale factor [math(a(t))]를 구체적으로 정할 수 있으며, 이것의 시간에 따른 변화를 통해 우주 공간의 진화를 설명할 수 있다.
7.2.2. 프리드만 방정식[편집]
FLRW 해를 바탕으로, 우주 전체가 완전 유체로 채워져 있다고 가정하고 평균 밀도 [math(\rho)]와 압력 [math(p)]를 아인슈타인 방정식에 넣으면 우주의 진화, 혹은 우주의 미래를 설명하는 방정식이 나온다. 이를 프리드만 방정식(Freidmann equations)이라고 한다. 러시아/소련의 물리학자 알렉산드르 프리드만(Alexander Friedmann)이 1922년 처음 유도하였다.
다음은 우주 상수 [math(\Lambda)]를 감안한 것이며, [math(a)]는 FLRW 해의 scale factor [math(a(t))]이다.
이 때, 임계 밀도 (critical density) [math(\rho_c)]를 (우주 상수를 제외했을 때) [math(\displaystyle \rho_c = \frac{3H^2}{8 \pi G})]로 정의하는데, 이보다 실제 우주 밀도가 크면 우주는 점차 수축하게 되며, 우주 밀도가 작으면 우주는 영원히 팽창하게 된다. density parameter [math(\Omega)]를
[math(\displaystyle \Omega = \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2})]
으로 정의할 경우,
[math(\Omega > 1)]이면 우주 공간은 구처럼 닫혀있으며 언젠가는 팽창을 멈추고 수축하다 한 점으로 붕괴해버린다.
[math(\Omega < 1)]이면 우주 공간은 열려 있으며 영원히 팽창한다.
[math(\Omega < 1)]이면 우주 공간은 열려 있으며 영원히 팽창한다.
8. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-07 06:04:14에 나무위키 아인슈타인 방정식 문서에서 가져왔습니다.