양자 전기역학

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1. 개요

2. 초록

3. 개론

3.1. 라그랑지안 포멀리즘

3.2. 양자화

4. 한계?

5. 관련 문서

6. 참고 문헌

1 . 개요[편집]

量子電氣力學
quantum electrodynamics, QED
(이 Q.E.D.가 아니다.)
양자 전기역학. 양자 역학(quantum dynamics)이 아니다. 물론 양자역학의 한 갈래가 맞긴 하지만.

리처드 파인만, 도모나가 신이치로, 줄리언 슈윙거는 서로 각자 나름의 방법으로 양자 전기역학을 완성했고, 이 공로가 인정되어 세 사람 모두 1965년에 노벨상을 공동 수상했다. 다른 두 사람은 기존의 역학과 수학으로 양자 전기역학을 설명해 냈는데, 파인만은 경로적분이라는 자기만의 새로운 수학적 도구를 만들어 설명해 냈다고 한다. 이로 인해 양자 전기역학을 통해 특수 상대성 이론과 양자역학이 성공적으로 통합되었다.[1]

리처드 파인만이 쓴 동명의 책이 있다. Q.E.D.에 대한 파인만의 일반인 대상 강의를 옮긴 것인데, 경로적분같은 파인만 고유의 도구를 처음부터 써대고, 기존 물리학의 설명과는 다른 각도에서 바라보는 파인만스러운 설명이 가득한지라 물리 교양서를 읽겠단 가벼운 맘으로 덤볐다간 꽤나 곤혹스러워진다. 그렇다고 어려워서 못 읽을 책은 아닌 게, 설명이 직관적이고 단순해서 소설책 읽는 식으로 맘을 비우고 읽어가면 역설적으로 쉽게 이해가 된다. 여러 모로 신기한 책.

2 . 초록[편집]

양자 전기(동)역학이라는 단어부터 찬찬히 뜯어보자. 이름만 놓고 보면 "전기동역학(Electrodynamics)"을 양자화(quantize)하여 얻은 이론이라는 뜻이다. 이미 고전 물리에서 완성되어 있었던 전기동역학을 양자역학 레벨로 끌어들인 것이라고 이해하면 될 것이다. 사실 고전적 전기동역학은 맥스웰 방정식이 등장하는 것으로 양자역학이 도래하기 전부터 이미 상당 부분 완성된 상태였다. 양자역학이 생기고 나서는 고전적으로 설명되던 모든 현상들을 양자적으로 설명해야 할 필요가 생겼고, 전기동역학도 예외일 수는 없었다.

앞에서 고전적 전기동역학이 상당 부분 완성되어 있다고 했는데, 이는 이미 맥스웰 방정식이 있었기에 나온 말이다. 하지만 맥스웰 방정식 만으로는 우리가 아는 전기동역학을 양자화하기 어렵다. 왜냐하면 맥스웰 방정식에는 전자기 소스(source)에 대한 구체적인 내용이 없기 때문이다. [math(j^\mu)]와 같은 단순한 (4차원) 뇌터 전류 밀도 만으로는 양자화하기에 역부족이었다. 더군다나 보통 알려진 맥스웰 방정식에서 기술되는 소스는 점입자스러운 것들로만 다루는 반면, 후술하겠지만 몇몇 이유로 인해 상대론적 양자역학에서 그런 단순한 점입자스러운 대상은 취급하기가 곤란했다.

이 상황에서 소스에 해당하는 구체적인 것으로 뭐가 좋을까 생각해 보면 일단 먼저 떠오르는 것이 바로 전자일 것이다. 당시 잘 알려진 전하를 띈 입자 중 가장 만만한(?) 걸로 전자를 고를 수 있기 때문이다. 따라서 이 참에 전자도 같이 양자역학적으로, 더 구체적으로는 양자장론적으로 표현하면 좋겠다는 것이 기본적인 아이디어이다.

3 . 개론[편집]

3.1 . 라그랑지안 포멀리즘[편집]

먼저, 민코프스키 다이어그램을 고려하고, 전자기 상호작용이 가환을 따름을 상기하면, 전자기장 텐서, [math(F_{\mu \nu})]는 벡터 전자기 포텐셜 [math(A)]와 편미분 연산자를 활용해 다음과 같이 쓰일수 있다.

[math(F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)]

그러므로, 전자기장 텐서의 라그랑지언은 아래와 같다.

[math(\displaystyle \mathcal{L}_{EM} = -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})]

디랙 방정식을 활용해, 전자를 기술하는 가장 기본적인 라그랑지안을 써보면 다음과 같다. (이 문서 전체에서 자연 단위계를 사용할 것이다.)

[math(\displaystyle \mathcal{L}_{matter} = i \overline{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \overline{\psi} \psi)].

[math(\psi)]는 전자를 기술하는 스칼라 디랙 장, [math(\gamma^\mu)]는 감마 행렬, [math(m)]은 전자의 질량이다. 이들 라그랑지안들을 단순히 합치기만 하는 것을 생각할 수도 있겠지만 그러면 이 전자기장과 전자는 아무런 상호작용도 하지 않을 것이다. 그러므로, 입자와 장간 상호작용을 고려하여 아래와 같은 벡터-스피너 상호작용을 설명하는 라그랑지안을 추가해야한다.

[math(\displaystyle \mathcal{L}_{int} = -e A_\mu \overline{\psi} \gamma^\mu \psi)].

이들을 전부 합치면 전자의 전기동역학을 기술하는 라그랑지안이 다음과 같게 됨을 알 수 있다.[2]

[math(\displaystyle \mathcal{L} = \mathcal{L}_{matter} + \mathcal{L}_{int} + \mathcal{L}_{EM} = i \overline{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \overline{\psi} \psi -e A_\mu \overline{\psi} \gamma^\mu \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})].

텐서를 이용한 위의 포멀리즘은 양전닝과 로버트 밀스가 제안했다. 창안자중 한명이었던 파인만은 운동 에너지, 횡파, 종파, 상호작용점같은 기본적인 자연 현상을 상정하여 포멀리즘에 접근했기 때문에, 위의 포멀리즘대신 다소 다른 방식으로 포멀리즘이 전개되었다.

조금 더 정리하면,

[math(\displaystyle \mathcal{L} = i \overline{\psi} \gamma^\mu ( \partial_\mu + ieA_\mu) \psi - m \overline{\psi} \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})].

여기서, [math(\partial_{μ} + ieA_{μ})]는 게이지 공변 미분(Gauge Covariant Derivative)으로, [math(\gamma^\mu \partial_{μ} = \partial)]로 두고, 게이지 불변성이 적용되므로,

[math(\mathcal{L} = \overline{\psi}(iD-m)\psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})].

오일러-라그랑주 방정식을 적용하면, 우항의 좌변항은 결국 0이므로, 결국, 전자기장의 라그랑지언은 아래와 같이 전자기장 텐서의 라그랑지언과 동치다.

[math(\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})]

이렇게 해서 양자 전기역학을 위한 라그랑지안을 손에 넣었다.[3] 하지만 이건 준비 단계일 뿐이다. 사실 지금까지 나온 내용들 중에서 양자역학 내용은 단 하나도 나오지 않았다. 디랙 방정식 문서에 서술되었다시피 현대적인 해석으로 따질 때 디랙 장 그 자체는 고전물리에 속할 수 있다. 여기다 양자화 같은 걸 끼얹어줘야 비로소 '양자' 전기역학이 되는 것이다. 다음 내용에서는 이렇게 주어진 라그랑지언을 가지고 어떻게 양자화할 것인가를 기술할 것이다.

3.2 . 양자화[편집]

고전장의 양자화의 목적은 장함수의 선형결합을 정준좌표계의 디랙 델타 함수로 표현한다음 전파인자로 나타내는 것이다. 선형결합의 영역 내 특정 물리량의 자취를 보기 위해서는 일반화 좌표계로 기술된 라그랑지언을 시간으로 적분한 액션이 필요하다. 시공간이 고려된 장이 미치는 물리량의 운동을 얻기 위해 전자기장 텐서의 라그랑지언 밀도를 적분하면 아래와 같은 액션을 얻을수 있다.

[math(\displaystyle S = \int d^4 x \left[-\frac{1}{4}(F_{\mu \nu})^2 \right])]

[1] 일반 상대성 이론은 포함되어 있지 않다. 시공간의 휘어짐을 양자역학에 고려하는 것은 당시에는 물론, 현대에 와서도 여러 가설만이 나오고 있을 뿐 갈피조차 잡고 있지 못한 상황이다.[2] C. N. Yang and R. L. Mills, Conservation of Isotopic spin and Isotopic gauge invariance, Phys. Rev., 96, 191(1954).[3] 이 문서는 양자 전기역학의 개론 및 각론을 다루지, 고전 전자기학을 다루지 않으므로 매우 간략히 서술했다. 추가항에 대한 설명과, 게이지 대칭성에 대한 설명, 그리고 라그랑지언이 왜 저렇게 도출되어야 하는지 대한 설명이 부족하기 때문에 나무위키 문서에 있는 로런츠 변환, 상대론적 전자기학, 디랙 방정식, 게이지 장 등을 참조하면 좋다.

[math(\displaystyle = \frac{1}{2} \int d^4 x A_{\mu}(x)\left(\partial^{2}g^{\mu \nu} - \partial^{\mu}\partial^{\nu}\right)A_{\nu}(x))]

그러므로, 환산 연산자, q를 활용하면 아래와 같이 쓸수 있다.

[math(\displaystyle \frac{1}{2} \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} \dot A_{\mu}(q)\left(-q^{2}g^{\mu \nu} + q^{\mu}q^{\nu}\right) \dot A_{\nu}(-q))]

그러므로, 전자기장의 클라인 고든 방정식은 다음과 같다.

[math(\left(-q^{2}g_{\mu \nu} + q_{\mu}q_{\nu}\right)\dot D_{F}^{\nu ρ}(q) = i\delta_{\mu}^{ρ})]

이제 양자화를 완성하기 위해, 선형결합에 필요한 디랙 델타 함수꼴 적분이 필요하다. 양자화를 완성하기 위해 쓸수 있는 툴은 대표적으로, 정준양자화, 파인만 규칙[4]과 경로적분[5]이 존재한다. 정준양자화는 정준 교환 관계를 활용하여 장 함수간 수리적 범위를 연산자들을 활용해 섭동적으로 표현한 방법이다. 파인만 규칙은 파인만 다이어그램을 써서 양자화를 시각적으로 나타낼수 있다. 경로적분은 입자의 모든 경로를 고려한 진동자 액션 범함수로 도출된 선형결합으로, 양자화를 수리적으로 설명할수 있다.

이 문단에서는 경로적분 툴을 유도없이 사용해 액션을 양자화하는 방법을 택했다.[6] 경로적분에서의 액션 진동자는 양자 조화 진동자로 유도[F]가 가능하다. 전자기 벡터 포텐셜 A에 관한 경로적분을 유도없이 매우 간략하게 나타내면 아래와 같다.

[math(\int {\cal D} A e^{iS[A]})]

원래, 경로적분의 복소 액션 범함수[7]에서 광자전파인자를 표현하는데 필수적인 소코트스키-플레멜 정리를 도출[F]이 가능하나, 다만 경로적분을 해버릴때 식이 발산되는 경우를 상정하면 액션항의 해가 나오지 못하게되는 참사가 벌어질수 있다. 이때는 게이지 불변성으로 인해, A에 게이지 변환을 어떻게 한다해도 위식과 결국 동치로, 자동적으로 적분은 발산된다는 것은 같기 때문에 벡터 포텐셜 A의 게이지 변환이 0인 고스트 장을 대입해야 한다.

게이지 변환값은 0이라고 추가로 가정하고, [math(G(A)=\partial_{\mu}A_{\mu}(x))] 를 고려해, G(A)가 0임을 가정하면, G(A)에 대한 고스트 장의 경로적분은 다음과 같이 쓸수 있다.[8]

[math(\displaystyle 1=\int {\cal D} \alpha\,\delta (G(A^{\alpha})) \operatorname{det} \left(\frac{\delta G(A^{\alpha}))}{\delta \alpha} \right))]

[4] S.Weinberg, The Quantum Theory of Field Vol. I[5] R.P. Feynman, Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys., 20, 367(1948).[6] M. Peskin and D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory.[F] A B R.P. Feynman, Mathematical Formulation of Quantum Theory of Electrodynamics, Phys. Rev., 80, 440(1950).[7] [math(\displaystyle -\frac{1}{4\omega}i \iint \operatorname{exp} \left[-i\omega(|t-s|)\right]\gamma(t)\gamma(s)dtds)].
여기서 [math(\gamma)]는 t, s를 임의의 시간 변수로 갖는 좌표 함수이다. [8] L. D. Faddeev, V. N. Popov, Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field, Phys. Lett. B., 25, 29(1967).

G(A)의 게이지 변환을 상기하고, 항등원의 일반화 연속체 가설(Generalized Continuum Hypothesis for Identity)에 따라 적분을 곱해도 값은 동일하게 1이므로, 다음과 같이 쓸수 있다.

[math(\displaystyle \operatorname{det} \left(\frac{\partial^2}{e} \right) \int {\cal D} \alpha \int {\cal D} A e^{iS[A]} \delta (\partial_{\mu}A_{\mu}(x)-\omega(x)))]

스칼라 게이지 변환에서 도출되었던, [math(2ξ)]를 주기로하는 [math(\omega(x))]에 대한 경로적분을 소거하면,

[math(\displaystyle C(ξ)\operatorname{det} \left(\frac{\partial^2}{e} \right) \int {\cal D} \alpha \int {\cal D} A e^{iS[A]} \operatorname{exp} \left[-i \int d^{4} x \frac{(\partial^{\mu}A_{\mu}(x))^2}{2ξ}\right])]

이제 [math(C(ξ)\operatorname{det} \left(\frac{\partial^2}{e} \right))] 같은 필요없는 상수를 제거해야한다.
[math(C(ξ))]은 [math(\omega(x))]에 대한 경로적분을 도출할때 생겼던 의미없는 상수로 이를 무시할수 있기 위해서, 위의 경로적분식에서 [math(\int {\cal D} A e^{iS[A]})]를 소거한 경로적분식을 분모로, 본래 경로적분식을 분자로 둬 주기([math(T\to\infty(1-iε))])에 관한 극한을 적용하면, 상수들이 제거될뿐더러, 그토록 찾던 경로적분을 연산자로 한 벡터장함수 Ω의 선형 결합과 동치가 된다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\langleΩ|T{\cal O}(A)|Ω\rangle=\lim_{T\to\infty(1-iε)}\dfrac{\int{\cal D}A {\cal O}(A) \operatorname{exp} \left[i \int_{-T}^{T} d^4 x {\cal L}\right]}{\int{\cal D}A \operatorname{exp} \left[i \int_{-T}^{T} d^4 x {\cal L}\right]}
\end{aligned})]

여기서, [math({\cal O}(A))]는 [math(\int {\cal D} A e^{iS[A]})]이다.

[math(\frac{(\partial^{\mu}A_{\mu})^2}{2ξ})]를 내포한 게이지 변환을 적용하면, 클라인 고든 방정식의 형태가 아래와 같이 바뀐다.

[math(\left(-q^{2}g_{\mu \nu} + \left(1-\frac{1}{ξ}\right)q_{\mu}q_{\nu}\right)\dot D_{F}^{\nu ρ}(q) = i\delta_{\mu}^{ρ})]

[math(\dot D_{F}^{\nu ρ}(q))]는 그린 함수라는 것을 생각하고 오른쪽 항에 역수를 취하면, 광자의 전파인자가 도출된다. 그러므로, 전자기장의 양자화가 완료되었다.[9] 다만, 유한 상수 ξ가 1일경우, 파인만-엇호프트 게이지라고 부르고, 0일 경우는 란다우 게이지라고 부르지만, 유한 상수가 어떤값이냐에 상관없이, [math(q_{\mu}q_{\nu})]항의 역행렬 [math(q^{\mu}q^{\nu})]가 0이어서 항상 광자의 전파인자는 동일하다.[10][11]

4 . 한계?[편집]

양자 전기역학은 어디까지나 전자기 상호 작용의 영역을 다루지만 강입자같은 수십 GeV²가 넘어가는 고에너지 상호 작용을 다루지는 못한다. 전자기 상호 작용내 광자 전파 인자의 에너지 인자 q²가 10GeV²를 초과하면 전파 인자의 예측 한계가 붕괴된다.[12]

5 . 관련 문서[편집]

6 . 참고 문헌[편집]

M. Peskin and D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory

M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics

S.Weinberg, The Quantum Theory of Field Vol. I

R.P. Feynman, Mathematical Formulation of Quantum Theory of Electrodynamics. Phys. Rev. 80, 440(1950)

L. D. Faddeev and V. N. Popov, Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field, Phys. Lett. B. 25, 29(1967)

C. N. Yang and R. L. Mills, Conservation of Isotopic spin and Isotopic gauge invariance, Phys. Rev. 96, 191(1954)

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[9] 그러나 QED의 개론자체에 집중하기 위해 위의 라그랑지언과 마찬가지로, 도출 과정이 생략된 부분과 도출과정에서 나오는 물리량들에 관한 보충설명도 매우 부족하다. 당장, ξ가 도출되도록하는 ω함수의 경로적분 과정을 생략했고, 극후반부의 극한꼴 적분식의 설명부터 이 식이 클라인-고든 방정식의 변형에 왜 적용이 되는가도 생략했다. [10] Ward-Takahashi Identity
J. C. Ward, Phys. Rev. 77, 293(1950)
Y. Takahashi, On the Generalized Ward Identity, Nuovo Cim., 6, 2231(1957). [11] А. А. Славнов, Тождества Уорда в калибровочных теори- ях, ТМФ, 1972, том 10, номер 2, 153–161.[12] M. Chanowitz and S. Drell, Phys. Rev. Lett., 30, 807(1973).

양자 전기역학

분류

1. 개요[편집]

2. 초록[편집]

3. 개론[편집]

3.1. 라그랑지안 포멀리즘[편집]

3.2. 양자화[편집]

4. 한계?[편집]

5. 관련 문서[편집]

6. 참고 문헌[편집]

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