길이 수축

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상대성 이론
Theory of Relativity

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1. 개요

2. 역사

3. 유도

3.1. 광속 불변의 원리를 이용한 설명

3.2. 로런츠 변환을 이용한 설명

4. 같이보기

1 . 개요[편집]

Length contraction

특수 상대성 이론에서 도출되는 현상 중 하나로, 간단히 말해 관측자의 입장에서 등속운동하는 대상의 길이가 줄어드는 것으로 관측되는 현상이다.

시간 지연과 밀접한 관계에 있는 현상이 길이 수축이다. 이는 시간 지연이 일어나면 필연적으로 따라오는 현상이다.

고유 길이가 [math(L')]인 어떠한 관성계에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 물체의 길이는 해당 관성계에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} L&=L' \sqrt{1-\left(\frac{v}{c} \right)^2 }\&=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]

로 관측된다. [math(\gamma)]는 로런츠 인자이다.

2 . 역사[편집]

1887년 마이컬슨-몰리 실험이 알려지고 난 뒤 1889년 조지 피츠 피츠제럴드는 마이컬슨-몰리 실험 결과를 해석하기 위해 길이가 수축한다는 가설을 제안한다. 헨드릭 안톤 로런츠도 1892년 독립적으로 비슷한 제안을 한다. 이들의 가설은 로런츠-피츠제럴드 수축이라는 이름으로 알려지게 된다. 1905년 아인슈타인은 역학적인 관점에서 뉴턴 역학과 맥스웰 방정식의 모순 문제를 짚어내며 그에 대한 해결책으로 길이 수축을 재해석하였다.

1938년 아이브스-스틸웰 실험을 통해 길이 수축은 실험적으로 검증된다.

3 . 유도[편집]

3.1 . 광속 불변의 원리를 이용한 설명[편집]

어떤 관성계를 기준으로 [math(v)]의 속력으로 등속 직선 운동하는 상자를 고려하자. 이 상자의 길이는 상자와 같이 움직이는 좌표계에서 측정했을 때, [math(L')]이고, 해당 관성계에서 측정했을 때, [math(L)]이다.

시간 지연 문서에 나온 사고 실험을 쓸 것이나, 이번에는 레이저와 거울을 각각 왼쪽 벽과 오른쪽 벽에 운동방향과 수직으로 설치한다. 마찬가지로 레이저에서 광자 1개 정도가 나가는 펄스를 방사한다.

파일:namu_길이수축_1.png

상자 내부에 있는 관찰자는 (가)와 같은 상황을 관측하게 된다. 이때, 빛이 레이저를 떠나 거울을 지난뒤 다시 레이저까지 오는데 걸린 시간은

[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T'=\frac{2L'}{c} \end{aligned} )]

이번에는 상자 외부에 있는 관찰자는 (나)와 같은 상황을 관측하게 된다. 이때는 계산해야 할 시간을 두 부분 [math(T_{1})], [math(T_{2})]로 나누고, 이를 각각 레이저에서 거울까지 가는데 걸린 시간, 거울에서 반사돼 레이저까지 되돌아가는데 걸린 시간으로 정의한다. 상자는 빛이 이동 중에도 계속 이동하고 있음을 유의하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{1}=\frac{L+vT_{1}}{c} \quad \to \quad T_{1}=\frac{L}{c-v} \end{aligned} )]

빛이 반사되어 되돌아가는 시간에도 상자는 이동 중이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{2}=\frac{L-vT_{2}}{c} \quad \to \quad T_{2}=\frac{L}{c+v} \end{aligned} )]

이 좌표계에서 관측한 레이저까지 다시 빛이 돌아오는 데 걸린 시간은 [math(T_{1}+T_{2})]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T&=\frac{2Lc}{c^2-v^2}\\&=\frac{1}{1-\left(\dfrac{v}{c} \right)^2} \frac{2L}{c}\\ &=\gamma^2 \cdot \frac{2L}{c} \end{aligned} )]

한편, 시간 지연에 따라 [math(\Delta T=\gamma \Delta T')]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T'=\gamma \cdot \frac{2L}{c} \end{aligned} )]

한편, [math(\Delta T'=2L'/c)]임에 따라 이것을 대입하고, 상수인 광속을 약분시키면 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} L=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]

이 식으로부터 빠르게 움직이는 물체는 정지 길이보다 짧게 측정된다는 것을 알 수 있다. 물론 광속보다 대단히 느린 물체에 대한 길이 수축 효과는 대단히 작다. 예를 들어 순간적으로 [math(35\,{\rm km/h})]에 이르는 부르즈 할리파의 초고속 엘리베이터에 탄 키 [math(180\,{\rm cm})]인 사람은 밖에서 보기에 [math(9.465 \times 10^{-14}\,{\rm cm})]가 줄어드는 정도의 효과 밖에 없다. 이는 양성자 하나 크기 정도에 불과하다.

3.2 . 로런츠 변환을 이용한 설명[편집]

길이는 동시에 측정되는 것이므로 어떠한 관성계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 관성계 [math(\mathcal{O}')]에서 두 사건 [math({\rm P}(ct_{0}',\,x_{\rm P}'))], [math({\rm Q}(ct_{0}',\,x_{\rm Q}'))]를 고려한다. 이때, [math(L'=x_{\rm Q}'-x_{\rm P}')]가 고유 길이가 된다.

한편, [math(\mathcal{O})] 또한 관측하는 길이는

[math(\displaystyle \begin{aligned} L=x_{\rm Q}-x_{\rm P} \end{aligned} )]

를 관측하게 될 것이다. 각각을 로런츠 역변환하면,

[math(\displaystyle \begin{aligned} L&=\gamma [(x_{\rm Q}'+vt_{0}' )-(x_{\rm P}'+vt_{0}' ) ] \\&= \gamma(x_{\rm Q}'-x_{\rm P}') \\ &=\gamma L' \\ \\ \therefore L&=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]

이것을 민코프스키 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다.

파일:namu_길이수축_2.png

4 . 같이보기[편집]

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길이 수축

분류

1. 개요[편집]

2. 역사[편집]

3. 유도[편집]

3.1. 광속 불변의 원리를 이용한 설명[편집]

3.2. 로런츠 변환을 이용한 설명[편집]

4. 같이보기[편집]

관련 문서