확률 흐름 밀도
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1. 개요[편집]
Probability current
양자역학에서는 불확정성 원리에 의해 입자의 위치나 운동량을 확정적으로 나타낼 수 없는 대신, 위치의 확률 밀도 함수로 나타낼 수 있다. 이때 입자의 시간과 위치에 따른 확률 밀도 함수를 [math( P(x,\,t) )]라 하면, 확률 흐름 밀도 [math( J(x,\,t) )]는 다음과 같은 식을 만족한다.
즉, 확률 흐름 밀도는 시간에 따른 확률이 변하는 것을 나타낸다. 다만 확률 밀도 함수라는 것은 "입자가 [math( x=a )]와 [math( x=b )] 사이에서 발견될 확률" 같은 형태, 즉
와 같은 식만 실제 확률의 값을 가진다. 따라서 확률 밀도 함수 또한 입자가 [math( x=a )]와 [math( x=b )] 사이에서 발견될 확률이 시간에 따라 어떻게 변하는 지를 계산하기 위해 사용된다. 이는 그냥 위 식을 [math( a )]부터 [math( b )]까지 [math( dx )]로 적분하면 된다.
즉 [math( J(a,\,t) - J(b,\,t) )]는 입자가 [math( a )]와 [math( b )] 사이에서 발견될 확률의 변화율을 나타낸다.
2. 공식[편집]
입자의 파동함수를 [math( \Psi (x,\,t) )]라고 하면, 확률 밀도 함수는 [math( P(x,\,t) = {| \Psi |}^2 )]이다. 이때 1차원의 경우 확률 흐름 밀도 [math( J )]는 다음과 같이 [math( \Psi )]에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
단, [math(m)]은 입자의 질량이고, [math(\Psi^\ast)]는 [math(\Psi)]의 켤레복소수이다. 또한 3차원에서는 편미분을 그레이디언트로 바꿔서 일반화할 수 있다.
3. 연속 방정식과의 관련성[편집]
슈뢰딩거 방정식
에 [math(\Psi^\ast)]를 곱하고 슈뢰딩거 방정식의 켤레
에 [math(\Psi)]를 곱해서 차이를 계산하면
이때 [math(\rho)]를 확률 [math(|\Psi|^2)]로 생각한다면
연속 방정식은 다음과 같다.
위에서 얻은 식과 연속방정식을 비교하면 확률 흐름 밀도는 [math(\mathbf{J})]가 된다. 따라서 확률 흐름 밀도는 마치 어떤 영역에서 확률이 (마치 전류 밀도처럼) 빠져나오는 것이라고 생각할 수 있다.
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