운동량 연산자
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1. 개요[편집]
momentum operator
양자역학에서 파동함수에 작용하여 선운동량에 대한 정보를 주는 연산자를 의미한다.
2. 정의[편집]
1차원 상, 위치 표현(위치 기저)에서 정의되는 운동량 연산자는 다음과 같다.
[math( \displaystyle \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} )]
3차원 상, 위치 표현에서 정의되는 운동량 연산자는 다음과 같다.
[math( \displaystyle \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \boldsymbol{\nabla} )]
운동량 표현(운동량 기저)에서는 다음과 같이 정의된다.
[math( \displaystyle \mathbf{\hat{p}} = \mathbf{p} )]
3. 고유함수[편집]
우선 가장 쉬운 1차원의 경우부터 살펴보자. 구하는 고유함수를 [math(\varphi(x))]라 놓으면 고유치 방정식은
[math( \displaystyle \hat{p}\varphi(x) = -i\hbar\frac{\partial \varphi(x)}{\partial x} = p\varphi(x) )]
위 식을 정리하면
[math( \displaystyle \frac{\partial \varphi(x)}{\partial x} = i \frac{p}{\hbar}\varphi(x) )]
[math(k=p/\hbar)]로 치환하면
[math( \displaystyle \frac{\partial \varphi(x)}{\partial x} = ik \varphi(x) )]
이것은 변수분리를 통해 쉽게 풀리는 방정식으로 그 해는
[math( \displaystyle \varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{ikx} )]
이다. 앞에 붙는 상수에 아래와 같이 다른 고유 상태와의 내적이 디랙 델타 함수로만 남을 수 있게 붙은 것이다.
이제부터 [math(\varphi(x)=| k \rangle)]로 쓰자. 다음을 유도할 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle k'|k \rangle &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{ik'x})^{\ast}e^{ikx}\,{\rm d}x \\&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k-k')x}\,{\rm d}x \\&=\delta(k-k') \end{aligned} )]
여기서 [math(\delta(x))]는 디랙 델타 함수이다. 적분 값이 왜 디랙 델타 함수가 되는 지에 대한 정보는 이곳을 참고한다.
위와 같이 운동량 연산자에 대한 고유함수는 보통의 파동함수처럼 규격화되지 않는데, 이를 통해 해당 고유함수는 힐베르트 공간의 원소가 아님을 알 수 있다.
3차원의 경우 각 성분에 대하여 위와 같은 방정식으로 환원되고, 세 독립한 변수의 함수의 곱 [math(\varphi(\mathbf{r})=X(x)Y(y)Z(z))]로 이루어져있다고 가정한 후 풀면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} | \mathbf{k} \rangle &=\frac{1}{(2 \pi)^{3/2}} e^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)} \\&=\frac{1}{(2 \pi)^{3/2}} e^{i\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}} \qquad (k=\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}) \end{aligned} )]
이 나온다.
만약 운동량을 측정하여 [math(\hbar k)]를 얻었다면 그 상태는 [math(| k \rangle )]로 고정될 것이다. 이 상태의 확률 밀도 함수는 전 구간에 걸쳐 상수 꼴로 나타나는데, 이는 모든 구간에 대하여 입자가 위치할 확률이 동일함을 나타낸다. 이것은 곧 입자의 위치를 명확히 특정짓지 못함을 내포하고 있다. 즉, 위치와 운동량은 동시 가측량이 아니라는 것인데, 이것은 논의를 거치면서 더 명확해진다.
4. 상태의 중첩[편집]
어떤 입자의 상태 [math(\psi(x))]가 주어졌다고 생각해보자. 양자역학적으로 이것은 수많은 운동량 고유 상태의 중첩
[math( \displaystyle \begin{aligned} \psi(x) &=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) | k \rangle \,{\rm d}k \\&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{ikx}\,{\rm d}k \end{aligned} )]
으로 생각할 수 있다. [math(k)]값에 대한 제한이 일단은 없는 상태 즉, 연속적인 스펙트럼을 갖기 때문에 합의 기호가 아닌 적분으로 나타냈다.
따라서 [math(\psi(x))]의 상태에 있는 입자에 대하여 운동량을 측정하여 [math(\hbar k)]를 얻었다면, 상태는 [math(| k \rangle )]로 고정될 것이다. 이 상태에서 다시 운동량을 측정한다면 고정된 상태에 따라 [math(\hbar k)]를 얻지만, 위치 등을 측정할 경우 해당 상태는 해당 가측량에 대한 고유상태가 아니기 때문에 계의 정보가 파괴되게 된다.
계수 [math(\phi(k))]를 구해보자.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle k'| \psi(x) \rangle &=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) \langle k' | k \rangle \,{\rm d}k \\&=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) \delta(k-k') \,{\rm d}k \\&=\phi(k') \end{aligned} )]
따라서
[math( \displaystyle \begin{aligned} \phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-ikx}\,{\rm d}x \end{aligned} )]
이 계수 [math(\phi(k))]에 대하여 [math(|\phi(k)|^{2}\,{\rm d}k)]은 구간 [math([k,\,k+{\rm d}k] )]에서 입자가 [math(p=\hbar k)]의 운동량을 가질 확률을 나타내는 것이다.
5. 기댓값[편집]
기댓값을 구하는 것은 다른 연산자와 동일하게
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle p \rangle &=\langle \psi | \hat{p} |\psi \rangle \\&= \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast} \hat{p} \psi\,{\rm d}x \end{aligned} )]
을 이용하면 된다.
5.1. 기댓값의 시간 변화[편집]
양자역학에서 기댓값의 시간 전개는 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\langle A \rangle}{{\rm d}t}=\frac{i}{\hbar}\langle [\hat{\mathcal H},\,\hat{A}] \rangle +\biggl\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \biggr\rangle \end{aligned} )]
운동량 연산자는 시간에 의존하지 않으므로 우변의 제2항은 0이 되고, 뒷 문단에서 증명하겠지만 [math([\hat{\mathcal{H}},\,\mathbf{\hat{p}}]=i\hbar \boldsymbol{\nabla} V)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\langle \mathbf{p} \rangle}{{\rm d}t}=-\langle \boldsymbol{\nabla} V \rangle \end{aligned} )]
고전역학에서
[math(\displaystyle \frac{{\rm d} \mathbf{p}}{{\rm d}t}=-\boldsymbol{\nabla}V )]
와 비슷한 결과를 얻었음을 알 수 있다. 추가적으로 증명은 하지 않겠지만 다음이 성립함을 일러둔다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\langle \mathbf{r} \rangle}{{\rm d}t}=\frac{\langle \mathbf{p} \rangle}{m} \end{aligned} )]
이 또한 고전역학에서 [math(m \mathbf{\dot{r}}=\mathbf{p})]임과 비슷한 결과를 얻은 것이다.
만일 퍼텐셜이 없는 자유입자의 상황이라면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\langle \mathbf{p} \rangle}{{\rm d}t}=\mathbf{0} \end{aligned} )]
으로 고전역학에서 외력이 가해지지 않는 입자의 운동량이 보존된다는 결과와 유사한 결과를 얻을 수 있다.
6. 자기 수반성[편집]
운동량 연산자가 자기 수반성(hermiticity)을 갖는지 알아보자. 그것을 검증하려면
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle \hat{p} f_{1} | f_{2} \rangle=\langle f_{1} | \hat{p} f_2 \rangle \end{aligned} )]
임을 증명하면 된다. 우변은
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{\infty} f_{1}^{\ast} \frac{\partial f_{2}}{\partial x}\,{\rm d}x \end{aligned} )]
이고, 좌변은
[math( \displaystyle \begin{aligned} -\frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} f_{1}^{\ast}f_{2}\,{\rm d}x &=-\frac{\hbar}{i} \left( \biggl[f_{1}^{\ast}f_{2} \biggr]_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}^{\ast}\frac{\partial f_{2}}{\partial x}\,{\rm d}x \right) \end{aligned} )]
이 된다. 이것을 전개할 때는 부분적분을 사용했다. 만약 [math(f_{1})], [math(f_{2})]가 힐베르트 공간의 원소라면 우변의 제 1항은 0이 된다. 즉,
[math( \displaystyle \begin{aligned} -\frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} f_{1}^{\ast}f_{2}\,{\rm d}x &=\frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{\infty} f_{1}^{\ast}\frac{\partial }{\partial x}f_{2}\,{\rm d}x \\&=\langle f_{1} | \hat{p} f \rangle \end{aligned} )]
이상에서 [math(\hat{p}=\hat{p}^{\dagger})], 즉 자기 수반성을 가진다.
7. 기저의 변환[편집]
위의 결과
[math( \displaystyle \begin{aligned} \psi(x) &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{ikx}\,{\rm d}k \\ \phi(k)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-ikx}\,{\rm d}x \end{aligned} )]
는 사실 푸리에 변환이다. 이 두 식은 곧 파동함수에 대하여 위치 표현(위치를 기저로 함)과 운동량 표현(운동량을 기저로 함)의 관계를 나타낸다고 할 수 있다.
또한 알고 있듯,
- [math(|\psi(x)|^{2}\,{\rm d}x)]는 구간 [math([x,\,x+{\rm d}x])] 사이에 입자가 위치할 확률
- [math(|\phi(k)|^{2}\,{\rm d}k)]는 구간 [math([k,\,k+{\rm d}k])] 사이에 입자가 운동량 [math(p=\hbar k)]를 가질 확률
한 예로 초기의 사각파를 보고자 한다. 초기의 파동함수가
[math( \displaystyle \psi(x)=\begin{cases} A& \quad \left(-\dfrac{a}{2} \leq x \leq \dfrac{a}{2} \right ) \\ 0 & \quad (\textsf{otherwise}) \end{cases} )]
의 형태로 주어진다고 생각해보자. 파동함수는 규격화가 가능해야 하므로
[math( \displaystyle \int_{-a/2}^{a/2}|A|^{2}\,{\rm d}x=1 )]
을 만족해야 하므로 규격화 상수는 [math(A=(\sqrt{a})^{-1})]이다. 따라서 규격화된 파동함수는 아래와 같다.
[math( \displaystyle \psi(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{a}}& \quad \left(-\dfrac{a}{2} \leq x \leq \dfrac{a}{2} \right ) \\ 0 & \quad (\textsf{otherwise}) \end{cases} )]
이때, [math(k)]공간으로 변환하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} \phi(k)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-ikx}\,{\rm d}x \\&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi a}}\int_{-a/2}^{a/2} e^{-ikx}\,{\rm d}x \\&=\sqrt{\frac{a}{2\pi }}\frac{\sin{\biggl( \dfrac{ka}{2} \biggr)}}{\dfrac{ka}{2}} \end{aligned} )]
즉, [math(k)]공간의 파동함수는 sinc 함수 형태이다. 따라서 [math([k,\,k+{\rm d}k])]에서 운동량 [math(p=\hbar k)]를 가질 확률 밀도 함수는
[math( \displaystyle \begin{aligned} |\phi(k)|^{2}&=\frac{a}{2\pi}\frac{\sin^{2}{\biggl( \dfrac{ka}{2} \biggr)}}{\biggl( \dfrac{ka}{2} \biggr)^{2}} \end{aligned} )]
실제로 적분해보면 이 함수의 전구간의 적분값은
[math( \displaystyle \begin{aligned} \int_{\infty}^{\infty}|\phi(k)|^{2}\,{\rm d}k=1 \end{aligned} )]
이다. 초기의 사각파를 파동함수로 갖는 입자의 운동은 아래와 같이 요약할 수 있다.
- [math(|\phi(k)|^{2})]은 [math(k=0)]에서 최댓값을 갖는다. 따라서 운동량을 측정됐을 때, 빈번하게 측정되는 값은 [math(p=0)]이다.
- [math(|\phi(k)|^{2})]은
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{ka}{2}=n \pi \quad \to \quad k=\frac{2n \pi}{a} \quad \end{aligned} )] (단, [math(n \neq 0)]인 정수)
이처럼 입자의 운동을 통계적으로 분석할 수 있기에 고체물리학과 관련된 학문에서는 이 운동량 공간의 파동함수를 주로 사용한다.
8. 교환자 관계[편집]
양자역학에서 다른 연산자와 교환자 관계를 알아보는 것은 매우 중요한 것으로, 동시 가측량인지, 파동함수를 공유하는지 알게해준다.
가장 중요한 관계는 위치 연산자와 운동량 연산자의 교환자 관계이다.
[math( \displaystyle \begin{aligned}[\hat{x},\,\hat{p}]=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x} \end{aligned} )]
우선 제 1항부터 조사해보자.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{x}\hat{p}&=-i\hbar x \frac{\partial}{\partial x} \end{aligned} )]
제 2항을 조사할 땐 미분 연산자가 있다는 것에 유의해야 한다. 시험 함수를 넣어 조사한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{p}\hat{x}f&=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} (xf) \\&=-i\hbar f- i\hbar x\frac{\partial}{\partial x}f \\ \\ \therefore \hat{p}\hat{x}&=-i\hbar \left( 1+x\frac{\partial}{\partial x} \right) \end{aligned} )]
이상에서
[math( \displaystyle \begin{aligned}[\hat{x},\,\hat{p}]=i\hbar \end{aligned} )]
임을 얻는데, 이를 정준 교환 관계(canonical commutation relation)라 한다. 즉, 위치와 운동량은 동시 가측량이 아님을 내포하고 있다. 또한 위치 연산자에 대한 고유함수와 운동량 연산자에 대한 고유함수는 공유하지 않는다.
3차원 상에서는 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} [\hat{x}_{j},\,\hat{p}_{k}]=\delta_{jk} i\hbar \end{aligned} )]
[math(\delta_{jk})]는 크로네커 델타이다.
다음으로 알아볼 것은 운동량 연산자와 해밀토니언 연산자이다. 먼저 자유입자인 경우를 알아보자. 이 경우 [math(\hat{V}=0)]이고, [math(\hat{\mathcal{H}}=\hat{p}^{2}/2m)]이다. 해밀토니언 연산자에서 앞에 붙은 상수는 무시하면 곧
[math( \displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{H}},\,\hat{p}]&=[\hat{p}^{2},\,\hat{p}] \\&=0 \end{aligned} )]
즉, 자유입자의 경우 해밀토니언 연산자와 운동량 연산자는 교환한다. 입자의 해밀토니언과 운동량은 동시 가측량이며, 두 연산자는 고유함수를 공유한다. 이는 3차원의 경우도 동일하게 성립한다. 하지만 자유입자가 아닌 경우에는 [math(\hat{\mathcal{H}}=\hat{T}+\hat{V}\,(\hat{T}=\hat{p}^{2}/2m))]라는 점에서 [math([\hat{V},\,\hat{p}])]를 조사하여야 한다. 시험함수 [math(f)]를 사용하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} [\hat{V},\,\hat{p}]f &=\frac{\hbar}{i}\left[ V(x) \frac{\partial f}{\partial x}- \frac{\partial }{\partial x} (Vf) \right] \\ &=\frac{\hbar}{i}\left[ V(x) \frac{\partial f}{\partial x}- V(x)\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial V}{\partial x} f \right] \\ &=i\hbar \frac{\partial V}{\partial x} f \\ \\ \therefore [\hat{V},\,\hat{p}]&=i\hbar \frac{\partial V}{\partial x} \end{aligned} )]
임의의 퍼텐셜 함수에 대하여 위 식의 값은 0이 아니다. 즉, 퍼텐셜이 0이거나 상수이지 않은 경우에는 교환하지 않는다. 일반적으로는 해밀토니언 연산자와 운동량 연산자는 동일한 고유함수를 가지지 않는다는 것을 알 수 있고, 두 물리량은 동시 가측량이 아니다. 정리하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{H}},\,\hat{p}]=i\hbar \frac{\partial V}{\partial x} \end{aligned} )]
3차원의 경우 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{H}},\,\mathbf{\hat{p}}]=i\hbar \boldsymbol{\nabla}V \end{aligned} )]
9. 불확정성 원리[편집]
일반적으로 자기 수반인 두 연산자 [math(\hat{A})], [math(\hat{B})]에 대한 각각의 불확정성 [math(\Delta A)], [math(\Delta B)]는 다음과 같이 주어진다. (증명은 불확정성 원리 문서를 참조하자.)
[math(\displaystyle \Delta A \Delta B \geq \left| \frac{1}{2i} \langle \psi | [\hat{A},\,\hat{B}] | \psi \rangle \right| )]
[math(\psi)]가 힐베르트 공간의 원소라면 [math([\hat{x},\,\hat{p}]=i\hbar)]이므로
[math(\displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} )]
이 성립한다. 즉, 위치와 운동량은 동시가측량이 아님을 내포하고 있다. 자세한 해석은 불확정성 원리 문서를 참조한다.
10. 변위 연산자[편집]
양자역학적으로 계에 미소 변위 [math(\delta \mathbf{r} \ll 1)]을 가하는 연산자를 조사해보자. 상태 [math(f)]에 대하여 변위를 적용한 결과는
[math( \displaystyle f(\mathbf{r}-\delta \mathbf{r})=f(\mathbf{r})-\boldsymbol{\nabla}f \boldsymbol{\cdot} \delta \mathbf{r} )]
[math(\delta r \ll 1)]을 만족하므로 1차항까지만 전개하였다. 한편, 운동량 연산자의 정의
[math( \displaystyle \frac{\hbar}{i}\boldsymbol{\nabla}=\mathbf{\hat{p}} )]
를 사용하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} f(\mathbf{r}-\delta \mathbf{r})&=f(\mathbf{r})-\frac{i}{\hbar}\mathbf{\hat{p}}f \boldsymbol{\cdot} \delta \mathbf{r} \\&=\left( \hat{I}-\frac{i}{\hbar}\delta \mathbf{r} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\hat{p}} \right) f(\mathbf{r}) \end{aligned} )]
여기서 나온 연산자항을 미소 변위만큼 평행이동시키는 변위 연산자(translation operator)라 볼 수 있다. [math(\hat{I})]는 자기자신을 내놓는 항등 연산자이다.
무한소 변위가 아닌 변위 [math(\mathbf{a}\,(a\gg 1))]에 대하여 다음과 같이 쓰자
[math( \displaystyle \delta \mathbf{r}=\lim_{N \to \infty} \frac{\mathbf{a}}{N} )]
변위에 대한 변위 연산자는 무한소 변위 연산자를 무한번 적용하여 얻는다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{D}&=\lim_{N \to \infty} \left( \hat{I}-\frac{i}{\hbar}\frac{\mathbf{a}}{N} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\hat{p}} \right)^{N} \\&=\exp{\biggl(-\frac{i}{\hbar} \mathbf{a} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\hat{p}} \biggr)} \end{aligned} )]
여기서 자연로그의 밑의 정의
[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{a}=\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{a}{x} \right)^{x} \end{aligned})]
를 사용하였다.
간단하게 1차원을 고려하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{D}&=\exp{\biggl(-\frac{i}{\hbar} a \hat{p} \biggr)} \end{aligned} )]
이에 대한 역연산자는 [math(-a)]만큼의 변위를 가하는 연산자일 것이므로
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{D}^{-1}&=\exp{\biggl(\frac{i}{\hbar} a \hat{p} \biggr)} \end{aligned} )]
그런데 이 역연산자와 본래의 연산자의 가중 적용은 결국 항등 연산자와 같을 것이다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{D}\hat{D}^{-1}=\hat{D}^{-1}\hat{D}=\hat{I} \end{aligned} )]
한편,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{D}^{\dagger}&=\left[ \exp{\biggl(-\frac{i}{\hbar} a \hat{p} \biggr)} \right]^{\dagger} \\&=\left[ \sum_{n} \frac{1}{n!}\left(-\frac{i}{\hbar} a \hat{p} \right)^{n} \right]^{\dagger} \\&=\sum_{n} \frac{1}{n!}\left(\frac{i}{\hbar} a \hat{p}^{\dagger} \right)^{n} \\&=\sum_{n} \frac{1}{n!}\left(\frac{i}{\hbar} a \hat{p} \right)^{n} \qquad (\because \hat{p}^{\dagger}=\hat{p}) \\&=\exp{\biggl(\frac{i}{\hbar} a \hat{p} \biggr)} \\&=\hat{D}^{-1} \end{aligned} )]
즉,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{D}\hat{D}^{\dagger}=\hat{D}^{\dagger}\hat{D}=\hat{I} \end{aligned} )]
인데 이러한 연산자를 유니터리 연산자(unitary operator)라 한다.
10.1. 다시 찾아본 운동량 보존[편집]
변위 연산자를 적용하기 전의 상태를 [math(| \mathbf{r} \rangle)]이라 쓰자. 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} | \mathbf{r}+\delta \mathbf{r} \rangle =\hat{D} | \mathbf{r} \rangle \end{aligned} )]
만약 공간이 균질하다면, 입자의 해밀토니언은 이러한 변환에 불변이다. 변화 후 해밀토니언을 측정한다는 것은 곧
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle \mathcal{H}\rangle=\langle \mathbf{r}+\delta \mathbf{r} | \hat{\mathcal{H}}| \mathbf{r}+\delta \mathbf{r} \rangle \end{aligned} )]
일것이다. 한편, 맨 위의 식에 복소공액을 취하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle \mathbf{r}+\delta \mathbf{r} | = \langle \mathbf{r} | \hat{D}^{\dagger} \end{aligned} )]
따라서
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle \mathbf{r}+\delta \mathbf{r} | \hat{\mathcal{H}}| \mathbf{r}+\delta \mathbf{r} \rangle=\langle \mathbf{r} |\hat{D}^{\dagger} \hat{\mathcal{H}}\hat{D}| \mathbf{r} \rangle \end{aligned} )]
우리가 고려하는 것은 매우 짧은 시간에 미소 변위만큼 계를 평행이동하는 상황을 고려하고 있다. 변위 전과 변위 후의 해밀토니언은 같게 측정돼야 하므로
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle \mathcal{H}\rangle=\langle \mathbf{r}+\delta \mathbf{r} | \hat{\mathcal{H}}| \mathbf{r}+\delta \mathbf{r} \rangle=\langle \mathbf{r} | \hat{\mathcal{H}}| \mathbf{r} \rangle \end{aligned} )]
이는 균질한 공간을 고려하고 있고, 해밀토니언은 이러한 변환에 불변하기 때문이다.
이상에서
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}=\hat{D}^{\dagger} \hat{\mathcal{H}}\hat{D} \end{aligned} )]
양변의 왼쪽에 변위 연산자를 가하고 정리하면 변위 연산자가 유니터리 연산자라는 특성에서 다음이 얻어진다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}\hat{D}-\hat{D}\hat{\mathcal{H}} =[\hat{\mathcal{H}},\,\hat{D}]=0 \end{aligned} )]
위 교환자 관계를 조사하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{H}},\,\hat{D}]&=\left[\hat{\mathcal{H}},\, \hat{I}-\frac{i}{\hbar} \delta \mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{p}} \right] \\&=[\hat{\mathcal{H}},\,\hat{I}]-\frac{i}{\hbar}[\hat{\mathcal{H}},\, \delta \mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{p}} ] \\&=-\frac{i}{\hbar}\delta \mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} [\hat{\mathcal{H}},\, \mathbf{\hat{p}} ] \end{aligned} )]
임의의 변위에 대해서 생각하므로
[math( \displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{H}},\, \mathbf{\hat{p}} ]=\mathbf{0} \end{aligned} )]
이것은 곧 위에서 증명했던 운동량 기대치의 보존
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\langle \mathbf{{p}} \rangle}{{\rm d}t} =\mathbf{0} \end{aligned} )]
을 나타낸다. 즉, 공간의 균질성이 선운동량 보존을 이끌어낸다는 것이 양자역학에서도 확인된 것이다.
11. 지름방향 운동량 연산자[편집]
이곳에서 지름방향의 운동을 기술하는, 즉 지름방향의 운동량을 측정하는 연산자는 위치 표현에서 다음과 같음을 밝혀냈다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{P}}_{r}= \frac{\hbar}{i}\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \end{aligned} )]
지름방향의 운동을 측정하는 것 또한 한 축에 대한 운동량을 측정한다고 볼 수 있을 것이다. 우리가 잡은 좌표계는 절대적인 것이 아닌, 우리가 임의적으로 잡은 것이다. 따라서 지름 방향 또한 한 축에 대한 운동량이라고도 볼 수 있을 것이다. 그렇다면 지름방향의 운동량을 측정해도 그 값은 [math(\hbar k)] 형태로 나와야 할 것이다.
시험함수로 한 축에 대한 운동량 연산자에 대한 고유함수인 [math(\varphi_{k}(r)=e^{ikr})]을 대입해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{P}}_{r}e^{ikr}&=\frac{\hbar}{i}\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} re^{ikr} \\&=\frac{\hbar(kr-i)}{r}e^{ikr} \end{aligned} )]
로 고유치 방정식을 만족시키지 않는다. 다음의 시험함수 [math(\varphi_{k}(r)=r^{-1}e^{ikr})]를 대입해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{P}}_{r}\frac{e^{ikr}}{r}&=\frac{\hbar}{i}\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} rr^{-1}e^{ikr} \\&=\hbar k \frac{e^{ikr}}{r} \end{aligned} )]
따라서 지름방향의 운동량 연산자에 대한 고유함수는
[math(\displaystyle \begin{aligned} | k \rangle=\frac{e^{ikr}}{r} \end{aligned} )]
의 형태로 주어진다.
따로 증명하지는 않으나 이 연산자 또한 교환자 관계
[math(\displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{P}}_{r},\,\hat{r}]=i\hbar \end{aligned} )]
가 성립한다.
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