입자계의 운동역학
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분류
1. 개요[편집]
dynamics of a system of particles
이 문서에서는 여러 개의 입자가 한 계를 이루고 있는 계의 역학에 대해서 논의해보고자 한다.
이러한 논의는 이어서 강체의 역학을 논의하는데 이어지게 된다.
2. 내력[편집]
입자가 한 개가 있을 때는 물체에 가해지는 외력만 중요시 여기면 된다. 그러나 계가 여러 개의 입자를 가질 때는 그 입자들 사이에 작용하는 내력('내부력'이라고도 한다.)의 존재가 부각되게 된다.
하지만 결과적으로 이러한 내력은 물체의 운동에 영향을 끼치지 않게 됨을 이 문서에서 확인할 수 있다.
3. 선수 지식[편집]
3.1. 중심력[편집]
중심력은 고정된 정점으로 부터 떨어진 거리에만 의존하는 힘을 의미한다.
자세한 내용은 중심력 문서를 참고하라.
3.2. 뉴턴 제3법칙[편집]
이러한 내력을 논의하는 데는 뉴턴의 운동 법칙 중 제3법칙을 토대로 논의하게 된다.
두 입자 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]가 있고, [math(\rm A)]가 [math(\rm B)]에 가하는 힘을 [math(\mathbf{f}_{\rm AB})]라 하자. 이때 [math(\rm B)]가 [math(\rm A)]에 가하는 힘은 [math(\mathbf{f}_{\rm BA})]로 쓸 수 있을 것이다. 이때, 뉴턴 제3법칙은
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{f}_{\rm BA}=-\mathbf{f}_{\rm AB} \end{aligned})]
을 의미한다. 즉, 두 물체 사이에 작용하는 힘은 크기가 같고, 서로 반대 방향이 된다.
중심력과 같은 힘은 여기에 좀 더 제한을 가할 수 있는데, 이러한 두 힘이 두 물체를 잇는 직선 상에 위치한다는 것이다.
보통 입자의 내력은 중력이나 전기력 같은 중심력인 경우가 많기 때문에 논의를 이어갈 때 내력은 중심력만 작용한다고 가정할 것이다.
3.3. 질량중심[편집]
질량중심은 계의 질량중심은 모든 질량이 그 점에 모여 있고, 외력이 모두 그 점에 작용하는 것처럼 움직이는 특별한 점이다.
[math(i)]번째 입자의 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}_{i})]라 할 때, 질량 중심 벡터 [math(\mathbf{R})]에 대하여 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} M\mathbf{R}=\sum_{i} m_{i}\mathbf{r}_{i} \end{aligned})]
여기서 [math(M=\displaystyle\sum_{i}m_{i})]이다.
자세한 내용은 질량중심 문서를 참고하라.
3.4. 보존력과 퍼텐셜 에너지의 관계[편집]
보존력 [math(\mathbf{F})]는 그 퍼텐셜 에너지 [math(U)]와 다음의 관계를 갖는다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U \end{aligned})]
3.5. 합의 기호의 수법[편집]
다음과 같은 합을 고려해보자.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \sum_{i=1}^{3}\sum_{j \neq i}^{3} f_{ij}&=f_{12}+f_{13}+f_{21}+f_{23}+f_{31}+f_{32}\\&=(f_{12}+f_{21})+(f_{13}+f_{31})+(f_{23}+f_{32}) \end{aligned})]
따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \sum_{i=1}^{3}\sum_{j \neq i}^{3} f_{ij}&=\sum_{i<j}^{3}(f_{ij}+f_{ji}) \end{aligned})]
4. 입자계의 물리량[편집]
4.1. 계의 선운동량[편집]
[math(i)]번째 질점의 선운동량은
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{ p}_{i}= m_{i}\mathbf{\dot{r}}_{i} \end{aligned})]
따라서 계의 선운동량은 이것을 모두 합하면 된다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{ p}&= \sum_{i}m_{i}\mathbf{\dot{r}}_{i}\\&=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\sum_{i}m_{i}\mathbf{r}_{i} \\ &= M \mathbf{\dot{R}}\end{aligned})]
이상에서 계의 선운동량은 질량 중심의 선운동량과 같음을 알 수 있다. 여기서 한 번 시간 미분을 거치면
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot p}&= M \mathbf{\ddot{R}}\end{aligned})]
이다. 한편, [math(i)]번째 질점에 뉴턴 제2법칙을 적용하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot p}_{i}= \mathbf{F}_{i}^{(e)}+\sum_{i\neq j}\mathbf{f}_{ji} \end{aligned})]
[math(\mathbf{F}_{i}^{(e)})]는 [math(i)]번째 질점에 작용하는 외력을 뜻한다. 따라서 입자계의 선운동량은 이것의 합일 것이다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot p}=\sum_{i} \biggl[\mathbf{F}_{i}^{(e)}+\sum_{j\neq i}\mathbf{f}_{ji} \biggr] \end{aligned})]
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot p}=\sum_{i} \mathbf{F}_{i}^{(e)}+\sum_{i<j}(\mathbf{f}_{ji}+\mathbf{f}_{ij}) \end{aligned})]
따라서 뉴턴 제3법칙 [math(\mathbf{f}_{ji}=-\mathbf{f}_{ij})]를 적용하면 제2항은 사라진다. 이상에서
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot p}&=\sum_{i} \mathbf{F}_{i}^{(e)} \\&=\mathbf{F}^{(e)}\end{aligned})]
이다. 위 결과와 합치면
[math( \displaystyle \begin{aligned} M\mathbf{\ddot{R}}&=\mathbf{F}^{(e)}\end{aligned})]
이것이 계의 운동 방정식이 된다.
위 논의는 계의 병진 운동은 질량중심의 운동을 살펴보는 것으로 대치할 수 있음을 나타낸다.
4.2. 계의 각운동량[편집]
계의 각운동량은 선운동량과 마찬가지로 [math(i)]번째 질점의 각운동량을 검토하는 것에서부터 시작한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{L}_{i}&=\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{p}_{i} \\ &=m_{i} \mathbf{r}_{i} \times \mathbf{\dot{r}}_{i} \end{aligned})]
이때, 질량 중심을 시점으로하는 [math(i)]번째 입자의 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}_{i}')]라 하자. 즉, [math(\mathbf{r}_{i}=\mathbf{R}+\mathbf{r}_{i}')]인 것이다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{L}_{i} &=m_{i} (\mathbf{R}+\mathbf{r}_{i}') \times (\mathbf{\dot R}+\mathbf{\dot r}_{i}') \\ &=m_{i}[(\mathbf{R} \times \mathbf{\dot R} )+(\mathbf{ R} \times \mathbf{\dot r}_{i}' )+(\mathbf{ r}_{i}' \times \mathbf{\dot R} )+(\mathbf{r}_{i }' \times \mathbf{\dot r}_{i}') ] \end{aligned})]
이것을 합하면 계의 각운동량이 된다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{L}&=\sum_{i}\mathbf{L}_{i} \\ &=\sum_{i} m_{i}[(\mathbf{R} \times \mathbf{\dot R} )+(\mathbf{ R} \times \mathbf{\dot r}_{i}' )+(\mathbf{ r}_{i}' \times \mathbf{\dot R} )+(\mathbf{r}_{i }' \times \mathbf{\dot r}_{i}') ] \end{aligned})]
한편, 제2항과 제3항은 아래와 같이 영 벡터가 되는데,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \sum_{i}m_{i}(\mathbf{ R} \times \mathbf{\dot r}_{i}' )&=\mathbf{ R} \times \sum_{i} m_{i}\mathbf{\dot r}_{i}' \\ &=\mathbf{ R} \times \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\sum_{i} m_{i}\mathbf{ r}_{i}'\\ &=\mathbf{ R} \times \mathbf{0} \\&=\mathbf{0} \\ \\ \sum_{i}m_{i}(\mathbf{ r}_{i}' \times \mathbf{ \dot R} )&= \sum_{i}m_{i}\mathbf{ r}_{i}' \times \mathbf{\dot{R}} \\ &=\mathbf{0} \times \mathbf{\dot{R}} \\&=\mathbf{0} \end{aligned})]
이것은 [math(\displaystyle\sum_{i}m_{i}\mathbf{ r}_{i}')]가 질량중심을 원점으로 하여 측정된 질량중심 벡터라고 해석할 수 있고, 그렇게 구한 값은 질량중심 자체가 원점으로 뒀기 때문에 영 벡터가 되기 때문이다. 따라서
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{L} &=\sum_{i}m_{i}[(\mathbf{R} \times \mathbf{\dot R} )+(\mathbf{r}_{i}' \times \mathbf{\dot r}_{i}') ] \\&=\mathbf{R}\times M\mathbf{\dot R}+\sum_{i}\mathbf{r}_{i}' \times m_{i}\mathbf{\dot r}_{i}' \\ &=\mathbf{R} \times \mathbf{p}+\sum_{i}\mathbf{r}_{i}'\times \mathbf{p}_{i}' \end{aligned})]
이것은 계의 각운동량은 원점에 대한 질량중심의 각운동량과 질량중심에 대한 각 입자의 각운동량의 합과 같음을 얻는다.
이제 각운동량의 시간 변화를 살펴보자. 윗 식에 의하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot{L}} &= \sum_{i}\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{F}_{i} \\ &=\sum_{i}\biggl[ \mathbf{r}_{i} \times \biggl(\mathbf{F}_{i}^{(e)}+\sum_{j \neq i} \mathbf{f}_{ji} \biggr) \biggr] \end{aligned})]
제2항은
[math( \displaystyle \begin{aligned} \sum_{i}\sum_{j \neq i} \mathbf{r}_{i}\times \mathbf{f}_{ji}&=\sum_{i<j} (\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{f}_{ji}+\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{f}_{ij}) \\ &= \sum_{i<j} (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}) \times \mathbf{f}_{ji} \end{aligned})]
여기서 뉴턴 제3법칙을 사용하였다. 그런데 우리는 내력으로 중심력을 다루고 있고, 이는 내력이 두 질점을 이은 선분 위에 있어야 함을 논의했다. 따라서 위 항은 영 벡터가 된다. 이상에서
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot{L}} &=\sum_{i}\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{F}_{i}^{(e)} \\&=\sum_{i} \mathbf{N}^{(e)}_{i}\\ &=\mathbf{N}^{(e)} \end{aligned})]
계의 각운동량의 시간 변화는 외부 토크와 같다.
4.3. 계의 에너지[편집]
4.3.1. 운동 에너지[편집]
운동 에너지는 일-운동 에너지 정리로 유도할 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} W=\sum_{i}\int m_{i}\mathbf{\ddot{r}}_{i} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{i} \end{aligned})]
이것을 변형하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} W&=\sum_{i}\int m_{i}\frac{{\rm d} \mathbf{\dot r}_{i}}{{\rm d}t} \boldsymbol{\cdot} \frac{{\rm d}\mathbf{r}_{i}}{{\rm d}t}\,{\rm d}t \\&=\sum_{i}\int m_{i}\frac{{\rm d} \mathbf{\dot r}_{i}}{{\rm d}t} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{r}}_{i}\,{\rm d}t \\&=\sum_{i}\int {\rm d}\biggl[ \frac{1}{2}m_{i} (\mathbf{\dot r}_{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{\dot r}_{i}) \biggr] \\&= \sum_{i}\int {\rm d}T_{i} \\&=\sum_{i}\Delta T_{i} \\&=\Delta T \end{aligned})]
즉, 계의 운동 에너지는
[math( \displaystyle \begin{aligned} T=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}(\mathbf{r}_{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}_{i}) \end{aligned})]
으로 주어진다. 각운동량 분석시 도입했던 [math(\mathbf{r}_{i}')]를 도입하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} T&=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}(\mathbf{\dot r}_{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{\dot r}_{i}) \\&=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}(\mathbf{\dot R}+\mathbf{\dot r}_{i}) \boldsymbol{\cdot}(\mathbf{\dot R}+\mathbf{\dot r}_{i}) \\&=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i} [ \dot{R}^{2}+2 \mathbf{\dot R}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot r}_{i}'+\dot{r}_{i}'^{2} ] \end{aligned})]
위에서 분석한 것 처럼 [math(\displaystyle\sum_{i} m_{i} \mathbf{r}'_{i}=\mathbf{0} )]이기 때문에 제2항은 0이 되고, 결국 운동 에너지는 다음과 같이 두 항으로 나타난다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} T=\frac{1}{2}MV^{2}+\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}v_{i}'^{2} \end{aligned})]
여기서 [math(\mathbf{V}=\mathbf{\dot{R}})]으로 질량 중심의 속도, [math(\mathbf{v}_{i}'=\mathbf{\dot{r}}'_{i})]로 질점의 질량 중심에 대한 상대 속도이다.
4.3.2. 에너지 보존[편집]
다시 계의 일을 검토해보자.
[math( \displaystyle \begin{aligned} W= \sum_{i }\int \biggl(\mathbf{F}_{i}^{(e)}+\sum_{j \neq i }\mathbf{f}_{ji}\biggr)\boldsymbol{\cdot}{\rm d}\mathbf{r}_{i} \end{aligned})]
이때, 모든 힘이 보존력이라 가정하면
[math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}_{i}^{(e)}&=-\boldsymbol{\nabla}U_{i}^{(e)} \end{aligned})]
로 쓸 수 있다. 따라서
[math( \displaystyle \begin{aligned} W &=-\sum_{i} \int \boldsymbol{\nabla}U_{i}^{(e)} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{i}-\sum_{i}\sum_{j \neq i} \int \mathbf{f}_{ji} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{i} \end{aligned})]
형식으로 쓸 수 있고, 제1항은 단순히 다음과 같이 써진다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} -\sum_{i} \int \boldsymbol{\nabla}U_{i}^{(e)} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{i}&=-\sum_{i} \Delta U_{i}^{(e)} \\&=-\Delta U^{(e)} \end{aligned})]
한편, 제2항은 약간 변형하여
[math( \displaystyle \begin{aligned}\sum_{i}\sum_{j \neq i} \int \mathbf{f}_{ji} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{i}&=\sum_{i<j}(\mathbf{f}_{ji}\boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{i}+\mathbf{f}_{ij}\boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{j}) \end{aligned})]
마찬가지로 뉴턴 제3법칙을 사용해서
[math( \displaystyle\begin{aligned} \sum_{i<j}(\mathbf{f}_{ji}\boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{i}+\mathbf{f}_{ij}\boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{j}) &=\sum_{i<j} \mathbf{f}_{ji}\boldsymbol{\cdot}{\rm d} \mathbf{r}_{ij} \end{aligned})]
한편, [math(U_{ji})]의 전미분을 검토해보자. [math(U_{ji})]는 [math(x_{i\alpha})]와 [math(x_{j\alpha})]에 모두 의존한다. 여기서 [math(x_{i \alpha})]는 [math(i)]번째 질점의 [math(\alpha)]번째 좌표이다.
[math( \displaystyle\begin{aligned} {\rm d}U_{ji} &=\sum_{\alpha} \biggl[ \frac{\partial U_{ji}}{\partial x_{i \alpha}}\,{\rm d}x_{i\alpha}+\frac{\partial U_{ji}}{\partial x_{j \alpha}}\,{\rm d}x_{j\alpha} \biggr] \\&=\boldsymbol{\nabla}_{i} U_{ji} \boldsymbol{\cdot}{\rm d}\mathbf{r}_{i}+\boldsymbol{\nabla}_{j} U_{ji} \boldsymbol{\cdot}{\rm d}\mathbf{r}_{j} \end{aligned})]
한편, [math(U_{ji}=U_{ij})]이므로 위 식을
[math( \displaystyle\begin{aligned} {\rm d}U_{ji} &=\boldsymbol{\nabla}_{i} U_{ji} \boldsymbol{\cdot}{\rm d}\mathbf{r}_{i}+\boldsymbol{\nabla}_{j} U_{ij} \boldsymbol{\cdot}{\rm d}\mathbf{r}_{j} \\&=\mathbf{f}_{ji} \boldsymbol{\cdot}{\rm d}\mathbf{r}_{i} + \mathbf{f}_{ij} \boldsymbol{\cdot}{\rm d}\mathbf{r}_{j} \\&=\mathbf{f}_{ji} \boldsymbol{\cdot} ({\rm d}\mathbf{r}_{i} -{\rm d}\mathbf{r}_{j} ) \\ &=\mathbf{f}_{ji} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{ij} \end{aligned})]
이상에서
[math( \displaystyle\begin{aligned} \sum_{i}\sum_{j \neq i} \int \mathbf{f}_{ji} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{r}_{i} &=\sum_{i<j} \int {\rm d} U_{ji} \\ &=\sum_{i<j } \Delta U_{ij} \end{aligned})]
따라서 한 일은
[math( \displaystyle\begin{aligned} W&=-\biggl[\sum_{i}\Delta U_{i}^{(e)}+\sum_{i<j} \Delta U_{ji} \biggr] \\&=-\Delta U \end{aligned})]
그런데, 윗 문단에서
[math( \displaystyle\begin{aligned} W=\Delta T \end{aligned})]
였으므로
[math( \displaystyle\begin{aligned} \Delta T=-\Delta U \quad \to \quad \Delta (T+U)=0 \end{aligned})]
즉, 보존계에서 에너지는 보존된다. 또, 계에 작용된 보존력이 한 일은 음의 퍼텐셜 에너지 변화량과 같다.
5. 관련 문서[편집]
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