응력
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1. 개요[편집]
應力 / Stress
[math(\sigma)], [math(\tau)] [1]
외력을 가할 때 변형된 물체 내부에 발생하는 단위 면적당 힘.
오귀스탱루이 코시가 1822년 처음 고안했다. 고체역학 혹은 섬유물리학에서 재료의 변형을 다룰 때 변형율과 함께 등장한다. 특히, 압력은 코시 응력 텐서의 대각합의 1/3이다.
2. 코시 응력 텐서[편집]
응력이란 단위 면적당 변형에 저항하는 힘이기 때문에 압력마냥 스칼라 내지 벡터일 것 같지만[2], 이 녀석은 텐서(Tensor)로 표시된다. 2차 텐서로 나타낼 수 있기 때문에 보통 3차원에서 어느 물체의 내부에 한 지점에서의 응력을 표시할 때에는 3×3 행렬을 이용하여 나타낸다.[3]
코시 스트레스 텐서의 행렬 표현식은 외부로부터 힘을 받아 변형을 일으킨 물체의 내부에 발생하는 단위면적당 힘으로 오귀스탱루이 코시가 1823,1827년에 각각 발표하였다.[4][5][가]
응력은 코시 응력 텐서이며:
[math(\begin{bmatrix}\sigma_{00}&\sigma_{01}&\sigma_{02}\\\sigma_{10}&\sigma_{11}&\sigma_{12}\\\sigma_{20}&\sigma_{21}&\sigma_{22}\end{bmatrix})]
[1] 시그마는 주로 수직 방향 응력을, 타우는 주로 전단 응력을 나타낸다.[2] traction 등 실제로 벡터로 나타나는 경우도 있긴 하나, 논의 영역 밖에 있다 하자.[3] 텐서는 행렬의 형태로 표현할 수 있지만 모든 행렬이 텐서는 아니며, 특정한 변환 규칙을 따른다. 2차 텐서는 흔히 아는 행렬 모양, 3차 텐서는 '행렬을 쌓아놓은 박스'모양으로 시각화가 가능하며 4차 텐서부터는 눈에 보이는 설명이 힘들다.[4] CAUCHY TETRAHEDRON ARGUMENT AND THE PROOFS OF THE EXISTENCE OF STRESS TENSOR, A COMPREHENSIVE REVIEW, CHALLENGES, AND IMPROVEMENTS ,EHSAN AZADI 2017https://arxiv.org/pdf/1706.08518v3.pdf[5] Recherches sur l’ ́equilibre et le mouvement int ́erieur des corps solides ou fluides, ́elastiques ou non ́elastiques. Bull Soc Filomat Paris 913, 1823 ,Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy. Série 2, tome 2 / publiées sous la direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k901948/f312.item.zoom[가] A. L. Cauchy. De la pression ou tension dans un corps solide (Ref 1823). Ex. de Math. 2, 42-56, 1827http://www.scienzadellecostruzioni.co.uk/Documenti/Cauchy%20-%20De%20la%20pression%20ou%20tension%20dans%20un%20corps%20solide.pdf P68,69
압력(혹은 인장 응력, 압축 응력)은 이 텐서의 대각합의 1/3이다. 이를 이해하기 위해, 다음을 예약하자:
물론, [math(\sigma_{ij})]는 번호 [math(i)]에 대응하는 법선벡터 방향으로, 번호 [math(j)]에 대응하는 평면으로 가한 (단위 면적당) 힘이다. 면에 수직한 방향으로 힘을 가하는 것은 압력이며, 당연히 이는 코시 응력 텐서의 대각합에 대응한다. 그 1/3배로 정의하는 이유는 (s_ij - p*I_3)의 제1불변량을 0으로 만들기 위함이다: 이상 기체의 압력 [math(P)]는 세 축에서 같으므로, 대각합으로 계산하면 3배로 뻥튀기될 것이다. 나머지 성분을 전단 응력이라 하며, 해당 내용은 후술한다.
물체를 아주 작은 상자들로 쪼갰을 때, 상자면에서 작용하는 힘이 면의 어떤 점에서나 일정하다면 법선벡터의 부호가 반대인 상자의 반대 면에 작용하는 [math(\sigma)], [math(\tau)]성분은 크기가 같고 방향이 반대이다. 물체가 평형상태라면 이 때 모멘트(돌림힘, 짝힘, 각힘, 뭐라 부르든)가 보존되어야 하므로, 이 행렬은 대칭행렬[6]이 된다. 즉 [math(\tau_{xy} = \tau_{yx})]. 그래서 이때 행렬의 9가지 성분 중 독립적인 성분은 6가지이다.
이 행렬의 축 벡터(pivot vector)를 취하면 [math(x, y, z)] 세 축에서의 수직 방향 응력을 알 수 있다.
코시 스트레스 텐서는 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations,NSE)을 보여준다. 한편 스트레스-에너지 텐서의 기초가 된다.
3. 탄성 한계 내에서 변형율과 응력[편집]
3.1. 인장/압축 응력[편집]
引張/壓縮 應力, tensile/compressive stress
어떤 재료의 단면에서 수직방향으로 작용하는 힘에 의한 응력. 방향에 따라 압축 응력과 인장 응력이 있다. 재료의 표면의 법선 방향으로 작용하므로 법선 응력/수직 응력(normal stress)이라고도 한다.
(재료의 인장 강도를 시험하는 대표적인 방식. 초록색으로 표시된 재료를 시간당 일정한 변형률에 따라 변형되도록 잡아당기고, 잡아당기는 데 드는 응력을 측정한다.)
길이가 [math(L)]인 어떤 기다란 재료 막대가 있다고 하자. 이 막대의 한쪽 끝을 벽에 단단히 고정하고 다른 쪽 끝을 잡은 뒤 막대의 방향으로 크기 [math(F)]만큼의 인장력을 가하면 이 막대는 강체가 아닌 이상 길이가 늘어나는 변형이 일어난다. 이때 재료 막대가 늘어난 길이를 [math(x)]라고 하자.
주어진 재료 막대의 변형율(Strain)은 [math(\epsilon)][7][math(=x/L)][8] 이다. 이 때 재료 막대의 변형은 다름 아닌 응력에 의해 일어나는 것이다. 응력은 막대의 단면에 작용하는 단위 면적당 힘이므로, 막대의 단면의 면적을 [math(A)]라고 했을 때 막대에 가해지는 응력은 [math(\sigma=F/A)]이다.
재료 막대에 가하는 힘과 변형된 길이는 탄성 한계 내에서 비례한다는 것이 후크 법칙(Hooke's Law)이므로, 재료 막대를 잡아당기는 힘 [math(F)]와 재료 막대가 늘어난 길이 [math(x)]의 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(F = kx)] (단, [math(k)]는 비례상수)
위 식의 양 변을 재료막대의 길이 [math(L)]과 재료 막대의 단면의 넓이 [math(A)]로 나눈다.
[math(F/LA = kx/LA)]
위 식을 정리하여 변형율과 응력에 대한 식으로 바꾸면 다음과 같다.
[math(\sigma = kx/A)]
[math(= E\epsilon)]
여기에서 응력과 변형율이 탄성 한계 내에서 비례관계임을 알 수 있으며 비례상수 [math(kL/A)]는 [math(E)]로 바꾸어쓴다. 이 [math(E)]가 바로 탄성 계수(modulus of elasticity)이다.[9] 탄성계수 [math(E)]는 물질의 고유한 성질이며, 여기에 재료의 단면적을 곱하고 재료의 길이로 나누면 그 재료의 스프링 상수를 알 수 있다. 일명 영의 계수(Young's modulus)라고 한다.
변형율 [math(\epsilon)]의 값이 양수일 경우 인장이라고 하며 이때 작용하는 응력 [math(\sigma)]를 인장 응력(Tensile Stress)이라고 한다. 변형율의 값이 음수일 경우에는 압축이라고 하며 작용하는 응력을 압축 응력(Compressive Stress)이라고 한다.[10]
3.2. 전단 응력[편집]
剪斷 應力 / shear stress
전단 응력은 어떤 재료의 면에 접하는 방향으로 작용하는 힘에 의한 응력이다. 때문에 접선 응력(tangential stress)이라고도 한다. 이해가 안된다면 두꺼운 책을 놓고 책 표지에 손바닥을 댄 다음 옆으로 민다고 생각해보자. 이때 책의 옆면은 직사각형에서 평행사변형 형태로 변형될 것이다. 이것이 바로 전단응력과 전단응력에 의한 변형이다. 또, 가위같은 것으로 물체를 자르는 것은 전단 응력에 의한 파괴를 이용한 것이다.
어떤 재료의 표면에 접선방향의 힘, 즉 전단력을 작용하였을 때 전단변형율(shear strain)은 재료가 기울어진 각도이다.
먼저 정육면체의 재료 블록이 있다고 하자. 이 재료 블록의 앞면은 정사각형 모양일 것이다. 그 뒤에 블록의 윗면에 전단력을 가하면서 재료 블록이 이동하지 않게 고정하면 블록은 강체가 아닌 한 변형을 일으킨다. 이때 앞면의 모양은 정사각형에서 평행사변형으로 변할 것이다. 앞면의 옆모서리가 밑면에 수직한 선(법선)에서 기울어진 정도가 바로 전단변형율 [math(\theta)]이다.
전단응력의 기호는 [math(\tau)]이고, 전단응력과 전단변형율의 관계는 다음과 같다.
[math( \tau = G\theta )]
여기서 [math(G)]는 전단계수(shear modulus) 혹은 강성계수(modulus of rigidity)이고, 탄성 계수와 마찬가지로 재료의 고유한 성질이다.
3.2.1. 마찰력[편집]
마찰력은 전단력으로 작용한다. 전단력이 무엇인지 몰랐다가 위에서 전단력, 전단응력에 대한 설명을 읽은 독자는 블록이 기울어지게 한 면을 밀어내는 상황을 보면서 전단력은 전부 마찰력에 의해 발생한다고 생각할 수 있으나, 전단력은 다른 경우에 발생하기도 한다.
예를 들어, 문서 맨 밑에서 볼 수 있듯이 전단력은 재료에 가해진 인장력 혹은 압축력이 내부에서 '비스듬한 법선력'과 '비스듬한 전단력'으로 분해되면서 발생하는 경우도 있다. 또한, 교량과 같은 보(Beam) 위에 하중이 놓여있을 때나 기둥의 중간에 중심축과 평행하지 않은, 횡방향 성분의 힘이 포함된 힘을 가할 때 전단력이 발생한다.(만약 종이를 높게 쌓은 경우에 가운데를 손가락으로 누르면 가운데가 튀어나온다. 이런 것도 전단력이 작용한 예)
3.3. 비틀림 응력[편집]
torsion stress
위의 전단 응력 항목에서 재료 블록의 밑면은 바닥에 단단히 고정되어 있었다. 그렇다면 이 재료 블록을 물 위에 혹은 공기 중에 둥둥 띄워놓은 뒤 전단력을 가하면 어떻게 될까? 아마도 빙글빙글 돌 것이다. 만약 위에서 나온 정육면체 재료 블록의 네 옆면의 위쪽에는 시계방향으로 전단력을 가하고 옆면의 아래 쪽에는 반시계방향으로 전단력을 가한다면 어떻게 될까? 위쪽은 시계방향으로, 아래쪽은 반시계방향으로 회전하려고 하면서 비틀릴 것이다.
즉, 비틀림은 전단 변형의 한 형태이다.
이번에는 원통형의 긴 재료 막대를 생각해보자. 이 막대의 밑면은 땅에 단단히 고정되어있다. 이 막대의 임의의 한 점 [math(A)]를 통과하는, 밑면에 수직한 선을 생각한 뒤, 이 선이 밑면과 닿는 점을 [math(O)]라고 하자. 그런 뒤 재료 막대를 비틀어 [math(\theta)][11]만큼 회전시켰다고 하자. 막대가 회전하게 되면 임의의 한 점 [math(A)]는 [math(A')]으로 이동하게 된다. 그러면 선분 [math(\overline{OA})]와 [math(\overline{OA'})]의 각도가 바로 이 재료 막대의 전단 변형율이고, 이 전단 변형율을 [math(\gamma)]라고 한다.
이 재료 막대의 단면의 반지름을 [math(r)]이라고 하고, 선분 [math(\overline{OA})]의 길이를 [math(L)]이라고 하자. 만약 매우 심하게 막대를 비튼 경우라면 [math(\overline{OA})]와 [math(\overline{OA'})]의 크기는 다르겠지만, 우리가 가정하는 경우에서 전단 변형율이 -3~3도를 넘어가는 경우는 거의 없으므로[12] [math(\overline{OA})]와 [math(\overline{OA'})]의 길이가 거의 같다고 할 수 있을 것이다. 따라서 전단 변형율 [math(\gamma)]와 비틀림 각 [math(\theta)] 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
[math(r\theta = L\gamma)][13]
그리고 [math(\gamma)]는 전단변형율이므로 비틀림에 의해 재료 막대 내부에 작용하는 전단 응력은 다음과 같다.
[math(\tau = G\gamma = G\theta(r/L) )]
그러므로 재료를 비틀 때 비틀림 각을 알고 재료의 비틀린 단면의 반지름과 재료의 길이, 전단 계수를 알면 재료 내부에 작용하는 전단 응력의 크기를 알 수 있다.
이때 [math(G(r/L))]을 비틀림 상수라고 한다.
3.4. 포아송 비와 인장력-전단응력 간의 관계[편집]
인장력이 작용하는 상황에서, 재료는 길이 방향으로 늘어나는 변형을 겪게 된다. 이때 재료는 수직방향으로는 길이가 늘어나지만 수평방향으로는 길이가 줄어든다.[14] 이것은 압축에서도 마찬가지인데, 횡방향으로는 길이가 오히려 늘어날 것이다. 이렇게 수직 방향으로 변형이 일어날 때 수평 방향으로도 변형이 일어난다.
수평 방향의 변형율을 수직 방향의 변형율로 나눈 것이 푸아송 비(Poisson's ratio)이다. 푸아송 비는 주로 [math(n)] 혹은 [math(\nu)][15]로 표기한다.
[math(\nu= - )] 횡방향 변형율 [math(/)] 종방향 변형율
앞에 음의 부호[math((-))]가 붙는 이유는, 종방향 변형율이 양수일 경우 즉 인장일 경우 횡방향 변형율은 항상 음수이고, 횡방향 변형율이 음수일 경우 즉 압축일 경우 횡방향 변형율은 항상 양수임로 횡방향 변형율을 종방향 변형율로 나눈 값은 항상 음수이기 때문에 최종적인 값을 양수로 만들어주기 위한 것이다.
재료의 고유한 성질인 탄성 계수 [math(E)]와 전단 계수 [math(G)]는 푸아송 비를 통해 하나의 식으로 표현할 수 있는데, 그 식은 다음과 같다.
[math(G = E / 2(1+\nu))]
즉, 전단 계수와 탄성 계수, 푸아송 비 중 두 개를 알면 나머지 하나를 계산을 통해 구할 수 있는 것이다.[16]
몇몇 폼 계열 재료처럼 미세 구조가 접혀진 고리 형태인 경우 인장력을 가했을 때 접혀진 고리가 펼쳐지면서 수평 방향의 길이가 늘어날 수 있다. 이렇게 인장과 압축 시 수평 길이가 반대로 늘고 줄어드는 재료는 음의 푸아송 비(Negative Poisson's ratio)를 가진다고 말한다. (오그제틱 물질, Auxetic material 로 검색하자) 다만 덩어리로 된 통상 재료라면 포와송 비를 양수로 가정해도 크게 문제될 것이 없다.
4. 탄성 한계를 벗어난 응력과 변형[편집]
4.1. 응력-변형율 선도[편집]
<출처 : 위키피디아 「응력-변형도 선도」(Stress-Strain Diagram)문서>
탄성 한계 내에서의 응력과 변형율의 관계는 위에 설명해놓았지만, 탄성 한계를 넘어간 영역에서의 응력과 변형율의 관계는 실험을 통해 알아내는 수밖에 없다.
위 선도는 재료 중에서 연성 재료의 응력-변형율 선도이다. (Stress-Strain Curve/Diagram)
위 선도에서 원점부터 2까지 응력과 변형율이 비례관계를 가지는 구간을 탄성 구간(Elastic Region)이라고 한다. 이 구간 안에서는 탄성이 지배적으로 작용한다. 때문에 변형율이 탄성 구간 안에 있으면 재료는 탄성에 의해 원래 모습으로 돌아오게 된다.[17]
위 선도에서 탄성 구간을 제외한 나머지 구간은 소성 구간 (Plastic Region)이라고 한다. 이 구간 안에서는 소성이 지배적으로 작용한다. 때문에 응력이 소성 구간까지 올라가면 재료는 다시 원래 모습으로 돌아올 수 없다.
그러나, 소성 구간에서 탄성이 작용하지 않는 것은 아니다. 재료의 변형율이 소성 구간의 중간 어느 지점까지 커지도록 한 후 재료에 힘을 가하는 것을 멈추면 재료는 그 변형된 그대로 가만히 있는 것이 아니라, 탄성에 의해 모습을 어느 정도 복원한다. 이를 탄성 복원(Elastic recovery/Spring back)이라고 한다.
만약 재료가 소성 구간에 있는 그래프 위의 임의의 점 P의 변형율까지 변형되었다가 응력이 사라질 경우, 재료는 점 P를 지나고 탄성 구간에서의 기울기와 똑같은 기울기를 가지는 직선이 가로축과 만나는 지점의 변형율로 되돌아간다. 그렇게 해서 점 P의 변형율보다는 적지만 값이 0은 아닌 변형율로 재료의 모양이 고정된다. 이때 새롭게 고정된 재료의 변형율을 영구 변형(permanent deformation/permanent set)이라고 한다.
위 선도를 보면 2에서 거의 수평으로 진행하는 구간이 있는데, 이 구간이 시작될 때의 응력을 항복 응력(Yield Stress) 혹은 항복 강도(Yield Strength)라고 하고 항복 구간이 시작되는 지점을 항복점이라고 한다. 이 응력에서는 응력이 변하지 않거나 조금만 변해도 변형율이 마구마구 늘어난다. 조금 두꺼운 쇠막대를 구부리다보면 어느 순간 확 굽어지는 경우가 있는데, 이때 바로 쇠막대에 가한 힘이 발생시긴 응력이 항복 응력을 넘어가서 그렇게 되는 것이다.
이 항복 응력 이후에 재료가 본격적으로 소성 구간으로 진입하고, 변형이 심해져 하중을 부담하는 능력이 떨어지거나 기계에서 이탈하는 경우가 생기기 때문에 보통 이 항복 응력보다 작은 적당한 응력을 허용 응력(Allowable Stress)으로 설정하곤 한다.
이는 실제 현장에서는 매우 중요하다. 실제 구조물이나 기계에서 부재에 작용하는 응력이 허용응력을 넘어설 경우 매우 위험할 수 있으며, 재료가 버틸 수 있는 최대한의 응력을 기준 강도라고 하고 연성 재료의 경우 항복점에서의 응력이 기준 강도이다. 이때 기준 강도를 허용 응력으로 나눈 것이 안전율(Safety Factor)이다. 당연히 안전율이 높을수록 좋다.[18][19]
즉, 허용 응력 = 항복 응력 / 안전도. (A.Stress = Y.Stress / Factor of Safety (F.S))
위 선도의 소성구간에서 가장 큰 응력이 나타나는 점을 극한 응력(Ultimate Tensile Stress) 혹은 극한 강도(Ultimate Tensile Strength)라고 한다.
실험 도중에, 재료에는 극한 응력이 나타나기 조금 전부터 넥킹(Necking)이 일어난다. 가래떡의 예를 들어보면, 가래떡을 서서히 잡아당기면 가래떡 전체가 길게 늘어나다가 어느 순간 중간 부분이 다른 부분에 비해 잘록해진다. 이것이 바로 넥킹이다. 비록 실제 넥킹은 극한 강도가 나타나기 이전부터 나타나지만, 편의를 위해 극한 강도 이후의 구간을 '네킹 구간'이라고 부른다.
극한 응력 이후에는 응력의 크기가 작아지는데, 이는 실험의 한계로 인해 나타나는 것이다. 사실 넥킹이 일어나는 부위에서 응력-변형율의 관계는 일정하진 않아도 양(+)의 기울기를 가지는 관계이다. 하지만 이는 세로축의 물리량이 응력이기 때문에 나타나는 일이다. 넥킹이 일어나는 부위는 계속해서 잘록해지므로 힘이 그대로여도 넥킹에 의해 '힘/면적'인 응력의 크기는 계속 커진다. 하지만 우리가 실험을 통해서 응력을 측정할 때 대입하는 면적은 여전히 넥킹이 일어나지 않은 재료의 원래 단면적이다. 때문에 극한 강도 이후에 힘이 작어져도 변형이 계속되는 것이 마치 응력이 작아져도 변형이 계속되는 것으로 보이는 것이다. 실제로는 힘이 작아져도 면적이 작아지는 속도가 더 빨리 실제 응력은 계속 커지고 있다.[20]
그래프가 어느 변형율에 이르면 끊어진다. 재료 자체가 파괴(fail)된 것이다. 그때의 응력을 가리켜 파괴응력(Rupture stress)라 한다.
4.2. 재료의 종류에 따른 응력-변형율 선도[편집]
우리가 쓰는 고체 재료들은 대부분 연성 재료[21]와 취성 재료[22]로 나눌 수 있다.
연성 재료는 철근처럼 인장과 압축이 자유로우며 항복강도가 존재하는 재료들을 말한다. 연성 재료의 응력-변형율 선도는 위에서 설명한 그래프와 거의 일치한다. 이러한 연성 재료는 기준 강도가 항복 응력이기 때문에, 설계 할 때 항복 응력을 허용 응력(설계자가 지정, 실제로 현장에서 가해는 응력보다 조금 크게 설정된다.)으로 나눈 값을 '안전율'이라고 하고, 안전율이 높을수록 의외의 상황에 따른 과부하를 잘 견딜 수 있다.
취성 재료는 유리, 콘크리트, 세라믹, 지구의 지표면처럼 항복강도가 존재하지 않는 재료들을 말한다. 이러한 재료들은 항복강도에 도달하기 전에 파괴된다. 즉 취성 재료의 응력-변형율 선도는 탄성구간밖에 존재하지 않으며, 항복 응력이 거의 극한 강도와 동일하다. 따라서 기준 강도 또한 극한 강도이다. 변형이 일어나면 변형이 한 지점에서 집중적으로 일어나다가 변형이 집중적으로 일어난 부분이 파괴되며 그 부분을 중심으로 균열이 생기는 연성 재료와는 달리, 변형이 재료 전체에서 일어나다가 파괴가 되는 순간 축적되어 있던 탄성 에너지가 재료 전체로 퍼지며 균열이 빠르게 확산되는 것이 특징이다. 이런 균열이 시작되는 지점은 표면에 흠(flaw)이 가거나 내부에 공동(void)이 생기는 등의 이유로 응력이 집중/증폭(stress concentration)되는 지점으로, 재료 전체에서 구조적으로 가장 취약한 부분에서부터 파괴가 시작된다. 이는 사슬을 팽팽하게 당길 때 가장 약한 고리가 가장 먼저 끊어지는 것(weakest link)으로 비유할 수 있다.
5. 응력의 적용[편집]
자세한 내용은 응력/응용 문서를 참고하십시오. 응력은 물체 내부의 가상적인 단위 부피를 설정하여, 그 단위 부피의 표면에서 작용하는 단위 면적당 힘의 크기를 나타낼수있다. 에너지 보존 법칙을 만족한다는 조건에서 더 나아가 무엇이 물체가 그렇게 움직이도록 하는지에 대한 모멘텀(momentum)으로 스트레스-에너지 텐서를 이해하는데 주요하다.
6. 맥스웰 변형 텐서[편집]
자세한 내용은 맥스웰 변형 텐서 문서를 참고하십시오. 만일 외부에서 작용하는 힘이 전자기력이라면 그 물체에 작용하는 응력은 다음과 같이 굉장히 복잡하게 나타난다.
[math(\sigma_{ij}\equiv \epsilon_{0}\left ( E_{i}E_{j} - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^{2} \right ) + \frac{1}{\mu_{0}} \left (B_{i}B_{j}- \frac{1}{2}\delta_{ij}B^{2} \right ))]
7. 에너지-모멘텀 텐서[편집]
자세한 내용은 에너지-모멘텀 텐서 문서를 참고하십시오. 상대론적인 효과를 고려한 응력 텐서이다.
[6] 미소증분에 따라 변한다면 대칭행렬이 아니다. 이 때 관계식은 각 방향별 합력이 0이라는 데서 찾을 수 있는데, 표현하면 [math(\dfrac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}+F_n=0)]이다. n은 x,y,z로, 각 방향으로 작용하는 외력.[7] 엡실론[8] 길이를 길이로 나눴으므로 차원이 없음을 알 수 있다.[9] k를 탄성 계수라고 알고 있는 경우도 있지만, 엄밀히 말하면 k는 스프링 상수(spring constant)이다.[10] 물론 이것은 임의로 정한 것이다. 토목공학과에서 콘크리트를 다룰 때에는 변형율이 양수일 때를 압축으로 정의하는데, 콘크리트는 인장에 대한 저항력이 거의 없어 인장을 고려할 필요가 없기에 변형율이 양수일 때를 압축으로 생각하는 것이 훨씬 편하기 때문이다.[11] 비틀림각(Angle of torsion)[12] 이 정도로 비틀어지면 고무 내지 플라스틱이 아닌 한 재료가 파괴되거나 파괴되지 않더라도 하중을 부담하는 제 기능을 상실하기 십상이므로 이렇게 되도록 놔두지는 않을 것이다.[13] 양 변의 식은 점 A가 이동한 거리를 구하는 식이다.[14] 일례로, 가래떡의 양 끝을 잡고 잡아늘이면, 길이는 늘어나지만 가로 길이는 줄어든다. (물론 더 잡아당기면 중간만 잘록해지지만 이건 가래떡의 탄성 한계를 넘었을 때 생기는 일이므로 여기서는 생각하지 않는다.)[15] 뉴[16] 단, 이 식은 등방성(Isotropic) 재료에서만 성립한다.[17] 실제로는 이 구간에서 소성도 약간 작용하기 때문에 완전히 원래 모습으로 돌아오지는 않는다. 실제로 실험으로 탄성 구간의 모습을 그려보면 직선보다는 2차 곡선에 가까운 모습을 보인다. 이렇게 2차 곡선일 경우 발생하는 일은 이 각주가 달린 문단 아래에 계속될 설명을 보면 된다.[18] 의외의 상황에 대처할 수 있기 때문이다. 안전율이 높을 경우 허용 응력보다 기준 강도가 높다. 보통의 상황에서는 재료에 가해지는 응력이 허용 응력보다 작도록 만든다. 하지만 예상 외의 하중이 더해졌든가 하는 이유로 부재에 작용하는 능력이 급증했을 경우 그러한 과부하를 견뎌낼 수 있는가 없는가의 지표가 바로 안전율이기 때문이다.[19] 다만 안전율을 지나치게 높이면 내구성은 좋아지지만 구조가 무거워져서 가격이 비싸지고 제 기능을 다 하지 못하게 된다. 항공우주 분야에서 각종 시뮬레이션 방법을 연구하고 슈퍼컴퓨터를 혹사시키는 이유가 다 이 안전율을 적절한 수준으로 끌어내리기 위한 몸부림이다.[20] 이 점을 고려해서 재료의 진응력(True Stress) / 진변형율(True Strain)을 따로 계산할 수 있다. True Stress / True Strain 곡선에서는 True Stress가 예상했던 것 처럼 넥킹 이후에도 계속 증가하는 것을 관찰할 수 있다.[21] Ductile Material. 쉽게 말해서, 재료가 버틸 수 있는 응력보다 큰 응력을 가하면 구부러지거나 변형되는 재료.[22] Brittle Material. 쉽게 말하자면, 딱딱하지만 잘 깨지는 재료.
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