진동학

1. 개요[편집]

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탄성력, 중력 및 기타 힘의 작용으로 일어나는 역학적 진동에 대하여 연구하는 학문이다.

2. 기초 개념[편집]

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● 진동: 질량을 갖고 있는 물체가 시간의 변화에 따라 평형상태에 도달할 때까지의 주기적 반복운동. 외력과 감쇠의 유무에 따라 종류를 크게 분류할 수 있다.

● 탄성체의 진동: 탄성체는 무한개의 자유도를 갖는 물체의 진동계로 간주한다.

● 자유진동: 외력 없이, 중력 또는 탄성 복원력에 의해서만 발생되는 진동.
● 강제진동: 주기적 또는 간헐적으로 외력이 가해지는 진동.

● 비감쇠진동: 감쇠가 없어 마찰이 무시되는 계에서 계속해서 진행하는 진동.
● 감쇠진동: 감쇠가 있어 마찰이 고려되는, 사실상 모든 진동체의 진동.

● 진동의 세 가지 기본요소: 질량([math(m)]), 감쇠([math(c)]), 스프링([math(k)])

● 응답: 외력에 대한 질량의 움직임

● 감쇠의 형태
① 점성감쇠(viscous damping): 점성 저항에 의한 감쇠로, 문을 세게 닫아도 문 위의 유압 힌지에 의해 문이 천천히 닫히는 것이 예. 보통 속도에 비례하기에 단위는 [math(\rm{Nm/s})]이다.
② 쿨롱감쇠(coulomb damping): 마찰력에 의한 감쇠로, 문을 세게 닫으면 몇 번 진동하다가 점차 움직임이 잦아들며 멈추는 것이 예. 점성감쇠와 달리 수직항력에 비례하며, 수직항력이 일정하다면 운동방향과 반대되는 방향으로 일정한 힘이 가해진다.
③ 구조감쇠(structural damping): 말 그대로 구조적인 감쇠로, 진동이 점차 잦아드는 게 아니라 한 번에 딱 멈추는 특징을 보인다. 가끔 바닥 수평이 맞지 않는 곳에서 문을 닫을 때 문이 바닥에 끼어 끽 소리를 내며 멈추는 것을 본 경험이 있을 것이다.

3. 진동의 종류[편집]

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3.1. 비감쇠 자유진동[편집]

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운동방정식: [math(m\ddot{x}+kx=0 )]
각진동수(고유진동수): [math(\omega_n = \sqrt{\dfrac{k}{m}})]

대표적인 것으로 단순조화운동이 있다. 이는 [math(\sin)], [math(\cos)] 함수로 나타낼 수 있는 운동으로, 진동의 형태는 우리가 흔히 아는 [math(\sin)], [math(\cos)] 함수 그래프와 같다.

일반해: [math(x = X \sin( \omega_n t+ \phi ))]

3.2. 감쇠 자유진동[편집]

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운동방정식: [math(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0)]
일반해 [math(x = \exp(λt))]
임계감쇠계수 [math(C_{ c})]: 위 운동방정식을 미분분정식으로 풀어 나오는 해에서 근호를 [math(0)]으로 만들 수 있는 감쇠계수 [math(c)]의 값.
감쇠율 [math(\zeta = \dfrac{c}{C_{ c}})]

감쇠율 [math(\zeta)]의 크기에 따라
① 부족감쇠(underdamped system): [math(0<\zeta<1)]. 세 경우 중 유일하게 진동이 발생하는 경우이다. 흔히 볼 수 있는, 진동이 발생해서 지속되며 점차 잦아드는 양상을 보인다.
② 임계감쇠(critically damped system): [math(\zeta=1)]. 시스템은 진동하지 않으며, 가장 빨리 평형 상태에 도달한다.
③ 과도감쇠(overdamped system): [math(\zeta>1)]. 시스템은 진동하지 않으나, 감쇠가 너무 크기 때문에 평형 상태로 돌아가는 데엔 시간이 좀 걸린다.

감쇠 고유진동수 [math(\omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2})]

3.3. 비감쇠 강제진동[편집]

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운동방정식: [math(m\ddot{x}+kx=F(t))]
응답 [math(x(t) = x_h(t)+x_p(t))]

[math(x_h(t))] : 과도응답. 처음엔 진폭이 크다가 시간이 지날수록 잦아드는 응답.
[math(x_p(t))] : 정상응답. 조화진동처럼 처음부터 끝까지 형태가 일정한 응답.

많은 시간이 지나면 [math(x_h(t))]는 0이 되므로 결국 [math(x(t) = x_p(t))]가 된다. 여기서 [math(x_h(t))]항은 자유진동을 나타내므로 ‘보조해’라고도 불리며, 외력에 의한 진동을 나타내는 [math(x_p(t))]항을 ‘특별해’라고도 부른다.

주파수비 [math(r = \dfrac{\omega}{\omega_n})] ([math(\omega)] : 가진 주파수)

확대율 [math(M = \dfrac{1}{1-r^2})]

주파수비 [math(r)]의 값에 따라
1) [math(0<r<1)]: [math(r=0)]에서 [math(\zeta=1)]이고, [math(r)]이 [math(1)]로 갈 때까지 따라서 증가
2) [math(r=1)]: 가진 주파수와 고유진동수가 일치할 때 시스템은 공진하며 진폭 [math(X)]는 무한대
3) [math(r\approx1)]: 가진 주파수와 고유진동수가 엇비슷할 때 맥놀이 현상 발생
4) [math(r>1)]: 확대율 [math(M)]이 음수가 되므로, 외력의 방향과 질량의 방향이 반대가 되어 진동

3.4. 감쇠 강제진동[편집]

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운동방정식: [math(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t))]

4. 교재[편집]

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Rao, Inman 등의 교재가 있다.