챔퍼나운 상수

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수학상수
Mathematical Constants

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[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(\sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
(카프리카 상수)
[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
(뮌하우젠 수)
[math(\pi)]
(원주율)[math(\ast)]
[math(\tau)]
(새원주율)[math(\ast)]
[math(e)]
(자연로그의 밑)[math(\ast)]
[math(\varphi)]
(황금수)
[math(\gamma)]
(오일러-마스케로니 상수)
[math(\gamma_n)]
(스틸체스 상수)
[math(G)]
(카탈랑 상수)
[math(\delta)], [math(\alpha)]
(파이겐바움 상수)
[math(\Omega)]
(오메가 상수)[math(\ast)]
[math(2^{\sqrt{2}})]
(겔폰트-슈나이더 상수)[math(\ast)]
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(\rho)]
(플라스틱 상수)
[math(\mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n\,)]
(챔퍼나운 상수)[math(\ast)]
[math(\zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({\rm Si}(\pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e\, {\rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)




1. 개요
2. 상세
3. 연분수 전개


1. 개요[편집]

Champernowne constant · Champernowne 常數

소수 전개가 1부터 시작하여 연속적인 정수를 쭉 이어 만든 실수이다. 규칙이 분명히 있긴 하지만, 이는 진법 상의 규칙일 뿐 소수점 아래의 자릿수가 반복되는 규칙이 아니기 때문에 엄연한 무리수이며[1], 초월수이기도 하다.[2]

그 값은 10진수 기준 0.123456789101112131415161718192021...으로 알려져있다.[3]

10진수 외에도 각 진법에 대응하는 챔퍼나운 상수가 있으며, 파생형으로 0.1+0.02+0.003+0.0004+0.00005+0.000006+0.0000007+0.00000008+0.000000009+0.000000001+0.0000000011...(10진수), 0.1+0.10+0.011+0.0100+0.00101+0.000110+0.0000111+0.00001000+0.000001001+0.0000001010+0.00000001011+0.000000001100+0.0000000001101+0.00000000001110+0.000000000001111+0.0000000000010000...(2진수)처럼 받아올림을 하는 것도 있는데 이들 역시 초월수이다. 또한 무한대로 발산하면서 각 진법에 대응하는 함수도 있는데 예를 들어 N(1)=1, N(2)=22, N(3)=333, N(10)=11111111110인 식이다. 즉 N(n)은 10진법과 대응하자면 n+(n*10)+(n*100)+n(n*1000)... 식의 덧셈을 n번 반복하는 것이다.

챔퍼나운 상수는 정규수임이 증명되어 있다.

2. 상세[편집]

챔퍼나운 수는 다음과 같은 무한급수로 정확하게 나타낼 수 있다.

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[math(\displaystyle C_{10}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac k{10^{n(k-10^{n-1}+1)+9\displaystyle \sum\limits_{l=1}^{n-1}10^{l-1}l}} )]
[1] "이렇게 발견하기 쉬운데 최초로 증명된 무리수겠지"는 맞는 말이다. √2는 발견된 무리수로는 최초가 아니다. 물론 이쪽은 무리수인 지 몰랐던 수라는 건 감안해야 한다.[2] 챔퍼나운 상수가 초월수라는 사실은 커트 멜러가 증명했다.[3] 0.1234567900111213141516171821021...처럼 정수의 자릿수가 늘어날 때마다 그 수만큼(10이면 해당 자리의 10만큼, 100이면 100만큼) 받아올림으로 커지거나 혹은 0.1+0.02+0.003+0.0004+0.00005+0.000006+0.0000007+0.00000008+0.000000009+0.000000001+0.0000000011... 식의 덧셈에서는 적은 진법의 경우 오히려 무한대가 되어버린다. 게다가 어중간하게 큰 진법은 유리수가 되거나 1이 될 수도 있다. 대신 충분히 큰 진법의 경우 무리수가 되는 것이다. 2진법 기준 챔퍼나운 상수는 0.1101110010111011110001001101010111100110111101111100001... 즉 0.8622283935546875...이다. 받아올림을 한다면 2진법 기준으로는 0.1+0.10+0.011+0.0100+0.00101+0.000110+0.0000111+0.00001000+0.000001001+0.0000001010+0.00000001011+0.000000001100+0.0000000001101+0.00000000001110+0.000000000001111+0.0000000000010000... 즉 10.000010011100111... 10진법 정수 2를 넘는 2.03826904296875... 정도의 값이 되는 것이다.



3. 연분수 전개[편집]

챔퍼나운 상수를 연분수로 전개하여, 근사치가 되는 유리수를 얻을 수 있는데 그중 하나는 아래와 같다.
[math(\dfrac{60499999499}{490050000000} = 0.123456789\dot{1}01112\cdots9697990001020304050607080\dot{9})]

이 유리수를 십진 전개하면 아래와 같다.

0.12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697990001020304050607080910111213141516171819202122232425262728293031323334...

1부터 97까지 총 소수점 186자리 까지 챔퍼나운 상수와 같다.

가장 심플한 근삿값은 [math(\dfrac{121}{980})]이다.
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관련 문서