오메가 상수
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1. 내용[편집]
초월수의 하나로, 다음 방정식의 실수해이다.
이 방정식은 대수학적인 방법으로 풀기는 어렵고, 그래프를 동원한 해석 기하학적인 방법을 동원하면 대략적인 근사값을 찾을 수 있다.
[math(xe^x=1)]에서 양변에 자연로그를 취하고 이항해주면 위 식은 다음과 같이 자연로그와 일차함수의 방정식이 된다.
두 함수 모두 양수인 실수 정의역에서 전단사 함수이기 때문에 위 방정식을 만족하는 해는 단 하나 존재하며 그래프를 그려보면 [math(0)]과 [math(1)] 사이에 해가 있음을 알 수 있다.
그러나 이 해를 일반적인 방법[1] 으로 기술하기가 매우 까다롭기 때문에, 역함수인 람베르트 [math(W)] 함수를 이용하는 방식으로 해를 나타낸다. 보통 [math(\Omega)]로 표기한다.
위 방정식 [math(\ln x = -x)]에 오메가 상수를 대입하면 다음과 같은 성질을 얻는다:
람베르트 [math(W)] 함수는 역함수인 [math(y = xe^x)]의 성질에 의해 음함수가 되기 때문에 [math(\Omega)]가 속하는 구간의 [math(W_0(x))]와 그렇지 않은 [math(W_{-1}(x))] 두 부분으로 나뉘는데 [math(W_0(x))]는 다음과 같이 매클로린 전개가 되는 것이 알려져 있고
[math(W_0(1) = \Omega)]이므로 위 식에 [math(x=1)]을 대입하면 무한급수로 나타낸 오메가 상수의 식이 얻어진다.
구체적인 값은 다음과 같다. 0과 1 사이의 수에 속하며, 소수 배열을 보면 파인만 포인트와 비슷한 부분이 있다.
자연로그의 밑의 역수를 무한 지수 탑 함수에 넣어도 얻을 수 있다. 아래 수식에서 윗화살표 2개 [math(\uparrow\uparrow)]는 커누스 윗화살표 표기법이다.
2. 관련 문서[편집]
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