T₂의 도움정리
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1. 개요[편집]
[math(T_2)]의 도움정리는 Titu Andreescu[1] 저서인 Problems from the book에서 이 도움정리의 중요성을 강조하면서, 자신의 이름 Titu를 변형하여 붙이면서 이 도움정리를 [math(T_2)]의 도움정리라고 부른다. 코시 엥겔폼(Engel form)이라고도 하며 이 이름에서 알 수 있듯 코시-슈바르츠 부등식의 변형이다. KMO를 준비한다면 알아두면 좋다. 자세한 정리는 다음과 같다. 여담으로 [math(T_2)]는 위상 공간의 하우스도르프 공간을 나타내기도 한다.
[math(T_2)]의 도움정리(Titu's lemma)
실수 [math(a,b)]와 양의 실수 [math(x,y)]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y})]
[math(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y})]
2. 증명[편집]
2.1. 증명 1[편집]
이 되어 주어진 부등식이 성립한다. 등호는 [math(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y})]일 때 성립한다.
2.2. 증명 2[편집]
단, 등호는 [math(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y})]일 때 성립한다. (코시-슈바르츠 부등식).
3. 확장[편집]
[math(T_2)]의 도움정리를 두 번 사용하면 실수 [math(a,b,c)]와 양의 실수 [math(x,y,z)]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z})]
이처럼 정리를 n번 쓰면 변수가 4, 5, 6, ... 개 일 때도 귀납적으로 같은 부등식이 성립한다. 따라서,
[math(T_2)]의 도움정리의 확장
실수 [math(a_1,a_2,\dots,a_n)]과 양의 실수 [math(x_1,x_2,\dots,x_n)]에 대하여
[math(\dfrac{a_1^2}{x_1}+\dfrac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{x_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n})]
이 성립한다. 등호 성립은 [math(\dfrac{a_1}{x_1}=\dfrac{a_2}{x_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{x_n})]이다.
[math(\dfrac{a_1^2}{x_1}+\dfrac{a_2^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{x_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n})]
이 성립한다. 등호 성립은 [math(\dfrac{a_1}{x_1}=\dfrac{a_2}{x_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{x_n})]이다.
3.1. 증명[편집]
단, 등호는 [math(\dfrac{a_1}{x_1}=\dfrac{a_2}{x_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{x_n})]일 때 성립한다.
4. 관련 항목[편집]
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