취른하우스 정리

1. 개요[편집]

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대수학이라고도 부르는, 방정식의 해법과 이론을 다루는 수학의 한 분야 [1]라고 할 수 있는 방정식론의 해결사쯤 되는 정리. 1차방정식부터 n차 방정식들까지 무한 사용이 가능하다.[2] 취른하우스 정리(Tschirnhaus theorem)를 사용하면 n차방정식의 n-1차 항(term)이 압축되어 사라진것처럼 보인다.

2. 역사[편집]

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1683년 에렌프리트 발터 폰 취른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)가 그의 논문에서 이를 제안하였다. 이후 이러한 방법은 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano) 또는 스키피오 페로(Scipio Ferreo)등에 의해서 사용된바있다는 언급이 레온하르트 오일러의 1770년 저서 대수학원론(Elements of Algebra)에 언급된바있다. [3]

3. 정리[편집]

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<math>\text{n차 방정식} </math>
<math> x^n + x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x^{n-n} = 0</math> 에서
<math>x = y- {b \over \mathbf{n} a} </math>꼴로 그 n차방정식을 압축 및 재정리할 수 있다는 것이다.
<math>y = {b \over \mathbf{n} a} </math> 형태의 원형은
1차방정식 <math> ax+b = 0 </math> 에서
<math>x + {b \over \mathbf{n} a} = 0</math>
<math>x = -{b \over \mathbf{n} a} </math>
으로부터 찾아볼 수 있다.

4. 예시[편집]

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2차방정식(quadratic equation)에서의 사용예[4]
<math> a x^2 + b x^1 + c = 0 </math>을
<math>y^2 + p=0 </math>꼴로 정리할수있다.

<math>x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x= y- {b \over \mathbf{2} a} </math>에서
<math> \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 </math>
우선, <math> \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)</math>
<math>=\left(y^2-2{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) </math>
따라서
<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 </math>
<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b \over a}{b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 </math>
<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} \right)+{c \over a}=0 </math>
<math>y^2 \cancel{-{b \over a}y}+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \cancel{+ {b \over a}y}- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} +{c \over a}=0 </math>
<math>y^2 + \left( {1 \over 4}\left({b \over a} \right)^2 - {1 \over 2}\left({b \over a} \right)^2 \right)+{c \over a}=0 </math>
<math>y^2 - {1 \over 4}\left({b \over a} \right)^2 +{c \over a}=0 </math>
<math>y^2 - \left({b^2 \over 4a^2} \right) +{c \over a}=0 </math>
<math>y^2 ={b^2 \over 4a^2} -{c \over a} </math>
<math>y^2 ={{ab^2 -4a^2c}\over 4a^3} </math>
<math>y^2 ={{b^2 -4ac}\over 4a^2} </math>
<math>\sqrt{y^2} = \pm \sqrt{{{b^2 -4ac}\over 2^2 a^2} } </math>
<math>y = \pm {{\sqrt{b^2 -4ac} }\over {2a} } </math>
계속해서
<math> x= y- {b \over \mathbf{2} a} </math>
<math> x= \pm { {\sqrt{b^2 -4ac} }\over {2a} } - {b \over {2a} } </math>

<math>\displaystyle \therefore x= { { -b\pm \sqrt{b^2 -4ac} } \over {2a} } </math>

이렇게 바로 근의 공식이라고 부르는 것이 유도된다.

3, 4차 방정식의 근의 공식을 유도할 때도 사용된다.

5. 관련 문서[편집]

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• 비에트 정리
• 실베스터 행렬
• 3차방정식
• 4차방정식