경로적분/응용

덤프버전 :

분류

1. 개요
2. 응집물질물리학
2.1. 카다노프 블록 스핀
2.2. 격자 게이지 이론
2.3. 강자성계
3. 참고문헌


1. 개요[편집]

경로적분은 단위시간당 물리적 정보를 내재하는 함수 혹은 연산자의 자취들을 모두 더해 최소 작용의 복소적분으로 표현한 방법으로써 정확히 정의역의 어떤 지점에서 확률적 대상이 특징을 보이는지 조사하고자 할때 많이 쓰인다.

물론, 경로적분이 갓 정립 되어졌을때 정준양자화와 비슷하게 “전자기상호작용을 기술하는 상대론적 양자역학의 여러 방정식들의 해, 그린 함수는 어떤 형태를 가질까?”에서 출발했다. 즉, 이론적으로 불분명한 물리 현상을 설명하기 위해 만들어진것이다. 그러나, 마크 카츠는 경로적분을 단순히 양자장론에서만 경로적분을 이용하는 추세에 그치지 않고, 확률론적 함수의 해를 경로적분을 변형하여 나타낼수 있다라는 것을 밝혔다. 그 이후 확률미적분학이 만들어지고, 확률미적분학을 차용하는 물리학외의 여러 분야에서 경로적분이 사용되기 시작하면서, 경로적분의 추세는 비단 이론물리학계에서만 사용되는 것이 아닌, 확률적 대상을 연구하는 전반적인 분야에서 사용되는 추세로 바뀌었다.

이 문서는 경로적분의 기본적인 전개로부터 최소 작용 및 복소 적분 연속체등이 변형되어 특정 분야로 응용되는 경로적분들을 주제로 하였다. 단순히 경로적분이 양자역학 및 양자장론을 다루는 응용수학&이론물리학(AMTP)외의 분야에서 사용되는 사례만 다룬것이 아닌 스핀 각운동량으로 도출되는 최소 작용같이 이론물리학에서 주로 다루는 대상도 포함했다.

2. 응집물질물리학[편집]

응집물질물리학에서는 스핀을 다루기 위해서 경로적분의 연산자는 해밀토니언을 주로 활용한다. 또한, 스핀을 정준 앙상블로 확장시킨다면 분배함수로 표현이 가능하다.

2.1. 카다노프 블록 스핀[편집]

케네스 윌슨은 카다노프 블록 스핀을 다루기 위해서 스핀을 해밀토니언 연산자로 두어서 분배함수를 고안했다.
\end{aligned})]}}}

2.2. 격자 게이지 이론[편집]

1985년 4월 독일의 비엘레펠드에서 열린 BiBos 심포지엄에서 하겐 클라이네르트(Hagen Kleinert)는 격자 게이지 이론을 다루는 경로적분을 발표했다. 윗 문단에서 언급된 윌슨의 스핀 격자 분배함수에서 미세 게이지 요동을 고려해 경로적분을 변형했다.

클라이네르트는 양자장 요동이 미세할때, 경로적분은 각각 정의역과 구간에 대하여 아래와 같은 3가지 특징을 지님을 밝혔다.
  • 적분 구간이 [math(0)]에 가까워지면 양자장 요동이 멈추고, 고전장이 정확해진다.
  • 격자 모델의 정의역의 구간이 [math(\infty)]에 가까워지면 기울기 항은 압축되고, 평균장이 정확해진다.
  • [math(O(N))] 스핀 모델일때 N이 [math(\infty)]에 가까워지면, [math(O(N))] 불변 집단장(Collective Field)은 정확해진다.

이때 역온도를 아래와 같이 고려하고,

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{\beta}{2(1+\beta)}
\end{aligned})]

미세 게이지 요동을 고려하면, 복소함수는 아래와 같이 바뀐다.
\end{aligned})]}}}
이때, [math(U_{\mu \nu})]는 다음을 만족한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
U_{\mu}(x) \times U_{\nu}(x+\mu) \times U_{\mu}^{+}(x+\nu) \times U_{\nu}^{+}(x)
\end{aligned})]

클라이네르트는 이외에도 수소 원자의 경로적분도 연구했다. 다만, 수소 원자의 경로적분은 직접적으로 자성, 격자등 응집물질물리에서 주로 다룰법한 요소를 다루지 않았다. 수소 원자의 경로적분을 다룬 그의 논문들을 보면 기존의 경로적분의 전개와 구별될만한 차이점이 없다. 오히려, 왓슨-조머펠트 변환이나, 파동 함수의 에르미트 다항식 성분을 조사하는 등, 수소 원자의 양자역학적 특성에 따른 경로적분의 구성 요소를 재확인했다.

2.3. 강자성계[편집]

하이젠베르크 강자성계의 해밀토니언이 아래와 같을때,
\end{aligned})]}}}
BKY 표시[1]는 위의 스핀 연산자를 아래와 같이 마그논, 수프리온의 사다리 연산자로 정리한다.
[math(s_{i}^{-})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{2s}a_{i}^{+}\left(1-\dfrac{1}{2s}a_{i}^{+} a_{i} \right) - \dfrac{2(2s+1)}{\sqrt{2s}}a_{i}^{+}b_{i}^{+} b_{i} \end{aligned})]
[math(s_{i}^{+})]
[math(s-a_{i}^{+}a_{i} -(2s+1)b_{i}^{+}b_{i})]
정리가 된 강자성계의 해밀토니언의 작용은 다음과 같다.
\end{aligned})]}}}
최종적으로, 경로적분은 아래와 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \mathcal{D}_{\mu} S_{ab} \operatorname{exp}(S_{ab})
\end{aligned})]
[1] Baryaktar-Krivoruchko-Yablonskii Representation


3. 참고문헌[편집]

  • K. G. Wilson and J. Kogut, The Renormalization Group and The [math(\epsilon)] Expansion, Phys. Rep. 12, 75

  • H. Kleinert, Path Integrals and The [math(N \to \infty)] Solution of [math(U(N))] Lattice Gauge Theory, Lect. Notes. Maths. 1250, 235 (1985)

  • 한내서, 김승봉, 하이젠베르크 결정 및 무정형 강자성계에서의 경로적분법, 과학원통보 (4), 23 (1997)

파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2024-04-14 03:38:17에 나무위키 경로적분/응용 문서에서 가져왔습니다.

관련 문서