천사와 악마(논리)

1. 개요[편집]

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유명한 논리 문제 중 하나로 여러가지 바리에이션이 존재한다. 비슷한 문제로 기사와 건달 문제가 있으며, 진화 버전으로 가장 어려운 논리 퍼즐이 있다.

천국으로 가는 문과 지옥으로 가는 문이 있다.

하지만 두 문은 똑같이 생겨서 구분할 수 없다.

그리고 두 문 앞에 각각 천국에서 사는 천사와, 지옥에서 사는 악마가 서있는데

역시 천사와 악마도 똑같이 생겨서 구분할 수가 없다.

천사와 악마 모두 어떤게 천국의 문인지, 어떤게 지옥의 문인지 알고 있다.

단, 천국의 문 앞에는 반드시 천사가, 지옥의 문 앞에는 반드시 악마가 있다는 보장은 없다.

천국의 문 앞에 있는 것이 천사일 수도, 악마일 수도 있으며, 지옥의 문 앞에 있는 것이 천사일 수도, 악마일 수도 있다.

천사는 진실만을, 악마는 거짓만을 말한다.

천사는 악마가 거짓만을 말할 것을, 악마는 천사가 진실만을 말할 것을 알고있다.

이 상황에서 당신은 한 가지 질문을 해서 천국의 문을 찾아야 한다.

1.1. 답[편집]

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우선 "천국으로 통하는 문이 어디야?"라고 직접 물어보는 것은 소용이 없다. 상대가 천사라면 솔직하게 답해줄 테지만, 상대가 악마라면 일부러 거짓말을 해서 지옥으로 통하는 문을 알려줄 것이다. 누가 천사고 누가 악마인지 모르는 상태에서 이 질문은 소용이 없다. 따라서 아래와 같이 질문을 해야한다.

• 답1: 둘 중 아무에게나 상관 없으니 "네가 사는 곳이 어디야?"라고 질문하고, 가리켜진 문으로 나간다.
  • 천사일 경우

• 악마일 경우

• 답2: 아무에게나 상관없으니 "네 옆에 선 녀석에게 천국의 문이 어디인지 물어본다면 어느 쪽 문을 가리킬까?"라고 질문한 뒤, 가리켜진 문의 반대쪽 문으로 나간다.
  • 상대가 천사일 경우

• 상대가 악마일 경우

2. 예/아니오로 대답 가능한 질문만 가능할 경우[편집]

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• 답3: 두 개의 문 중 자신이 직접 특정 문 한 개를 지목한 뒤, 어느 누구에게든 상관없이 "네 옆에 선 녀석에게 내가 지목한 이 문이 천국의 문이 맞냐고 질문한다면, '그렇다'라고 대답할까?"라고 묻는다.
  • 지목한 문이 천국의 문일 때, 천사일 경우

• 지목한 문이 천국의 문일 때, 악마의 경우

• 지목한 문이 지옥의 문일 때, 천사의 경우

• 지목한 문이 지옥의 문일 때, 악마의 경우

• 답4: "천사가 천국으로 가는 문을 지키고 있니?"라고 묻는다.
  • 천국의 문 앞에 천사가 있을 경우

• 천국의 문 앞에 악마가 있을 경우

따라서 Yes 라고 대답한 쪽의 문이 천국문임을 알 수 있다.

3. 반드시 천국문 앞에는 천사가, 지옥문 앞에는 악마가 있을 경우[편집]

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오히려 난이도가 더 쉬워진 베리에이션이다.

위 명제는 "반드시 천국의 문 앞에 천사가, 지옥의 문 앞에 악마가 있다는 보장은 없다"라는 전제하의 문제인데, 이걸 바꿔서 "천국의 문 앞에는 반드시 천사가, 지옥의 문 앞에는 반드시 악마가 있다"라는 전제 조건을 바꾼 문제도 존재한다. 이 경우에 해답은 다음과 같다.

• 답5: "네 옆에 선 녀석에게 자신이 지키는 곳이 천국의 문이냐고 질문한다면, 뭐라고 대답할까?"라고 묻는다.
  • 상대가 천사일 경우

• 상대가 악마일 경우

따라서 "녀석은 자신이 지키는 문이 천국의 문이라고 대답할 것이다"라는 대답을 했다면 무조건 천사이며, 이 대답을 한 천사가 지키고 있는 문으로 들어가야 한다. 만약 "녀석은 자신이 지키는 문이 지옥의 문이라고 대답할 것이다"라는 대답을 했다면 무조건 악마이며, 이 대답을 한 악마가 지키고 있는 반대쪽 문으로 들어가야 한다.

• 답6: 너희 둘 다 진실을 말하니?

다만 사실, '반드시 천국의 문 앞에는 천사가, 지옥의 문 앞에는 악마가 있다'라는 전제 조건이 붙어있다면, 가장 쉽게 답을 알 수 있는 질문은 아무에게나 "2+2는 4인가?"라는 식으로 본인도 정답을 알 수 있는 질문을 물어보는 것이다. 정답이 존재하는 수학적 문제에는 상대가 진실을 말했는지 거짓을 말했는지 알 수 있고, 4가 맞다고 진실을 말했다면 천사일 것이므로 천사가 있는 문으로 가면 되고 4가 아니라는 거짓말을 했다면 악마일 것이므로 그 반대편 문으로 가면 된다.

4. 응용 문제 1[편집]

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이 문제와 비슷한 문제로 다음과 같은 문제가 있다.

Y자로 갈라진 길이 있다.

둘 중 한 곳은 진실만을 말하는 사람들이 사는 곳이고,

다른 한 곳은 거짓만을 말하는 사람들이 사는 곳이다.

길이 갈라지는 길목에 사람이 서 있다.

그 사람은 진실마을에서 온 사람일 수도 있고 거짓마을에서 온 사람일 수도 있다.

그 사람에게 질문을 단 한 번만 해서 진실마을과 거짓마을 중 골라서 가는 방법은 무엇일까?

여기서 질문은 부탁도 포함한다.[1]

문제적 남자에 출제된 적이 있는 문제이다.

이 문제의 답은 이렇다.

둘 중 A마을을 가리키며 "이 마을이 당신이 사는 마을입니까?"라고 물었을 때 그 사람이 "예"라고 답한다면 A마을이 진실마을이고 "아니오"라고 답한다면 B마을이 진실마을이다.

• 만약 A가 진실마을이라고 했을 때 길목에 서 있는 사람이 진실마을 사람이라면 그 사람이 진짜로 A마을에 살고 있으므로 "예"라고 답하고, 거짓마을 사람이라면 그 사람은 A마을에 살고 있지 않음에도 거짓말로 "예"라고 답할 것이다.
• 만약 B가 진실마을이라고 했을 때 길목에 서 있는 사람이 진실마을 사람이라면 그 사람은 A마을에 살고 있지 않으므로 "아니오"라고 답하고, 거짓마을 사람이라면 그 사람이 A마을에 살고 있음에도 거짓말로 "아니오"라고 답할 것이다.
• 따라서, 길목에 서 있는 사람이 진실마을 사람이든 거짓마을 사람이든 둘 중 한 마을을 가리키며 "이 마을이 당신이 사는 마을입니까?"라고 물었을 때 "예"라고 답하면 진실마을이고 "아니오"라고 답하면 거짓마을이 된다.

5. 응용 문제 2[편집]

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'진실을 말하는 천사'를 이용한 다른 방식의 문제들도 있다.

O,X 문제에 대답을 해주는 어떤 천사가 있다. 이 천사는 아래와 같은 특징을 가졌다.

이 천사는 진실만을 말한다.

또한, 이 천사는 어떠한 상황에서라도 "O" 또는 "X"로만 대답할 수 있다.

천사가 "O"라고 대답했다면 그것은 무조건 맞는 것이고

천사가 "X"라고 대답했다면 그것은 무조건 틀린 것이다.

이 천사는 전지전능하여 모든 것을 알고 있다.

당신의 비밀이라거나 당신의 친족관계, 매우 어려운 수학문제, 생물의 창조 또는 진화,

세계적인 미스테리, 우주의 진실 등등 모든 것을 알고 있고,

이것들에 대한 대답을 할 수 있다.

(천사에게 대답이 O,X로 나누어지는 질문을 해야지 이상한 질문이나 요구를 하면 안된다.)

(거짓말이 들어간 내용으로 질문을 해서는 안된다.)

(말이 안 되는 어떠한 것에 대해 질문하지 못한다.)

(천사가 대답을 한 이후의 상황에 대해서는 질문할수 없다.)

그런데, 이 천사에게 한 문장의 질문을 하였더니,

천사가 대답을 할 수 없는 상황이 나와버렸다.

천사에게 했던 질문은 무엇이었을까? ||

이 문제의 경우 기존 천사와 악마 문제와는 요구하는 답이 다르다. "천사는 진실만을 말한다" 라는 특징을 이용하여 정답을 찾을 수 있다. '진실만을 말한다'는 것은 '거짓을 말할 수 없다'라는 말과 같다는 점을 이용하여 정답을 찾을 수 있다. 답은 아래와 같다.

당신은 제가 지금 묻고 있는 질문에 'X'라고 대답 할 것입니까?

위와 같은 질문을 천사에게 한다면 진실만을 말하는 천사가 거짓된 대답을 할 수밖에 없다.

• 천사가 "O"라고 대답한다면 천사의 대답은 모순되고 거짓된 대답이 된다.

• 반대로 천사가 "X"라고 대답하더라도 천사의 대답은 모순되고 거짓된 대답이 된다.

천사는 거짓을 말할 수 없으므로 위 질문에 대한 대답을 할 수 없는 것이다. 이 외에도 여러가지의 정답이 있다.

이 문제에서 이용된 원리는 가장 어려운 논리 퍼즐에서 신의 머리가 폭발하는 경우의 상황과 같은 원리이다. 가장 어려운 논리 퍼즐은 미국의 철학자이자 논리학자인 조지 불로스가 이탈리아의 한 신문에 실었던 논리 퍼즐인데, 이 논리퍼즐의 상황에서도 "신이 대답을 하지 못하는 상황"이 나올 수 있었다.(A simple solution to the hardest logic puzzle ever에서 신이 대답을 하지 못하는 상황이 나올 수 있는것을 알아냈는데, 여기에서는 이것을 '신의 머리가 폭발했다'라고 표현했다.)

6. 응용 문제 3[편집]

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마녀에게는 무엇이든 알려주는 거울이 존재한다. 그런데 이 거울은 어느 날엔 진실을 말하고 어느 날엔 거짓을 말한다. 마녀는 수학을 못해서 2+2가 4인지 궁금해 거울에게 물어보고자 한다. 정답을 얻기 위해서는 거울에게 어떤 식으로 질문을 해야 하는가?

답: "오늘 내가 너에게 "2+2가 4니?"라고 질문한다면, 넌 어떻게 대답할 것이니?" 라는 식으로 조건(if)를 걸어서 질문을 하면 원하는 대답을 얻을 수 있다.

• 오늘이 거울이 진실을 말하는 날이라면 별 문제없이 그 질문에 "저는 '그렇다'라고 대답할 것 입니다."라고 말을 한다.
• 오늘이 거울이 거짓말을 말하는 날이라면, 거울은 자신이 '아니다'라고 대답할 것을 알고있다. 그런데 이 질문의 핵심은 "2+2가 4니?"이 아니라 "거울 너는 어떻게 대답할 것이니?"가 핵심이다. 따라서 거울은 거짓말을 해서 "저는 '맞는다'라고 대답할 것입니다."라고 말을 한다.

이 문제의 핵심은 부정+부정 이라는 이중 부정은 긍정이 된다는 점 이다.

추가 응용: '오늘'과 같은 발화 시점을 정할 수 없을 때

->거울이 '너'라는 말을 듣고 진실거울과 거짓거울일 수 있는 자신을 동시에 지칭한다고 생각한다. 즉, 거울에게 묻는 바로 그 때에 거울이 할 대답을 질문하지 못한다.

답: "매일 내가 너에게 2+2=4라고 묻는다면, 너와 반대 상태에 있는 거울은 매번 이것이 거짓이라고 말하니?"

진실거울: O라고 대답한다면, 거짓거울이 거짓이라 말한 것이니 참이다→2+2=4가 참, X라고 대답한다면, 거짓거울이 참이라 말한 것이니 거짓이다→2+2=4가 거짓

거짓거울: 마찬가지로 O→2+2=4가 참, X→2+2=4가 거짓

계산에 약하고 논리에 강한 마녀

7. 기타[편집]

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유희왕에도 등장한 적이 있다.미궁형제가 미궁을 헤매는 무토우 유우기 일행에게 '미'의 문과 '궁'의 문을 제시하면서 두 문 중 하나만이 출구라고 말하면서, 둘 중 한 명이 진실만을 말하고 나머지 한 명은 거짓만을 말한다는 조건으로 문제가 제시되었다. 죠노우치 카츠야는 위의 예시를 그대로 들어 해결하려 했지만, 어둠의 유우기는 위의 조건을 말한 자들이 당사자 본인이라는 점을 들어 의심했다. 이후 유우기는 듀얼을 끝낸 후 똑같은 방법으로 미궁형제를 속여 정답을 찾아냈다. 자세한 것은 미궁형제 문서 참조.

수학도둑에서도 등장했는데, 도도와 그 친구들의 조상님[2]이 악당 마법사 매직코팅을 잡기 위해 한 내기에서도 비슷하게 등장했다. 여기서는 우리 찾는 게이트를 옆의 부하한테 물어보면 어디를 가리키냐고 질문했다.

방구석에 인어아가씨에서 박도경이 임사체험을 할 때에도 등장한다. 박도경은 아주 간단하게 '하느님 개새끼 해봐'로 탈출한다.

마인탐정 네우로에서 노우가미 네우로가 카츠라기 야코로 변신한 괴도 X와 대결할 때 극중 상황으로 등장했다. 즉 "둘 다 야코의 모습을 한 두 존재가 자신을 공격해오면 어떻게 야코(천사)가 아닌 괴도 X(악마)만을 해치워야 하는가?"로 구조 자체는 같다. 그리고 네우로다운네우로만 가능한 해법을 사용해서 간단히 파훼했다.[3] 그리고 아는 사람과 모르는 사람을 모두 위해서인지 단행본 부록에 원래 버전으로 다시 추가되었고, 이 때는 답2를 해법으로 사용했다. 참고로 네우로 왈 "옛 추억이 그립군. 답을 잘못 고른 인간들이 마계로 우수수 떨어졌었는데."