문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 물리량 (문단 편집) ==== 변환에 의한 스칼라와 벡터의 변화 ==== 상기한 벡터의 변환에 대해 자세하게 살펴보자. ||<:> [[파일:나무_좌표계회전_수정1.svg|width=100%]] || || 2차원 좌표계 위의 위치벡터[math(\bold v)] || 위와 같이 좌표계가 변환될 때(혹은 서로 다른 두 좌표계에서) 스칼라는 변하지 않고 벡터는 변한다는 것을 이미 안다. 이를 정성적으로 이해해 보자면 >좌표계가 달라지면 > * 벡터는 방향이 달라진다. > *벡터의 크기(스칼라)는 달라지지 않는다. 로 볼 수 있다. 이를 수학적으로 증명해 보자. 위 그림의 벡터는 [math(\bold{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix})] 로 나타내어진다. 벡터의 크기 [math(v)]는 [math(v=\sqrt{a^2+b^2})] 이며, 회전한 좌표계에선 [math(v'=\sqrt{a'^2+b'^2})] 이다. 이때 좌표계의 회전은 벡터를 반대 방향으로 회전하는 것과 같으므로 그림의 변환을 나타내는 행렬은[* 이에 관한 내용은 [[선형 변환]], [[행렬표현]] 문서를 참조하라.] [math(\begin{bmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix})] 이므로 회전한 좌표계에서의 벡터 [math(\bold v)]는 [math(\begin{bmatrix} a' \\ b' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\cos \theta+b\sin \theta \\ -a\sin \theta+b\cos \theta \end{bmatrix})] 이다. 따라서 [math(a'= a\cos \theta+b\sin \theta, b'=-a\sin \theta+b\cos \theta)] 이며, 회전한 좌표계에서 벡터의 크기는 [math(v'=\sqrt{(a\cos \theta+b\sin \theta)^2+(-a\sin \theta+b\cos \theta)^2})] 으로, 전개해서 정리하면 [math(v'=\sqrt{(a^2\cos^2 \theta+ab\cos \theta \sin \theta +b^2\sin^2 \theta)+(a^2\sin^2 \theta-ab\sin \theta \cos \theta +b^2\cos^2 \theta)})] [math(\quad=\sqrt{(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)a^2+\cancel{ab\cos \theta \sin \theta} + (\sin^2 \theta+\cos^2 \theta)b^2 - \cancel{ab\sin \theta \cos \theta}})] 이때 [math(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta = 1)]이므로 [math(v'=\sqrt{a^2+b^2}=v)] 이다. 따라서, 아래 사실을 알 수 있다. > * 벡터는 좌표계의 회전(변환)에 의해 변하며, 이는 변환법칙을 따른다. > * 스칼라(벡터의 크기)는 회전(변환)에 관계없이 변하지 않는다. 이는 백터의 크기가 아닌 스칼라량인 내적에도 그대로 적용된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기