문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 무연근 (문서 편집) [[분류:한자어]][[분류:수학 용어]][[분류:대수학]][[분류:오류]] [include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[無]][[緣]][[根]] / extraneous root}}} [[방정식]] 중 분수방정식이나 무리방정식, 로그방정식 등을 풀기 위하여 정방정식의 꼴로 고친 후 구한 근 중에서, 원래 풀고자 했던 방정식의 근이 아닌 것. [[한자]]를 그대로 해석하면 인연(緣)이 없는(無) 근(根)이라는 뜻이다. 곧, 원래 풀고자 하는 방정식과는 인연이 없는 근이라는 뜻, 그 방정식의 진짜 근이 아니라는 뜻이다. 방정식의 근을 구했을 때 [[검산]]하면 무연근을 피할 수 있다. == 무연근이 생기는 이유 == === [[대수학]]적 규명 === 본래 [[등식]]의 성질에 따르면, 어떤 등식의 양변에 값이 같은 수나 식을 더하거나 빼거나 곱하거나 나눠도[* 0으로 나눠서는 안 됨] 여전히 등식이다. 다시 말하면 이렇게 등식을 조작해도 그 등식의 본질은 변하지 않는다. 그래서 [[방정식]]을 풀 때 이러한 등식의 성질을 이용한다. 그러나 분수방정식이나 무리방정식을 풀 때는 문제가 발생한다. 다음 분수방정식의 풀이를 보자. ||[math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)] [math(3x+3=(x-5)(x+1))] [math(3x+3=x^2-4x-5)] [math(x^2-7x-8=0)] [math((x+1)(x-8)=0)] [math(\therefore)] [math(x=-1)] [math(\sf or)] [math(x=8)]|| 분명히 [math(x=-1)]과 [math(x=8)]은 방정식 [math((x+1)(x-8)=0)]의 근이지만, 이중에서 [math(x=-1)]은 분수방정식 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]의 근이 아니다. [math(x=-1)]이면 [[0으로 나누기|분모가 0이 되고 0으로 나누는 것]]은 금지되어 있기 때문이다.[* photomath에서는 ‘정의역을 찾으세요’(첫번째 단계)단계에서 x는 -1이 아니라고 못을 박는다.] 이번에는 다음 무리방정식의 풀이를 보자. ||[math(\sqrt{x+5}=x-1)] [math(x+5=(x-1)^2)] [math(x+5=x^2-2x+1)] [math(x^2-3x-4=0)] [math((x+1)(x-4)=0)] [math(\therefore)] [math(x=-1)] [math(\sf or)] [math(x=4)]|| 분명히 [math(x=-1)]과 [math(x=4)]는 방정식 [math((x+1)(x-4)=0)]의 근이지만, 이중에서 [math(x=-1)]은 무리방정식 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]의 근이 아니다. [math(x=-1)]이면 [math(x-1)]의 값이 음수가 되는데, 보통 어떤 수나 식의 제곱근의 값은 음수를 취하지 않기 때문이다.[* 더 근본적인 이유는, 제곱근의 값이 음수인 것도 취할 경우 제곱근 함수의 함숫값이 두 개가 되는 [[음함수]]가 되어 [[잘 정의됨|잘 정의]]되지 않기 때문이다. 음함수 꼴의 제곱근 함수는 [[포물선]] 문서 참조.][* photomath 에서는 근을 구하고 13번째 ‘주어진 값이 해답인지 확인하세요’단계에서 -1이 해가 아니라고 나온다.(-1을 x에 대입하면 2=-2가 됨)] 한마디로, 무연근이 생기는 이유는 ''''분모는 0이 될 수 없다', '어떤 수나 식의 제곱근은 0 또는 양수만을 취한다\''''라는 약속 때문이다. 사실 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]를 [math(3x+3=(x-5)(x+1))]로 고친다거나 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]을 [math(x+5=(x-1)^2)]으로 고치는 것은 이러한 약속을 은근슬쩍 무시해 버리는 것이다. 요컨대, 수학의 약속에 따라 본래의 분수방정식 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]에는 [math(\boldsymbol{x\neq-1})], 본래의 무리방정식 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]에는 [math(\boldsymbol{x\geq1})]라는 제약이 원천적으로 내포되어 있다. 그러나 각각을 정방정식의 꼴로 고친 [math(3x+3=(x-5)(x+1))]이나 [math(x+5=(x-1)^2)]은 그 자체로 [math(x)]의 범위를 정해놓을 근거가 없다. 분수방정식이나 무리방정식을 풀 때는 이 점을 주의하면서, 방정식의 풀이의 처음부터 끝까지 미지수의 범위를 확실하게 준수해야 무연근을 진짜 근으로 오해하지 않을 수 있다. 다만 0으로 나눌 수 없음이 당연한 유리방정식과는 달리, 무리방정식은 '''해 집합이 무엇인지 명시해놓는 것'''이 근본적인 해결법이다. 다시 말해 위 무리방정식의 지문은 아래와 같이 바꿔야 무연근이 나오지 않는다. || [math(\sqrt{x+5}=x-1 \quad)]([math(x - 1 \geq 0)]) || === [[해석기하학]]적 규명 === 이를 [[좌표평면]]에 그래프로 나타냄으로써 설명할 수도 있다. 아래의 풀이를 보면, 무연근은 결코 그래프의 교점[* 곧, 방정식의 진짜 근]이 되지 않음을 알 수 있다. * [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%283x%2B3%29%2F%28x%2B1%29%29+%3D+x+-+5|위 분수방정식의 풀이]] * [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csqrt%7Bx+%2B5%7D++%3D+x+-+1|위 무리방정식의 풀이]] == 교육과정 == === [[대한민국]] === 대한민국에서는 [[2007 개정 교육과정]]까지 분수방정식, 분수부등식, 무리방정식과 함께 중요하게 다뤘으나(이과 한정. 문과생들은 배울 일이 없었다.), [[2009 개정 교육과정]]에서 전면 삭제되었다. 그러다가 [[심화 수학Ⅰ#s-4.2.1]]에서 부활하긴 했으나 [[수능]]에 출제되지도 않을뿐더러 배우는 학생이 적은 과목이라 사실상 이 내용은 사장(...)되었다. 그러나 아무리 무연근의 개념이 교과서에 명시되어 있지 않더라도 수능 수학에서는 무연근의 존재를 염두에 두고 분수방정식과 무리방정식을 푸는 것이 도움이 될 때가 많다. 없다고 생각할 수 있지만 유리함수/무리함수 문제 풀이에서 실질적으로 분수/무리방정식이 쓰인다. 간단히 생각해서 유리/무리함수의 Y값을 주고 X값을 구하라고 하면 그게 유리/무리방정식이다. 그러므로 무연근 개념은 명시만 되어있지 않을 뿐 여전히 교과과정 내 내용이라고 볼 수 있다. 위의 내용을 차차하더라도, 무연근 자체는 현재 수학I에서 배우는 로그방정식에서도 익힐 수 있는 부분이긴 하다. 로그방정식을 풀이할 때 진수 조건을 체크하는게 바로 무연근을 배제하는 과정이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기