포인팅 벡터
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1. 개요[편집]
Poynting vector[1]
전자기파의 단위 면적, 단위 시간당 면적을 통과하는 전자기 에너지 흐름을 나타내는 벡터이다.
영국의 물리학자 포인팅(J. H. Poynting; 1852~1914)이 처음 유도했다.[2]
2. 포인팅 벡터의 도출[편집]
2.1. 전자기장이 전하에게 하는 일률[편집]
어떤 부피 [math(V)] 내에 전자기장[3]이 있는 상황을 고려해보자. 전하가 전자기장에서 받는 힘은 로런츠 힘이므로 전하가 미소 변위 [math(d \mathbf{l})]를 이동했을 때, 전자기장이 한 일은
[math(\displaystyle dW=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} )]
이때, [math(d \mathbf{l}=\mathbf{v}\,dt)]로 쓸 수 있으므로
[math(\displaystyle dW=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\boldsymbol{\cdot} \mathbf{v}\,dt )]
따라서 전자기장이 하는 일률은
[math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\boldsymbol{\cdot} \mathbf{v} )]
이때, 식은 전기장과 자기장에 대한 항으로 나뉘어지나, 자기장 항은 없어진다. 따라서 자기장은 전하에게 일을 하지 않는다는 것을 알 수 있다. 이에,
[math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=q\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v} )]
이때, 이 식은 다음과 같이 전하 밀도를 이용하면,
[math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \rho \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} \,dV )]
형태로 쓸 수 있다. 위 항 중 [math(\mathbf{J} \equiv \rho \mathbf{v})]로 쓸 수 있으므로 위 항은
[math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} \,dV )]
임을 알 수 있다. 이 전기장이 전하에게 해준 일은 줄 발열(Joule heating)이라는 현상으로 나타난다.
2.2. 전자기 에너지 밀도[편집]
전기장과 자기장은 장에 에너지가 저장되어 있으며, 그것들은 단위 부피 당 에너지인, 에너지 밀도로 표현될 수 있다. 전기장과 자기장에 대한 에너지 밀도는 다음과 같다.
- 전기장의 에너지 밀도: [math(\displaystyle u_{E} \equiv \frac{1}{2}(\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{D}) )]
- 자기장의 에너지 밀도: [math(\displaystyle u_{B} \equiv \frac{1}{2}(\mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}) )]
전기장의 에너지 밀도는 커패시터에서 전기장에 대한 가우스 법칙과 전압의 정의, 그리고 커패시터 전기 에너지 공식으로부터 얻을 수 있으며, 마찬가지로 자기장의 에너지 밀도는 인덕터에서 비슷한 방식으로 유도하면 된다.
2.3. 에너지의 보존: 포인팅 정리[편집]
이제 부터는 어떤 부피 [math(V)] 내에 전자기장과 전하들이 있는 상황을 고려해보자. 이때, 어떤 벡터 [math(\mathbf{S})]는 전자기파에 의해 단위 시간, 단위 면적당 면적을 투과하는 에너지를 기술하는 벡터라 가정하자. 그렇게 되면, [math(V)] 내의 전자기 에너지 [math(U)] 보존은
[math(\displaystyle -\frac{dU}{dt}=\frac{dW}{dt}+\oiint_{S} \mathbf{S}\boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} )]
으로 나타나게 된다. 이때, [math(S)]는 [math(V)]를 둘러싸는 폐곡면이고, 위에서 다뤘듯, [math(dW)]는 전자기장이 전하에게 해준 일이다. 즉 위의 식은 다음을 나타낸다.
2.4. 포인팅 벡터 도출[편집]
위에서 도출된 식을 다음과 같이 쓰자.
[math(\displaystyle -\iiint_{V} \frac{\partial u}{\partial t}\,dV=\frac{dW}{dt}+\iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{S})\, dV )]
위에서 전자기장이 전하에게 하는 일을 논의했으므로 그 결과를 쓰면,
[math(\displaystyle -\iiint_{V} \frac{\partial u}{\partial t}\,dV=\iiint_{V} (\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E})\,dV +\iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{S})\, dV )]
[math(u)]는 [math(V)] 내의 전자기 에너지 밀도이다. 따라서
[math(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}+\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{S}=0 )]
이제 전류 밀도를 자유 전하 밀도 [math(\mathbf{J}_{f})]라 가정하자. 그렇게 되면,
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{f} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{S}-\frac{\partial u}{\partial t})]
으로 쓸 수 있다. 이때, 맥스웰 방정식의 네 번째 식을 사용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{J}_{f} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}&=\left[ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right] \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} \\ &=(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} \end{aligned} )]
이때, 벡터 항등식
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}(\mathbf{E} \times \mathbf{H})=(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}-(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H})\boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} )]
을 이용하면,
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{f} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}(\mathbf{E} \times \mathbf{H})+(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}- \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} )]
패러데이 법칙에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{J}_{f} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}&=- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}(\mathbf{E} \times \mathbf{H})-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H}- \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} \\ &=- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}(\mathbf{E} \times \mathbf{H})-\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H} \right)- \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{D} \right) \end{aligned} )]
따라서 식들을 비교하면, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S} &= \mathbf{E} \times \mathbf{H} \\ \frac{\partial u}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H} \right)+ \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{D} \right) \end{aligned} )]
이때, [math(\mathbf{S})]를 포인팅 벡터라 한다. 이때, 포인팅 벡터의 방향은 전자기파 진행 시의 전기장과 자기장과의 관계에 의해 전자기파의 진행 방향과 일치한다는 것을 알 수 있다.
3. 전자기파에 저장된 에너지[편집]
윗 문단의 논의로 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle u=\frac{1}{2} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{D} +\frac{1}{2} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{H} )]
각 항은 전기장과 자기장에 저장되는 에너지 밀도이다. 즉,
[math(\displaystyle u=u_{E} +u_{B} )]
을 만족한다. 이때, [math(\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E})], [math(\mathbf{B}=\mu \mathbf{H})]로 쓸 수 있는 단순한 매질에서
[math(\displaystyle u=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2} + \frac{1}{2 \mu}B^{2} )]
로 표시할 수 있다. 그런데, 전자기파 문서에서 전자기파는 다음과 같이 방사된다는 것을 안다.
[math(\displaystyle E=vB \qquad \qquad v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} )]
이것을 이용하면,
[math(\displaystyle u=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2} +\frac{1}{2} \varepsilon E^{2}=\varepsilon E^{2} )]
임을 쉽게 증명할 수 있고, 위 논의는 다음을 말해준다.
4. 포인팅 벡터의 타당성[편집]
이때까지 수학적 처리를 통해 포인팅 벡터를 얻어왔다. '이렇게 얻어진 포인팅 벡터는 과연 타당한가?'에 대한 물음이 이 정도 되면 나올 것이다. 이 문단에서는 포인팅 벡터의 타당성을 확인해보자. 포인팅 벡터는 위에서 논의했듯,
[math(\displaystyle \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} )]
로 주어진다. 이것을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \mathbf{S} = \frac{1}{\mu} \mathbf{E} \times \mathbf{B} )]
으로 쓸 수 있고, [math(\displaystyle \mathbf{E} \times \mathbf{B})]의 방향은 전자기파의 진행 방향 [math(\mathbf{\hat{k}})]이며, 전자기파가 진행될 때, [math(E=vB)]임을 안다. 또한, [math(v=(\sqrt{\varepsilon \mu })^{-1})]로 쓸 수 있으므로
[math(\displaystyle \mathbf{S} = \mathbf{\hat{k}} \frac{E^{2}}{\mu v} = \varepsilon E^{2}\boldsymbol{\cdot} v\mathbf{\hat{k}}=u \mathbf{v} )]
가 된다. 따라서 포인팅 벡터는 위에서 논의한 전자기파에 저장된 에너지와 진행 속도가 곱해진 벡터임을 알 수 있다. 따라서 처음에 가정했던 '전자기파에 의해 단위 시간, 단위 면적당 면적을 통과하는 에너지를 기술하는 벡터'의 타당성을 볼 수 있다.
좀 더 쉽게 이해하기 위해 전류 밀도를 예로 들어보자. 전류 밀도는 단위 시간, 단위 면적당 면적을 통과하는 전하의 유량이다. 이 전류 밀도는
[math(\displaystyle \mathbf{J}=\rho \mathbf{v} )]
로 쓸 수 있다. 따라서 논의하고 있는 포인팅 벡터에서는 [math(\rho \, \rightarrow \, u)]로 바뀌었을 뿐이고, [math(u)] 또한 명백히 물리량의 밀도를 나타낸다. 그렇기 때문에 다르게 생각하면, 에너지 알갱이가 어떤 면적을 속도를 가지고 유출한다는 것으로도 전자기파에 의해 유출되는 에너지를 해석할 수도 있다.
5. 시간에 대한 평균 포인팅 벡터[편집]
이제 전자기파의 복사 강도에 해당하는 평균 포인팅 벡터에 대해 알아보고자 한다. 이것은
[math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle = \langle \mathbf{E} \times \mathbf{H} \rangle )]
으로 계산된다. 간단한 예를 들어보도록 하자. [math(x)]축으로 선형 편광되고, 진행 방향이 [math(\mathbf{\hat{z}})]인 진공에서의 전기장
[math(\displaystyle \mathbf{E}=\mathbf{\hat{x}}E_{0}e^{i(kz-\omega t)} )]
이 있을 때, 자기장 세기는
[math(\displaystyle \mathbf{H}=\mathbf{\hat{y}}\frac{E_{0}}{\mu_{0} c}e^{i(kz-\omega t)}=\mathbf{\hat{y}}\varepsilon_{0} E_{0}ce^{i(kz-\omega t)} )]
가 된다.[4] 그런데 관측할 수 있는 영역은 실수부의 파이므로 실수부만 취하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Re(\mathbf{E})&=\mathbf{\hat{x}}E_{0}\cos{(kz-\omega t)} \\ \Re(\mathbf{H})&=\mathbf{\hat{y}}\varepsilon E_{0}c\cos{(kz-\omega t)} \end{aligned})]
따라서 구하는 포인팅 벡터는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S}&= \Re (\mathbf{E}) \times \Re (\mathbf{H}) \\ &=\mathbf{\hat{z}}\varepsilon_{0} E_{0}^{2}\cos^{2}{(kz-\omega t)} \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle \mathbf{S} \rangle&=\mathbf{\hat{z}} \langle \varepsilon E_{0}^{2}\cos^{2}{(kz-\omega t)} \rangle \\ &=\mathbf{\hat{z}}\varepsilon E_{0}^{2} \langle \cos^{2}{(kz-\omega t)} \rangle \end{aligned} )]
이때, 한 주기에 대한 코사인 제곱 항의 시간 평균은 [math(1/2)]이므로
[math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle= \frac{1}{2} \varepsilon E_{0}^{2}\mathbf{\hat{z}} )]
으로 구할 수 있다.
아래와 같은 물리량을 생각해보자.
[math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} )]
이 물리량은 어떤 미소 면적을 통과하는 단위 시간당 에너지의 평균적인 미소 유량을 의미하게 된다. 따라서 어떤 면적에 대해서는 위를 적분하면, 얻을 수 있다.
이번에는 평균 포인팅 벡터를 쉽게 계산하는 방법에 대해 알아보자. 전자기파가 단색 평면파라면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\mathbf{E_{0}}e^{-i \omega t} \\ \mathbf{H}&=\mathbf{H_{0}}e^{-i \omega t} \end{aligned} )]
로 주어질 것이다. 그런데 관측 가능한 파는 실수부에 한해서 이므로, 평균 포인팅 벡터는 실수부만 취해야 한다. 즉,
[math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle = \langle \Re (\mathbf{E}) \times \Re (\mathbf{H}) \rangle )]
이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Re (\mathbf{E})&= \frac{1}{2} (\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\ast}) \\ \Re (\mathbf{H})&= \frac{1}{2} (\mathbf{H}+\mathbf{H}^{\ast}) \end{aligned} )]
로 쓸 수 있다. [math(\ast)]는 복소 공액(켤레 복소수)을 취한다는 의미[5]에서 붙였다. 따라서,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle \mathbf{S} \rangle &=\frac{1}{4} \langle (\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\ast}) \times (\mathbf{H}+\mathbf{H}^{\ast}) \rangle \\ &=\frac{1}{4} \left[ \langle \mathbf{E} \times \mathbf{E}^{\ast} \rangle + \langle \mathbf{H}^{\ast} \times \mathbf{H} \rangle + \langle ( \mathbf{E} \times \mathbf{H}^{\ast} )+( \mathbf{E}^{\ast} \times \mathbf{H} ) \rangle \right] \end{aligned} )]
[5] 수학에서 [math(\ast)]로 표기하는 에르미트 수반 연산자는 물리학에서는 [math(\dag)] 또는 ]로 나타낸다.
이때, 앞 두 항에 대한 계산을 해보면 0을 얻고, 뒤 항은 시간 항이 사라지므로 결국 평균 값은 제3항의 벡터 연산을 한 값과 같다. 결국 다음과 같이 계산할 수 있음을 얻는다.
[math(\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle =\frac{1}{2} \Re (\mathbf{E} \times \mathbf{H}^{\ast})=\frac{1}{2} \Re (\mathbf{E}^{\ast} \times \mathbf{H}) )]
6. 에너지 연속 방정식[편집]
위에서 전자기장의 에너지 보존에 대해,
[math(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\mathbf{J} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}+\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{S}=0 )]
로 쓸 수 있다고 했다. 이때, 전하에게 한 일 또한 밀도 형태로 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \frac{\partial u_{\mathrm{mech} } }{\partial t} \,dV )]
따라서 위에서 논의한 에너지 보존을
[math(\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}(u+u_{\mathrm{mech}})+\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{S}=0 )]
로 쓸 수 있다. 이것을 전자기학의 에너지 연속 방정식이라 한다.
참고로, 정상 전류를 다뤘을 때, 전류에 대한 연속 방정식과 비교해보면 분명한 의미를 알 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}=0 )]
연속 방정식에 대한 자세한 내용은 해당 문서를 참조하라.
7. 맥스웰 변형 텐서[편집]
자세한 내용은 맥스웰 변형 텐서 문서를 참고하십시오. 8. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-24 00:57:41에 나무위키 포인팅 벡터 문서에서 가져왔습니다.