조화 진동자/고차원 단순 조화 진동자
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상위 문서: 조화 진동자 1. 개요[편집]
이 문서에서는 고차원 단순 조화 진동자를 분석해볼 것이다.
분석의 용이성과 난의도를 고려, 2차원 단순 조화 진동자의 분석하는 것을 중점으로 둔다.
2. 선수 지식[편집]
우선 1차원 단순 조화 진동자의 운동 양상에 대해 알아야 하므로 이 문서의 상위 문서를 열람하고 오는 것을 권장한다.
3. 상세[편집]
그림과 같이 정사각형[1] 트랙에 따라 용수철이 움직일 수 있게 만들고[2], [math(x)]축 방향으로는 [math(k_{x})]의 용수철 상수의 용수철 2개를, [math(y)]축 방향으로는 [math(k_{y})]의 용수철 상수의 용수철 2개를 각각 물체에 연결한다.
파일:manu_이차원_조화진동자_개요.png
이때, 분석을 등방적인 경우와 아닌 경우로 나눈다.
3.1. 등방적인 경우[편집]
[math(k_{x}=k_{y}\equiv k)]인 경우이다.
각 축에 대한 운동 방정식은 아래와 같다.
[math(\begin{aligned} \left\{\begin{matrix}\ddot{x}+\omega^{2}x=0 \\ \ddot{y}+\omega^{2}y=0 \end{matrix} \qquad\right. \biggl(\omega^{2}=\frac{2k}{m} \biggr) \end{aligned})]
이 방정식은 1차원 단순 조화 진동자의 운동 방정식으로 그 해를
[math(\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x=L\cos{(\omega t+\varphi_{x})} \\ y=L\cos{(\omega t+\varphi_{y})} \end{matrix} \qquad\right. \end{aligned})]
로 쓸 수 있다. [math(2L)]은 트랙의 너비(높이)이고, [math(\varphi_{i})]는 각 축의 위상차와 관련 있다.
이제 다음을 고려하자. 여기서 일단 [math(\varphi_{x} - \varphi_{y} \neq n\pi/2 )]임을 가정한다.
[math(\begin{aligned} (x+y)^{2}&=L^{2}[\cos{(\omega t+\varphi_{x})}+\cos{(\omega t+\varphi_{y})}]^{2} \\&=4L^{2}\cos^{2}{\biggl[\omega t+\frac{\varphi_{x}+\varphi_{y}}{2}\biggr]}\cos^{2}{\biggl[\frac{\varphi_{x}-\varphi_{y}}{2}\biggr]} \\ (x-y)^{2}&=L^{2}[\cos{(\omega t+\varphi_{x})}-\cos{(\omega t+\varphi_{y})}]^{2} \\&=4L^{2}\sin^{2}{\biggl[\omega t+\frac{\varphi_{x}+\varphi_{y}}{2}\biggr]}\sin^{2}{\biggl[\frac{\varphi_{x}-\varphi_{y}}{2}\biggr]} \\ \\ \therefore (2L)^{2} &=\frac{(x+y)^{2}}{\cos^{2}{\biggl[\dfrac{\varphi_{x}-\varphi_{y}}{2}\biggr]}}+\frac{(x-y)^{2}}{\sin^{2}{\biggl[\dfrac{\varphi_{x}-\varphi_{y}}{2}\biggr]}} \\ & \equiv A^2(x+y)^{2}+B^2(x-y)^{2} \\&=(A^2+B^2)x^2+2(A^2-B^2)xy+(A^{2}+B^2)y^{2} \end{aligned})]
이상에서 점 [math((x,\,y))]가 그리는 도형은
[math(\begin{aligned} (A^2+B^2)x^2+2(A^{2}-B^{2})xy+(A^{2}+B^2)y^{2}-4L^{2}=0 \end{aligned})]
이는 원뿔곡선의 방정식으로 해당 문서에 나와있는 판별식을 사용하면,
[math(\begin{aligned} \mathfrak{D} &=2^2(A^{2}-B^{2})^{2}-4(A^2+B^2)^{2} \\&=-16A^2B^2 \\ &<0 \end{aligned})]
으로 이 도형은 타원을 나타내고, 원뿔 곡선의 회전각 [math(\psi)]는
[math(\begin{aligned} \cot{(2\psi)}=\frac{(A^2+B^2)-(A^2+B^2)}{2(A^{2}-B^{2})}=0 \end{aligned})]
이므로 [math(\psi=\pm 45\degree)]가 된다.
이번에는 [math(\varphi_{x} - \varphi_{y} = n\pi/2 )](단, [math(n)]은 홀수)인 경우를 살펴보자.
[math(\begin{aligned} x&=L\cos{\biggl(\frac{n\pi}{2}+\omega t+\varphi_{y}\biggr)}\\&=(-1)^{n}L\sin{(\omega t+\varphi_{y})} \\ y&=L\cos{(\omega t+\varphi_{y})} \end{aligned})]
따라서
[math(\begin{aligned} x^2+y^2=L^2 \end{aligned})]
로 반지름 [math(L)]인 원을 그린다.
마지막으로 [math(\varphi_{x} - \varphi_{y} = n\pi )]인 경우를 살펴보자.
[math(\begin{aligned} x&=L\cos{(n\pi+\omega t+\varphi_{y})}\\&=(-1)^{n}L\cos{(\omega t+\varphi_{y})} \\ y&=L\cos{(\omega t+\varphi_{y})} \end{aligned})]
따라서
[math(\begin{aligned} y=\pm x \end{aligned})]
로 직선을 그린다.
다음은 몇몇 [math(\varphi_{x}-\varphi_{y}\equiv \delta)] 값에 대한 도형들이다.
3.2. 등방적이지 않은 경우[편집]
[math(k_{x}\neq k_{y})]인 경우로,
[math(\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x=L\cos{(\omega_{x} t+\varphi_{x})} \\ y=L\cos{(\omega_{y} t+\varphi_{y})} \end{matrix} \qquad\right. \biggl(\omega_{x}^{2}=\frac{2k_{x}}{m},\,\omega_{y}^{2}=\frac{2k_{y}}{m} \biggr) \end{aligned})]
의 해를 가진다.
이 [math((x,\,y))]가 그리는 곡선은 리사주 도형으로, 그 특징은 다음과 같다.
- [math(\omega_{x})], [math(\omega_{y})]의 비가 유리수이면, 그 곡선은 닫히며, 그 외엔 닫히지 않는다.
- 각진동수 및 위상차 비 모두 곡선의 모양에 영향을 끼친다.
아래는 몇몇 각진동수 비와 위상차 [math(\delta=\varphi_{\blue y}-\varphi_{\red x})][주의]에 대하여 리사주 도형을 나타낸 것이다.
오실로스코프를 이용하여 서로 다른 주파수의 정현파 신호를 각각 다른 채널에 연결 후 [math(xy)]평면에 한번에 나타내는 기능을 사용함으로써 이를 관찰할 수도 있다.
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