잠자는 숲속의 미녀 문제
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1. 개요[편집]
Sleeping Beauty Problem
잠자는 미녀(의) 문제, 잠자는 숲속의 공주 문제 등으로도 불린다.
확률론의 사고실험 내지는 역설의 하나. 확률이 1/2이냐 1/3이냐로 갈리는 걸 보면 몬티 홀 문제가 떠오르지만 내막은 오히려 베르트랑 역설(Bertrand paradox)[1] 과 비슷한 점이 많다. 즉 이산적인 확률에 대해서도 가능성이 같은 사건이라는 게 애매하기에 생긴 문제로 현재까지도 일관된 합의는 존재하지 않고 논쟁 중에 있다.
2. 내용[편집]
잠자는 숲속의 미녀에서 모티브를 따온 실험이다. 진행과정은 다음과 같다.
- 미녀는 일요일에 실험의 모든 진행과정에 대해 전달받고 잠이 든다.
- 실험의 시작과 동시에 동전을 던진다. 미녀에게는 알리지 않고 실험자만 알고 있는다.
- 동전의 앞면이 나왔다면, 미녀를 월요일에 깨워 동전의 확률에 관한 "질문"을 한다. 이후 기억 소거제를 이용해 월요일의 기억을 완전히 지우고 다시 재운다. 화요일에는 깨우지 않는다.
- 동전의 뒷면이 나왔다면, 미녀를 월요일에 깨우고 "질문"을 한 후 월요일의 기억을 지우고 재운다. 화요일에도 미녀를 깨워서 "질문"을 한 후 화요일의 기억을 지우고 다시 재운다.
- 수요일에는 미녀를 깨우고 실험을 종료한다.
- 우리가 미녀를 깨웠을 때 미녀에게 묻는 그 "질문"이란 다음과 같다.
실험 시작 시 던진 동전에서 앞면이 나왔을 확률은 얼마인가?
- 질문을 할 때 오늘이 무슨 요일인지, 미녀가 몇 번째 깨어난 것인지에 대한 정보는 일절 주지 않는다.
직관적으로 생각하면 '동전을 던졌는데 당연히 1/2지'라고 생각할 수 있다. 그러나 미녀의 입장에서는 '내가 일어났다' 라는 정보가 핵심적이다. 동전의 앞면이 나온 경우, 미녀는 한 번 밖에 일어날 수 없다. 동전의 뒷면이 나온 경우, 미녀는 두 번 일어날 수 있다. 그러나 기억이 소거되었기에 미녀는 자신이 몇 번 일어났는지는 알 수 없다. 이 때문에 철학적 논쟁의 대상이 된 것이다.
3. 해석[편집]
3.1. 답은 1/3이다.[편집]
애덤 엘가의 주장이다.
질문을 받았을 때 가능한 사건은 (앞면, 월요일), (뒷면, 월요일), (뒷면, 화요일) 세 가지 뿐이다.
뒷면이 나왔을 경우 미녀는 깨어난 기억을 소거당했기 때문에 월요일과 화요일을 구별할 수 없다. 즉 두 가능성은 동등하므로 P(뒷면, 월요일)=P(뒷면, 화요일) 이다.
월요일일 경우 공정한 동전이므로 두 가능성은 동등하므로 P(뒷면, 월요일)=P(앞면, 월요일)이다. 엘가는 이를 설명하기 위해 다음과 같은 변형된 실험을 제안한다.
- 미녀는 일요일에 실험의 진행과정을 알고 잠이 든다. 미녀를 월요일에 깨우고 질문을 한 후 월요일의 기억을 지우고 재운다.
- 동전을 던진다. 미녀에게는 알리지 않고 실험자만 알고 있는다.
- 동전의 앞면이 나왔다면, 화요일에는 깨우지 않는다.
- 동전의 뒷면이 나왔다면, 화요일에도 미녀를 깨운 후 화요일의 기억을 지우고 다시 재운다.
세 가지 확률이 같고 이 중 어느 것도 동시에 일어날 수 없으므로 P(앞면, 월요일)=P(뒷면, 월요일)=P(뒷면, 화요일)=1/3이다.
실험을 극단적으로 만들면 더 쉽게 이해할 수 있다. 앞면이 나온다면 그대로 한번 질문을 하고 끝나지만, 뒷면이 나온다면 깨워서 질문을 한 뒤 기억을 지우고 다시 자는 과정을 수천 수만번을 반복한다고 하자. 이 경우 미녀의 관점에서는 일어나서 질문을 받을 때 뒷면일 가능성이 더욱 높다고 느껴질 것이다.
3.2. 답은 1/2이다.[편집]
데이비드 루이스의 주장. 동전은 공정하므로 실험내용을 알고있는 미녀에게 일요일에 질문을 한다면 답은 1/2일 것이다. 기억이 소거된 미녀 입장에선 이 확률에 영향을 끼칠 어떤 정보도 추가적으로 주어지지 않으므로 미녀의 답이 1/2에서 바뀌는 것은 불합리하다. 특히 엘가의 P(뒷면, 월요일)=P(앞면, 월요일)이 틀렸으며, 구체적으로 조건부 확률인 P(앞면|월요일)이 2/3가 되어야 한다고 주장했다.
3.3. 두 답은 단지 관점의 차이일 뿐이다.[편집]
위 두 주장은 단지 관점의 차이에서 비롯된 것일 뿐이라는 견해가 있다. 문서 초반에 언급된 베르트랑 역설도 결국 들여다보면 현을 그리는 변수에 따라 확률밀도함수가 다르게 그려지기 때문에 생긴 현상이다.
닉 보스트롬은 인간원리를 다룬 자신의 저서에서 같은 시계열에서 존재하는 관측자들이 동등한 가능성을 갖는다고 볼 경우 확률은 1/2이 되며 가능한 모든 관측자들이 동등한 가능성을 갖는다고 볼 경우 1/3이 됨을 보였다.
4. 여담[편집]
Mikaël Cozic은 엘가, 루이스 둘 다 틀렸고 P(앞면)=P(앞면|월요일)=1/2이라고 주장했다.
이름이나 실험 내용이나 동화인 잠자는 숲속의 미녀에서 따온 사고실험이지만 정작 해당 동화의 프랑스어 원제에서 잠드는 것은 미녀가 아니라 숲이라는 게 함정.
미녀를 우리, 잠에서 깨우는 행위를 의식을 가지게 되는 것으로 보아서 시뮬레이션 우주론으로 이어지기도 한다.
마사토끼의 세계 제일 시리즈 단편 'Y시설의 수감자' 줄거리의 모티브가 되었다.
5. 참고[편집]
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[1] 원에 그어진 임의의 현이 그 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 길 확률을 구하는 문제이다. 답은 1/2, 1/3, 1/4 세가지가 제시되어 있다.[2] 실험에서 바뀐 것은 동전을 언제 던지냐 뿐이다. 또한 조건부 확률의 정의에 따라 1/2=P(앞면|월요일)=P(앞면, 월요일)/P(월요일)인데 P(월요일)=P(뒷면, 월요일)+P(앞면, 월요일)이다.