자기 쌍극자 모멘트

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전자기학
Electromagnetism

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1. 개요
3. 자기 쌍극자의 물리량
3.1. 퍼텐셜과 자기장
3.2. 힘과 돌림힘, 에너지
4. 자화 밀도
5. 관련 문서


1. 개요[편집]


magnetic dipole moment · 모멘트

자기장 속에서 토크의 크기를 결정짓는 물리량을 자기 쌍극자 모멘트라 한다. 여기서 자기 쌍극자란 'N극과 S극을 갖는 작은 물체'를 말한다. 쉽게 말해 극히 작은 막대자석이라 생각하면 된다.

전류 고리 또한 자기장을 생성하므로 이에 해당하는 자기 쌍극자 모멘트를 생각해볼 수 있다.

전류 [math(I)]가 흐르는 전류 고리에 대해 자기 쌍극자 모멘트 [math(\bf m)]의 크기 [math(m)]은 다음과 같이 전류 [math(I)]와 고리의 면적 [math(A)]을 곱한 값이며, 방향은 오른손 법칙을 따른다.

[math(|{\bf m}|=m=IA)]


파일:자기모멘트_전류고리.png

전자기학을 배우기 전의 학부 수준 이하에서는 사각 전류 고리를 일정한 자기장 영역에 넣었을 때 받는 돌림힘을 구하면서 자기 모멘트를 정의하는 것이 일반적이다.


2. 자기 퍼텐셜다중극 전개[편집]


임의의 폐곡선에 선형 전류 [math(I)]가 시계방향으로 흐르는 것을 고려해보자.[1]

파일:나무_자기쌍극자.png

폐곡선에 흐르는 선형 전류이므로 점 [math(\rm P)]에서의 자기 퍼텐셜은 아래와 같이 나온다.

[math(\displaystyle {\bf A}({\bf r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \frac1{\xi} \,{\rm d}{\bf l'}
)]
[1] 여기서는 선형 전류에 대해서만 논의하고, 일반적인 전류밀도를 갖는 경우는 학부~대학원 수준이므로 결론만 도출하도록 하겠다.

이때 [math({\bf \xi} = {\bf r} -{\bf r'})]임을 이용하면

[math(\displaystyle
\xi^{-1} = (r^2 +(r')^2 -2rr' \cos{\theta})^{-1/2}
)]

이다. 이때 [math(r \gg r')]이라면 우변을 다음과 같이 르장드르 다항식의 생성함수 꼴로 전개할 수 있다.
\end{aligned} )]
이상에서 자기 퍼텐셜

[math(\displaystyle
{\bf A}({\bf r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \Biggl[ \sum_{n=0}^\infty \frac{{(r')}^n}{r^{n+1}} P_n(\cos \theta) \Biggr] {\rm d}{\bf l'}
)]

로 전개된다. 따라서
\end{aligned} )]
가 된다. 이때, 첫째 항부터 차례로 홀극항, 쌍극자항, 사극자항, [math(\cdots)], [math(2^{n-1})]극자항이라 부른다.


한편, 자기홀극은 존재하지 않으므로 제1항은 없어지며[2] 자기 쌍극자를 논의해야 하므로 이제부터는 제2항만 논의한다. 제2항은 그림을 참고하면 아래와 같이 바꿀 수 있다.
\end{aligned} )]
위 식에 스토크스 정리를 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
\end{aligned} )]
여기서 [math({\rm d}{\bf a})]는 미소 벡터 넓이이다.

위에서 나온

[math(\displaystyle
I \iint {\rm d}{\bf a} = I{\bf a} = {\bf m}
)]
[2] 폐곡선에 대한 선적분이므로(즉, 값이 0이므로) 첫째 항은 어떤 이유라도 사라진다.

을 자기 쌍극자 모멘트라 정의한다. 이때, 벡터 넓이의 방향은 오른손 법칙을 따른다.

위의 경우는 가장 간단한 선형 전류에 대한 논의였고, 일반적인 전류밀도 [math({\bf J}({\bf r'}))]을 가지는 계에 대한 자기 쌍극자 모멘트는

[math(\displaystyle
{\bf m} = \frac12 \int {\bf r'} \times {\bf J}({\bf r'}) \,{\rm d}V'
)]

가 된다. 다만, 선형 전류인 경우에 비해 증명하기가 꽤 까다로우므로 증명은 생략한다.


3. 자기 쌍극자의 물리량[편집]



3.1. 퍼텐셜과 자기장[편집]


위의 논의에서 자기 쌍극자에 의한 자기 퍼텐셜은
\end{aligned} )]
이 됨을 알 수 있고, 자기 퍼텐셜과 자기장 사이의 관계는 다음과 같이 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 유사하다.
\end{aligned} )]
증명은 다음과 같다.
[증명]
---
원점에 놓여 있는 [math(\hat{\bf z})] 방향의 자기 쌍극자 [math({\bf m} = m\hat{\bf z})]를 고려해보자. 위의 논의에서, 자기 퍼텐셜은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\bf A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{{\bf m} \times \hat{\bf r}}{r^2}
\end{aligned} )]

구면 좌표계에서는 [math(\hat{\bf z} = \cos{\theta} \,\hat{\bf r} -\sin{\theta} \,\hat{\boldsymbol{\theta}})]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\bf A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m \sin{\theta}}{r^2} \hat{\boldsymbol{\phi}}
\end{aligned} )]

이다. 이때, 자기장 [math(\bf B)]는 자기 퍼텐셜 [math(\bf A)]의 회전 [math(\boldsymbol{\nabla} \times {\bf A})]로 주어지므로, 위 식에 회전을 적용하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\bf B} = \frac{\mu_0 m}{4\pi} \frac{2\cos{\theta} \,\hat{\bf r} +\sin{\theta} \,\hat{\boldsymbol{\phi}} }{r^3}
\end{aligned} )]

이때, 위 식을 다시 쓰면 다음과 같고

[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\bf B} = \frac{\mu_0 m}{4\pi} \frac{3\cos{\theta} \,\hat{\bf r} -(\cos{\theta} \,\hat{\bf r} -\sin{\theta} \,\hat{\boldsymbol{\phi}})}{r^3}
\end{aligned} )]

다음 사실을 고려하면

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\hat{\bf z} &= \cos{\theta} \,\hat{\bf r} -\sin{\theta} \,\hat{\boldsymbol{\theta}} \\
{\bf m} &= m\hat{\bf z} \\
m \cos{\theta} &= {\bf m} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf r}
\end{aligned} )]

아래와 같은 결과를 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\bf B} = \frac{\mu_0}{4\pi r^3} [ 3({\bf m} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf r}) \hat{\bf r} -{\bf m} ]
\end{aligned} )]

자기 쌍극자가 형성하는 자기력선은 아래와 같다. 전류 고리가 극히 작아진 것이라 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

파일:나무_자기쌍극자_자기력선.png


3.2. 힘과 돌림힘, 에너지[편집]


자기 쌍극자가 자기장 내에서 받는 힘은 아래와 같이 표현된다.

[math(
{\bf F} = \boldsymbol{\nabla} ({\bf m} \boldsymbol{\cdot} {\bf B})
)]

자기 쌍극자 모멘트가 일정한 자기장 [math( {\bf B} )] 속에 놓이면, 돌림힘을 받게 되며 아래와 같이 표현된다.

[math(
\boldsymbol{\tau} = {\bf m} \times {\bf B}
)]

자기 쌍극자 모멘트가 일정한 자기장 [math({\bf B})] 속에 놓였을 때 가지는 에너지는 다음과 같다.

[math(
U = -{\bf m} \boldsymbol{\cdot} {\bf B}
)]



4. 자화 밀도[편집]


파일:나무위키상세내용.png   자세한 내용은 자기장 세기 문서를 참고하십시오.



5. 관련 문서[편집]




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