옙센-버크호프 정리

1. 개요[편집]

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옙센-버크호프 정리(Jebsen-Birkhoff theorem)는 슈바르츠실트 해의 아인슈타인 텐서를 보여주는 선 요소(1)의 표준 형태에 해당하는 에너지-모멘텀 텐서에 대한 리치 텐서 행렬식(2)을 쉽게 보여줄수있다. 노르웨이의 외르그 토프테 옙센(노르웨이어: Jørg Tofte Jebsen)이 1921년에 그리고 미국의 조지 데이비드 버크호프(George David Birkhoff)가 1923년에 각자 개별적으로 유도한 이러한 정리로부터 리치 텐서 및 아인슈타인 텐서에 용이하게 접근하고 슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)를 이러한 빠른 경로로 접근해 이를 도출할수있다는 것이 옙센-버크호프 정리의 주요 핵심기능중 하나이다.[가][나][다][바][1][라][마]
[math( ds^2 = - A(r,t)dr^2 - 2B(r,t)dtdr -C(r,t)(d\theta^2 +sin^2 \theta d\phi^2) +D(r.t)dt^2 \qquad)] - (1)
[math( \begin{pmatrix} R_{rr} = \dfrac{D}{2D} - \dfrac{D'}{4D}\left( \dfrac{A'}{A}+\dfrac{D'}{D} \right) - \dfrac{A'C'}{2AC}+\dfrac{C}{C} -\dfrac{C''}{2C^2} \\

2. 리치텐서[편집]

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(2)를 정리하고
[math( R_{11} = \dfrac{v' }{2v} - \dfrac{v'' }{4v^2} -\dfrac{v'\lambda' }{4v \lambda} - \dfrac{1}{r}\dfrac{\lambda'}{\lambda} )]
[math( R_{22} = \dfrac{v' r}{2v \lambda} + \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{\lambda' r}{2\lambda\lambda} - 1 )]
[math( R_{33} = \left( \dfrac{rv' }{2v \lambda} + \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{r\lambda' }{2\lambda^2} - 1 \right) sin^2\theta = R_{22}\, sin^2\theta )]
[math( R_{44} = -\dfrac{v' }{2\lambda} + \dfrac{v' \lambda' }{4\lambda^2} +\dfrac{v'' }{4v \lambda} - \dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda} )]
일반적으로(generalized) 접근할수있는 대칭구형(symmetric sphere)에서 접평면(tangent plane)으로 다루어지는 리치텐서(Ricci tensor)들을 조사할수있다.

3. 슈바르츠실트 해[편집]

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1921,1923년 에딩턴(A. S. EDDINGTON),1943년 리차드 톨먼(Richard Chace Tolman)등이 사용한 일반적인 슈바르츠실트 해를 얻는 과정으로 다루어지는 전형적인 아인슈타인 텐서의 표준 접근 경로[*다 ]82.7[*마 ]
[math( G_{11} = - 2\dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda v} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right))]
[math( G_{44} = + 2\dfrac{1}{r}\dfrac{\lambda'}{\lambda^2} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right) )]
이와 비교해서 아래는 1921년 엡센의 슈바르츠실트 해에대한 리치텐서 단계에서의 빠른 접근 경로[*가 ][*바 ]
[math( g^{11}\left( R_{11} - \dfrac{1}{4}g_{11}R \right) -g^{44}\left( R_{44} - \dfrac{1}{4}g_{44}R \right) )]
옙센-버크호프 정리는 슈바르츠실트 해에 접근할때 [math(R_{33},R_{44})] 및 리치 스칼라 곡률 계산 생략이 가능하다.
이러한 옙센-버크호프 정리가 보여주는 빠른 경로에 대한 아이디어는 초창기 슈바르츠실트 솔루션(solution,해)을 직접 자신이 푼 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)가 1916년에 <(직역)아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie)>에서 보다 빠른 접근 경로를 기술한바있다.[바] 카를 슈바르츠실트는 그의 논문에서 특징된 다양체(manifold) 공간에서 측지선(geodesic line)을 따라 이동을 가정하고 얻은 중력장의 구성 요소들인 크리스토펠 심볼(symbol,기호)들 만으로 이를 기술했다.
다음은 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 1916년에 솔루션(해)를 얻을때 사용한 크리스토펠 심볼(표기는 편미분)이다.[*바 ]
[math( \Gamma _{11}^{1}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{22}^{1}=+{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}{\dfrac {1}{1-x_{2}^{2}}}, \Gamma _{33}^{1}=+{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\left(1-x_{2}^{2}\right),\quad \Gamma _{44}^{1}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}},)]

[math( \Gamma _{21}^{2}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{2}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{22}^{2}=-{\dfrac {x_{2}}{1-x_{2}^{2}}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-x_{2}\left(1-x_{2}^{2}\right),)]

[math( \Gamma _{31}^{3}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{2}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{32}^{3}=+{\dfrac {x_{2}}{1-x_{2}^{2}}},)]

[math( \Gamma _{41}^{4}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{4}}}{\dfrac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}})]

4. 옙센 정리[편집]

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노르웨이의 외르그 토프테 옙센(노르웨이어: Jørg Tofte Jebsen)이 1921년에 발표한 이러한 옙센 정리의 아이디어는 본인이 그의 논문에서 기술한 바와 같이 힐베르트 액션으로 이해될수있는 1917년의 힐베르트가 사용한 일반적(비정적) 구형 대칭사례(general—hence not static—spherically symmetric case)의 접근방법으로부터 얻을수있는 여러 가능한 미분방정식의 새로운 해를 예상함으로써 이러한 아이디어를 제안하고 있다.[2][3]

4.1. 리치텐서[편집]

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옙센(Jebsen)이 1921년에 발표한 옙센 정리(Jebsen theorem)의 리치곡률텐서
[math( R_{mn} = \dfrac{\partial}{\partial x^n}\displaystyle\sum_{k} \begin{bmatrix}mk\\ k \end{bmatrix}- \displaystyle\sum_{k}\dfrac{\partial}{\partial x^k} \begin{bmatrix}mn\\ k \end{bmatrix}+\displaystyle\sum_{k,l} \begin{pmatrix} \begin{bmatrix}mk\\ k \end{bmatrix} \begin{bmatrix}nl\\ k \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}mn\\ k \end{bmatrix}\begin{bmatrix}kl\\ l \end{bmatrix} \end{pmatrix} )]
아서 스탠리 에딩턴(A. S. Eddington)이 1921년과 1923년에 발표한 에딩턴 방법(Eddington method)의 리치곡률텐서
[math( G_{\mu\nu} = -\dfrac{\partial}{\partial x_{\alpha}} \{\mu\nu,\alpha\} +\{\mu\alpha,\beta \}\{\nu\beta,\alpha \} + \dfrac{\partial^2}{\partial x_{\mu}\partial x_{\nu}} log\sqrt{-g} -\{\mu\nu,\alpha\} \dfrac{\partial}{\partial x_{\alpha}} log\sqrt{-g} )] [*마 ]37.2

5. 관련 문서[편집]

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• TOV 방정식
• 리 군
• 비앙키 항등식