슈바르츠실트

maimai의 수록곡에 대한 내용은 Schwarzschild 문서 참고하십시오.

1. 독일의 물리학자[편집]

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카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild) (1873년 10월 9일 ~ 1916년 5월 11일)는 독일의 물리학자이자 천문학자이다.

일반 상대성 이론의 중력장을 결정하는 아인슈타인 방정식의 첫 엄밀해인 슈바르츠실트 해를 처음 유도한 것으로 유명하다. 이는 제1 차 세계대전 중 군 복무를 하면서 이룬 성과였는데, 슈바르츠실트는 복무 도중에 천포창(天疱瘡, Pemphigus)이라는 피부병에 걸려 의병 제대한 후 곧 사망했다.[1][2][가]

1.1. 생애[편집]

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카를 슈바르츠 실트는 1873년 10월 9일 독일 프랑크푸르트(Frankfurt)에서 유대인 가족의 여섯 남매 중 첫째로 태어났다.

1897년부터 그는 비엔나의 커프너 천문대(Kuffner Observatory)에서 조수로 일하였고, 1901년부터 1909년까지는 괴팅겐 대학 소속 천문대(Göttingen Observatory)에서 교수직을 맡는다. 이곳에서 그는 천문대의 감독이 되었고, 엘스 로젠바흐(Else Rosenbach)와 결혼하였다.

1915년에는 러시아 전선에서 복무하다 희귀 자가면역 피부 질환 천포창(Pemphigus)에 걸렸으나, 그는 고통을 인내하며 두 개의 상대성 이론 논문과 한 개의 양자역학 논문을 작성하였다. 그 중 하나는 잘 알려진 슈바르츠실트 해에 관한 논문이다.

1916년 3월 슈바르츠실트는 병의 악화로 복무를 마쳐 괴팅겐으로 돌아갔고, 2개월 뒤인 1916년 5월 11일 사망하였다.

1.2. 업적[편집]

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그의 업적은 천체 역학(Celestial Mechanics), 측광학(Photometry), 천문학, 양자역학, 상대성 이론 등에 광범위하게 남겨져 있다.

(1) 측광학(Photometry)

슈바르츠실트 법칙(Schwarzschild law)은 노출의 효과(광감성 물질의 불투명도)를 나타내는 [math(E)], 조도 [math(I)], 노출 시간 [math(t)], 슈바르츠실트 계수 [math(p)]에 대하여,



임을 뜻한다.

1.2.1. 상대론[편집]

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(1) 슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)




(2) 슈바르츠실트 내부 해(Interior Schwarzschid solution)

1.3. 슈바르츠실트 계량[편집]

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슈바르츠실트 계량(Schwarzschild metric) 혹은 슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)는 아인슈타인 방정식의 엄밀해(exact solution) 중 하나로 구형 대칭에 대전되거나 회전하지 않는(정적인) 질량 분포에 대한 바깥 시공간 지형을 나타낸다.

이것은 아인슈타인이 방정식을 발표한 바로 다음 해인 1916년에 발표된 해로, 발견자의 이름을 따 슈바르츠실트 계량이라는 이름이 붙었다.[5] (민코프스키 계량과 같은 자명한 근을 제외하면) 아인슈타인 방정식의 첫 엄밀해라고 알려져 있다. 구대칭 형태의 물질(중력원)이 만들어내는 중력장을 기술하는 해로, 아래에서 설명하겠지만 이런저런 다양한 조건들을 줘서 방정식을 최대한 근사시켜서 얻어낸 결과지만, 블랙홀, 빛의 중력 적색편이, 중력 렌즈, 행성의 근일점의 세차운동 등 기존 뉴턴 중력이론으로 설명할 수 없었던 많은 사실들을 예견하고 검증받아서 역사적으로 굉장히 중요한 해 중 하나이다. 현대에도 (일부 보정항이 들어가긴 하지만) 상대적으로 느리게 회전하는, 그리고 대전되지 않은 천체들의 거동을 파악할 때 유용하게 쓰이고 있다.[6]

1.3.1. 버코프 정리 - 구형 대칭 시공간은 정적이다.[편집]

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버코프(Birkhoff)는 진공 조건의 모든 구형 대칭 해는 정적이고 점근적으로 평평함을 보였다(버코프 정리Birkhoff's theorem, 1923). 따라서, 아인슈타인 방정식의 진공 + 구형 대칭 해는 슈바르츠실트 해가 유일하다. 놀라운 것은 구형 대칭조건이 "정적"이라는 것으로, 별이 중력 붕괴를 하든, 초신성 폭발을 하든 그 변화가 구형 대칭을 보인다면 그 외부해는 슈바르츠실트 해로 주변 중력장(시공간)은 정적이다. 별이 움직이는 것과 중력장이 움직이는 것은 다르다는 것은 주의해야 한다. 따라서, 이러한 조건에서 중력파의 방출은 전혀, 또는 최대한 양보해서 거의 일어나지 않는다. (지금까지 검출된 중력파는 전부 쌍성계의 이변이다.) 이는 전자기파 역시 전자 하나(홀극; monopole)로는 방출되지 않는 것과 같다.[7]

1.3.2. 구형 대칭 시공간[편집]

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평평한 시공간(특수 상대성 이론)의 구형 대칭 계량은 다음과 같이 주어진다.



이제, 이 시공간에 질량에 의한 곡률을 고려하면 다음과 같이 변형할 수 있다.



이 때, [math(\Phi, \Lambda, R)]은 모두 [math(r)]에만 의존하는 함수이다. 이는 가장 간단한 수정이지만, 가장 일반적인 정적인 구형 대칭 시공간 해가 된다. [math(g_{tr}, g_{t\theta}, g_{t\phi})]는 0이 되지 않도록 설정할 수 있지만, 적절한 좌표 선택으로 다시 모두 0이 되도록 설정할 수 있다.

1.3.3. 슈바르츠실트 계량의 물리적 해석[편집]

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일반 상대성 이론에서는 임의적인 좌표를 사용할 수 있으며 좌표의 이름은 대부분 우리가 아는 그 물리적 의미를 갖고 있지 않다. 예를 들어 슈바르츠실트 해에 사용된 [math(t, r, \theta, \phi)]가 우리가 생각하는 의미, 즉 각각 시간, 반지름, z축에 대한 각도, xy 평면에서의 각도를 그대로 반영할 이유는 없다. 단순히 비슷한 작용을 하는 이름을 가져온 것일 수 있다. 따라서, 각 좌표의 물리적 의미를 다시 면밀하게 검토해볼 필요가 있다. 먼저, 각각의 좌표를 어떻게 측정하는지 알아보자.

1. [math(r)]의 측정




2. [math(t)]의 측정

1.3.4. 슈바르츠실트 해의 유도[편집]

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1.3.4.1. 추측[편집]

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뉴턴 중력이론에서 예측하는 자유낙하 속도와 일반상대성이론에서 r의 함수인 대각 계량텐서([math( g_{ij} = k_{i}(r) \delta_{ij})])에 대한 측지선 방정식의 해를 정규직교기저의 성분으로 나타내어 도출한 고전적 자유낙하 속도를 같도록 하여 슈바르츠실트 해를 구할 수 있다.

1.3.4.2. 정확한 풀이[편집]

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우선 진공 조건에서, 아인슈타인 방정식을 최대한 간단히 만들기 위해 다음과 같이 가정한다.[*가 ][8]

• 시공간은 구형으로 대칭이다. 즉 시공간을 회전하거나, 좌우반전을 해도 변함이 없다.
• 시공간은 시간에 따라 변하지 않는다. 즉, 계량의 모든 성분들이 시간에 의존하지 않는다.
• 진공 상태를 가정한다. 즉, 에너지-스트레스 텐서를 0으로 둔다.
• 우주 상수항은 0으로 가정한다.

아인슈타인 방정식을 이 조건하에서 다시 쓰면 다음과 같다.

[math(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 0)]

4차원 시공간을 가정하고 있다는 점에 주의하면서([math(g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = \delta^{\mu}_{\mu} = 4)]), 축약을 하면

[math(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R = R - 2R = 0 \Rightarrow R = R_{\mu\nu} = 0)]

즉, 아인슈타인 방정식은 [math(R_{\mu\nu} = 0)]라는 간단한 꼴로 정리된다.

한편, 계량 텐서가 개략적으로 어떤 꼴을 가질지 예측해보자. 시공간은 구형 대칭이라는 걸 가정했으므로, 계량 텐서도 구면 좌표계에서의 좌표꼴 [math((r, \theta, \phi, t))]에 대한 무언가의 함수로 보는 편이 타당하다. 또한, 시공간은 시간 불변이라는 조건에서, 시간 반전 변환[math((r, \theta, \phi, t) \rightarrow (r, \theta, \phi, -t))]하에서도 계량 텐서는 불변이라는 사실도 알 수 있다. 여기서, 시간 반전 변환하에서 [math(\frac{\partial x^{i}}{\partial t} (i = 1,2,3))]의 부호가 바뀌지만,[9] 시간 반전하에서 시공간이 변하지 않으므로(= 계량 텐서가 변하지 않으므로) 이 값은 0이 되어야 함을 알 수 있다. 즉,

[math(g_{\mu 4} = 0, \mu = 1,2,3)]

같은 논리를 구형 대칭 조건하에서 각 변수 [math(r, \theta, \phi)]의 반전에 따라 적용하면, 다음과 같은 결론을 얻는다.

[math(g_{\mu\nu} = 0, \mu \neq \nu)]

즉, 계량 텐서는 대각선 성분만 가지며,[10] 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(ds^2 = g_{11}dr^2 + g_{22}d\theta^2 + g_{33}d\phi^2 + g_{44}dt^2 )]

여기서 구면대칭이라는 조건을 생각하면, [math(dr^2, dt^2)]항에 관계되는 계량텐서 성분 [math(g_{11}, g_{44})]가 각각 [math(r)]만의 함수가 되어야 하고 [math(g_{22}, g_{33})]은 각도항이므로 영향을 받지 않게된다. 즉,

[math(g_{11} = \lambda(r), g_{44} = v(r))]

로 둘 수 있다. 한편, 반경의 길이가 [math(r)]인 구면 상에서의 기하는

[math(dl^2 = r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2))]

로 나타내어진다는 점에서, [math(g_{22}, g_{33})]의 값이 바로 결정된다. 즉,

[math(g_{22} = r^2, g_{33} = r^2\sin^2 \theta)]

여기까지 알아낸 계량 텐서의 개형을 행렬로 나타내면 다음과 같다.

[math(g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \lambda(r) \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && r^2 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && r^2\sin^2 \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && v(r) \end{array} \right) )]

시공간의 대칭성 조건만으로 이렇게까지 계량 텐서를 특정지을 수가 있었다. 이제 남은 일은 이 계량 텐서를 직접 아인슈타인 방정식에 넣어서 남은 [math(\lambda, v)]의 값을 확정짓는 것뿐이다. 우선, 리치 텐서 [math(R_{\mu\nu})]를 계산하기 위해 크리스토펠 기호(독일어: Christoffelsymbole, 영어: Christoffel symbol)를 계산한다. 크리스토펠 기호의 정의

[math(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha}))]

에 따라 계량 텐서를 넣어서 정신줄을 놓을 정도로 계산하면, 크리스토펠 기호의 각성분은 다음과 같이 계산된다.

[math(\Gamma^{1}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \lambda'/2\lambda \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && -r/\lambda \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -r\sin^2 \theta/\lambda \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -v'/2\lambda \end{array} \right) )]
[math(\Gamma^{2}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -\sin \theta \cos \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math(\Gamma^{3}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \\ 1/r \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math(\Gamma^{4}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && v'/2v \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ v'/2v \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]

여기서, 미분기호 '는 [math(r)]에 대한 미분이다. 한편으로, 리치 텐서 [math(R_{\mu\nu})]와 크리스토펠 기호 [math(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu})]의 관계는 다음과 같다.

[math(R_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu, \lambda} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda, \nu} + \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\Gamma^{\lambda}_{\lambda\rho} - \Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho})]

아인슈타인 방정식 [math(R_{\mu\nu} = 0)]에 위 관계식을 이용하여 아까 계산해뒀던 크리스토펠 기호 성분들을 전부 넣으면 다음과 같은 관계식이 도출된다.

[math(4\lambda' v^2 - 2r\lambda v v'' + r \lambda' v v' + r \lambda v'{}^2 = 0 )]
[math(r\lambda' v + 2\lambda^2 v - 2\lambda v - r\lambda v' = 0)]
[math(-2r\lambda v v'' + r \lambda' v v' + r \lambda v'{}^2 - 4 \lambda v v' = 0)]

왠지 막장같아 보이는 식이지만, 첫 번째 식에서 세 번째 식을 빼면 다음과 같은 결과를 얻는다.

[math(4v(\lambda' v + \lambda v') = 0 \Rightarrow \lambda' v + \lambda v' = 0 \Rightarrow \lambda v = const)]

여기서 [math(\lambda v = C_{1})]라고 두고, 이 결과를 두 번째 식에 대입하면, 놀랍게도 [math(v)]를 소거할 수 있다. [math(C_{1})]값을 두 번째 식에 계산해서 잘 정리하면,

[math(r\lambda' = \lambda(1-\lambda))]

를 얻는다. 이 미분방정식은 일반해로

[math(\lambda(r) = \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)^{-1})]

을 갖는다. 여기서 [math(C_{2})]는 임의의 상수이다, 또한, [math(\lambda v = C_{1})]로부터,

[math(v(r) = C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right))]

을 얻는다. 여태까지 계산한 결과를 종합하면, 계량 텐서는

[math(ds^2 = \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 + C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right) dt^2 )]

로 나타낼 수 있다. 여기서 [math(C_{1}, C_{2})]의 구체적인 값은 아인슈타인 방정식 자체로는 구할 수 없고, 고전 이론으로의 근사(뉴턴 중력 이론)를 써서 구할 수밖에 없다.[11]

먼저, 중력원으로부터 충분히 먼 공간, 즉 [math(r \rightarrow \infty)]일 때, 시공간은 중력장의 영향을 거의 받지 않아 거의 휘지 않는다고 생각할 수 있다. 즉, 중력원으로부터 충분히 먼 공간에선 이 계량은 '휘지 않은' 민코프스키 계량으로 근사할 수 있다고 말할 수 있다. 즉, [math(r \rightarrow \infty)]면 [math(C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right) dt^2 \rightarrow -c^2dt^2)]이므로,

[math(C_{1} = -c^2)]

이다. 한편으로, 약한 중력장에서 뉴턴 중력이론으로 근사할 때

[math(g_{44} \simeq 1 + \frac{2\Phi}{c^2} = 1 - \frac{2MG}{c^2r})]

이라는 사실을 상기하면,

[math(C_{2} = -\frac{c^2}{2GM})]

라는 사실을 알 수 있다. 즉, 우리가 찾고자 했던 계량 텐서는

[math(ds^2 = \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 -c^2 \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) dt^2 )]

[math(g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && r^2 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && r^2\sin^2 \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) \end{array} \right) )]

임을 알 수 있고, 이렇게 구한 계량을 슈바르츠실트 계량(Schwarzschild metric)이라고 한다.

여기서 흔히 [math(r_{s} = \frac{2GM}{c^2})]를 정의해서,

[math(ds^2 = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 -c^2 \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) dt^2 )]

라고 표기한다. 이때의 [math(r_{s})]를 슈바르츠실트 반경(Schwarzschild radius)이라고 한다.

1.3.5. 슈바르츠실트 해와 블랙홀[편집]

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이 슈바르츠실트 반경(Schwarzschild radius)이 블랙홀의 사건의 지평선의 반경이다. 자세한 내용은 사건의 지평선 문서를 참조.

1.4. TOV 방정식[편집]

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  자세한 내용은 TOV 방정식 문서를 참고하십시오.

슈바르츠실트 해의 구체적인 계수는 아인슈타인 방정식 자체로는 설명할 수 없고, 고전 이론으로의 근사(뉴턴 중력 이론)를 써서 구할 수밖에 없다. 이를 TOV(톨만-오펜하이머-볼코프) 방정식이라고 한다.

1.5. 슈바르츠실트 해의 특이점[편집]

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슈바르츠실트 해의 특이점에는 좌표 중심([math(r=0)])과 사건의 지평선([math(\displaystyle r=\frac{2GM}{c^2})]) 둘이 있는데, 사건의 지평선은 진짜 특이점이 아니라는 것을 보일 수 있다.(크루스칼 좌표계kruskal-szekeres coordinates로 바꾸면 특이점이 되지 않도록 서술할 수 있다.) 하지만 좌표 중심은 진짜 특이점이다. 사건의 지평선처럼 좌표계 문제로 생기는 특이점을 좌표 특이점coordinate singularity이라고 하는데 이는 지구의 양극에서 경도가 모두 한 점으로 수렴하는 것과 비슷하다. 실제로, 지평선 바깥에서 볼 때 지평선 가까이에 접근하는 물체는 시간이 점점 느려져 정지하는 것으로 보이나, 실제 접근하는 물체는 여전히 부드럽게 낙하하고 있다. 그러나 특이점에서 어떻게 되는지는 낙하하는 물체 입장에서도 서술하기 어렵다. (그전에 스파게티화가 되기는 하지만)

2. 전략 시뮬레이션 게임 시리즈[편집]

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파워돌 시리즈를 만든 코가도 스튜디오에서 제작한 전략 시뮬레이션 게임 시리즈.

2.1. 시리즈 일람[편집]

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2.1.1. 슈바르츠실트[편집]

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狂嵐の銀河 Schwarzschild

2.1.2. 슈바르츠실트 2 - 제국의 배신[편집]

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シュヴァルツシルトII 帝国ノ背信 / Schwarzschild II - Teikoku no Haishin,

2.1.3. 슈바르츠실트 3[편집]

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シュヴァルツシルト III 惑星デスペラン

2.1.4. 슈바르츠실트 4 - 더 크레이들 엔드[편집]

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シュヴァルツシルト IV THE CRADLE END

2.1.5. 슈바르츠실트 5[편집]

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シュヴァルツシルト V 真皇誕生

2.1.6. 슈바르츠실트 EX[편집]

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シュヴァルツシルト EX 鉄鎖の星群

2.1.7. 슈바르츠실트 GX[편집]

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シュヴァルツシルト GX 錆びた蒼星

2.1.8. 슈바르츠실트 WING 1,2[편집]

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シュヴァルツシルト WING

2.1.9. 슈바르츠실트 X[편집]

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シュヴァルツシルト X（ザイファ）新たなる光輝

2.1.10. 슈바르츠실트 Z[편집]

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シュヴァルツシルト Z 最後の遺産

2.1.11. 슈바르츠실트 N[편집]

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シュヴァルツシルト N 未来への胎動

2.1.12. 슈바르츠실트 F[편집]

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シュヴァルツシルト F 光の邂逅

2.1.13. 슈퍼 슈바르츠실트 1,2[편집]

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スーパー シュヴァルツシルト II

2.1.14. 엑사레기우스[편집]

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エクサレギウス