선형근사

1. 개요[편집]

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선형 함수를 이용해서 어떤 함수를 근사하는 방법을 선형근사(linear approximation)라 한다. 대학에 가서 미분을 처음 배울 때 differential의 개념과 함께 고등학교와 차이가 나타나는 부분이다.

2. 정의[편집]

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2.1. 실함수[편집]

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미분가능한 실변수 함수 [math(f)]가 주어질 때, [math(n=1)]일 때 테일러 정리의 식을 쓰면
[math(f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2})] ([math(R_2)]는 나머지)

여기서 나머지를 제거하여 얻어지는 게 선형 근사이다. 곧,
[math(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a))]

[math(x)]가 [math(a)]에 충분히 가깝다면 이 근사는 꽤 정확한 것으로 알려져있다. 이는 곡선을 매우 면밀히 확대하였을 때 곡선이 직선과 닮았기 때문이다. 우변의 식이 접선의 방정식과 같은 것도 바로 이 이유이다.[1]

2.2. 벡터 함수[편집]

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벡터 함수더라도 스칼라 함수와 같은 방식으로 구한다. 예를 들어, 미분가능한 함수 [math(f(x,y))]가 주어질 때, [math((a,b))]에 가까운 [math((x,y))]에서 다음과 같은 식으로 근사한다.
[math(f(x,y)\approx f(a,b)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b))]
여기서 우변의 식은 접평면의 방정식과 같다.

가장 일반적인 정의는 바나흐 공간에서 정의하는 것이다. 선형 근사는
[math(f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a))]
의 식으로 나타내고 이때 [math(Df)]는 벡터 공간 상의 프레체 미분이다.

3. 활용[편집]

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선형 근사는 다른 미분의 수많은 개념과 관련되어 있기 때문에 이 자체로만 쓰인다기 보다는 테일러 정리 등과 엮일 수 있다. 하지만 자체로 가장 흔히 쓰이는 근사 방법이기 때문에 물리학 등 다양한 부분에 두루 쓰인다.