상대속도
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1. 개요[편집]
relative velocity · 相對速度
관찰자가 관찰하게 되는 관찰 하는 대상의 속도.
2. 상세[편집]
상대속도는 대상의 속도에서 관찰자 속도를 빼면 된다. 즉, 정지 좌표계를 기준으로 [math(\mathbf{v}_{\rm A})]의 속도로 움직이는 [math(\rm A)]가 관찰하는 [math(\mathbf{v}_{\rm B})]의 속도로 움직이는 대상의 속도 [math(\mathbf{v}_{\rm AB})]는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{v}_{\rm AB}=\mathbf{v}_{\rm B}-\mathbf{v}_{\rm A} \end{aligned} )]
3. 상대론적 상대 속도[편집]
관성계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(v_{\rm A})]의 속도로 움직이는 [math(\rm A)], [math(v_{\rm B})]의 속도로 움직이는 [math(\rm B)]를 고려하자.
[math(\rm A)]의 입장에서 [math(\mathcal{O})]는 [math(-v_{\rm A})]의 속도로 움직이고, [math(\mathcal{O})]를 기준으로 [math(v_{\rm B})]의 속도는 [math(v_{\rm B})]이기 때문에 [math(\rm A)]가 관찰하는 [math(\rm B)]의 속도는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{\rm AB}&=\frac{v_{\rm B}+(-v_{\rm A})}{1+\dfrac{(-v_{\rm A})v_{\rm B}}{c^2}} \\ &=\frac{v_{\rm B}-v_{\rm A}}{1-\dfrac{v_{\rm A}v_{\rm B}}{c^2}} \end{aligned} )]
[math(c)]는 광속이다.
4. 관련 예제[편집]
[풀이 보기] -
[math(0)]부터 [math(t_{0})]까지 [math(\rm B)]는 운동하지 않았다. 따라서 그래프는 [math(\rm A)]의 실제 운동에 대한 그래프를 나타낸다.
[math(t_{0})] 이후 [math(\rm B)]는 운동했지만, [math(V_{y})]가 연속적인데, 이것은 [math(\rm B)]가 운동할 때, [math(y)]축 가속도를 갖지 않았기 때문이다. 또한 [math(\rm B)]는 [math(x)]축 상에 정지했었기에 [math(y)]축 방향으로는 운동하지 않았음을 알 수 있다.
[math(t_{0})] 이후 [math(V_{x}=0)]이므로 두 물체의 가속도의 [math(x)]축 성분이 같다는 것과 동시에 [math(\rm B)]가 보았을 때, [math(\rm A)]는 [math(x)]축 방향으로 가까워지거나 멀어지지 않음을 의미한다. 그런데 두 물체가 떨어져있다고 생각하면 [math(3t_{0})]에 서로 만날 수 없기 때문에 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]는 [math(t_{0})]때 이미 [math(y)]축과 평행한 직선 위에 있었다는 의미가 된고, 그 이후에도 두 물체는 운동을 하나, 직선 위에 있다. [math(\rm B)]가 [math(t_{0})]일 때 원점에서 정지했었기 때문에 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]는 [math(t_{0})]일 때, [math(y)]축 위에 있었음을 알 수 있다.
이상의 정보로 정답을 추론해보자.
ㄱ. [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 가속도의 [math(x)]축 성분이 같다는 것을 의미하고, [math(\rm A)]의 [math(x)]축 가속도 성분은 [math(v_{0}/t_{0})]이다. 따라서 [math(2t_{0})]일 때, [math(\rm B)]의 속력은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{v_{0}}{t_{0}} \cdot (2t_{0}-t_{0})+v_{0}=2v_{0} \end{aligned} )]
으로 옳은 선지이다.
ㄴ. 위 정보에서 [math(t_{0})]일 때, [math(\rm A)]는 [math(x)]축 방향으론 [math(d)]만큼 이동했음을 알 수 있다. 따라서 해당 구간의 평균 속력은 [math(v_{0}/2)]이므로
[math(d=\dfrac{v_{0}t_{0}}{2})]
으로 틀린 선지이다.
ㄷ. [math(\rm B)]는 [math(y)]축 방향으로 운동하지 않았기에 곧 [math(V_{y})]는 [math(\rm A)]의 속도가 된다. 이때, [math(t_{0})]일 때 [math(\rm A)]가 [math(y)]축 상을 지나므로 이 때의 속도는
[math(v_{0}-\dfrac{2v_{0}}{3t_{0}}(t_{0}-0)=\dfrac{1}{3}v_{0} )]
이때까지 평균 속도는 [math(2v_{0}/3)]이고, 이동한 거리는
[math(\dfrac{2v_{0}}{3} \cdot t_{0}=\dfrac{2v_{0}t_{0}}{3}=\dfrac{4}{3}d )]
로 해당 점을 지나므로 옳은 선지이다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
두 물체의 운동을 시각화 하면 아래와 같다.
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