몬티 홀 문제

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영화 《21》에서 다룬 몬티 홀 문제

1. 개요
2. 역사
3. 해설
3.1. 조건부 확률
3.2. 베이즈 정리(조건부 확률)
3.3. 프로그래밍
4. 오해
4.1. 다른 문을 열어주는 건 의미가 없다?
4.2. 경우의 수 계산을 잘못함
4.3. 다른 문을 안 열어줘도 된다?
4.4. 본능적인 손실 회피 성향
5. 직관적 설명
5.1. 만일 문이 2개라면
5.2. 확률의 합은 1이다
5.3. 경우의 수 확인
5.4. 베이즈주의적 사고
5.5. '엄선'의 관점
5.6. 선택지 확장
5.7. 선택을 '묶음'으로 생각
5.8. 그럼에도 헷갈린다면
6. 비고전적 몬티 홀 문제들
6.1. 사회자가 정답을 모르는 상태에서 연다면?
6.2. 편견 있는 몬티
7. 비슷한 문제들
7.1. 야바위 문제
7.3. 카드 뽑기 문제
8. 여담
9. 대중매체에서의 등장
10. 관련 문서



1. 개요[편집]


Monty Hall problem

{{{#!wiki style="word-break: keep-all"

Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door #2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors?}}}

{{{#!wiki style="word-break: keep-all"

당신이 한 게임 쇼에서 3개의 문 중에 하나를 고를 수 있는 상황이라고 가정하자. 한 문 뒤에는 자동차가, 다른 두 문 뒤에는 염소가 있다. 당신이 1번 문을 고르자, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 3번 문을 열어서 염소를 보여줬다. 그리고는 "2번 문으로 바꾸시겠습니까?"라고 물었다. 이 상황에서, 당신의 선택을 바꾸는 게 유리할까?}}}
몬티 홀(Monty Hall)이라는 캐나다-미국[1] TV 프로그램 사회자가 진행하던 미국 오락 프로그램 《Let's Make a Deal》에서 유래한 확률 문제. 위의 원문은 해당 칼럼에 실린 문제를 그대로 가져온 것이며, 상품의 종류 등의 디테일은 문제에 따라 조금씩 바뀌지만 당연히 수학적인 의미는 동일하다.

세부사항을 쳐내고 핵심적인 규칙만 말하자면 다음과 같다.
  • 닫혀 있는 문 3개가 있다.
  • 한 문 뒤에는 상품(=자동차)이 있고, 나머지 두 문은 꽝(=염소)이다.
  • 참가자는 이 3가지 문 중 하나를 골라야 상품을 얻을 수 있다.
  • 참가자가 문 하나를 고르면, 이미 상품이 어딨는지 알고 있는 사회자는 남은 2가지 문 중에 하나를 열고 그게 '꽝'이라는 사실을 밝힌다.
  • 여기서 참가자에게 다른 문으로 바꿀 수 있는 기회가 주어진다.

정답은 바로 선택을 바꾸는 것이 훨씬 이득이라는 것. 처음에 고르자마자 정답일 확률은 당연히 1/3이지만, 사회자의 권유에 따라 ('꽝'을 확인하고서) 다른 문으로 선택을 바꿨을 때 정답일 확률은 두 배나 높은 2/3이 되기 때문이다.

대부분 사람들은 직관적으로 선택을 바꾸든 바꾸지 않든 확률은 똑같이 1/2일 것이라고 생각한다. 이후 해답을 보고 '논리적으로' 이해는 했음에도 여전히 직관적으로는 왜 50%의 확률이 아닌지 쉽게 납득하지 못하는 경우도 많을 정도로 인간의 직감과 논리는 많이 동떨어져 있다는 걸 보여주는 예시이기도 하다.[2]

수학적으로 엄밀하게 풀려면 다음과 같은 전제가 가정된다. (이 가정을 변경하는 문제는 비고전적인 몬티 홀 문제가 된다.)
  • 사회자는 자동차가 어느 문 뒤에 있는지 알고 있다: 실제 게임 룰에서 자연스레 추론되는 부분으로, 사회자가 실수로 자동차가 있는 문을 열어버리면 바로 방송사고이기 때문이다.
    • 이 전제가 달라지면 문제의 답이 완전히 달라진다. 만약 사회자가 자동차가 어디에 있는지 모르는 상태로 문을 열었는데 염소가 나온 상황이라면, 참가자가 원래 선택지를 고수하나 선택을 바꾸나 자동차를 얻을 확률은 1/2로 동일해진다. 하술한 사회자가 문 너머를 인지 못한 채 연다면? 문단 참고
  • 사회자는 추가적으로 문을 열어줘야만 한다: 사회자는 참여자가 연 문 외의 빈 문을 무조건 열어주어야 하며 이를 선택할 수 없다. 만약 문을 열어줄지 말지 여부를 사회자 재량으로 선택할 수 있다면 확률 변화를 이용한 심리 트릭이 되어버린다. 아래 다른 문을 안 열어줘도 된다? 참고.
  • 사회자는 염소가 들어 있는 문을 임의로 선택한다: 만약 도전자가 처음에 선택한 1번 문이 자동차가 있는 문이라면, 사회자는 염소가 들어 있는 2번, 3번 문 중 하나를 아무거나 열 수 있는데, 이때 무조건 편향 없이 두 문 중 하나를 무작위로 열어야 한다.
    • 사회자가 두 문중 한 문을 더 선호한다는 정보가 알려지면, 참가자는 이를 바탕으로 자동차의 위치를 추론할 수 있게 되기 때문이다. 하술한 편견 있는 몬티 문단 참고.


2. 역사[편집]


조건부 확률을 다루는 문제 중에서 가장 유명해서 구글에 몬티 홀이라고 검색해도 사람 대신 문제가 먼저 나올 정도이다. 최초로 수학 문제로서 제시된 것은 1975년이고, 메릴린 보스 사반트[3]가 1990년에 《퍼레이드》라는 잡지의 독자의 질문을 해결해주는 칼럼 '사반트에게 물어보세요'에서 이 문제를 다루면서 유명해졌다.

보스 사반트의 답변은 다음과 같았다.

Yes, you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, but the second door has a 2/3 chance. Here's a good way to visualize what happened. Suppose there are a million doors, and you pick door No. 1. Then the host, who knows what's behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door No. 777,777. You'd switch to that door pretty fast, wouldn't you?

네, 바꿔야 합니다. 첫 번째 선택에서 당첨될 확률은 1/3이지만, 2번째 선택에서 당첨될 확률은 2/3이기 때문입니다. 알아보기 쉽게 알려드리죠. 문이 100만 개 있는 상황에서 1번째 문을 고른다고 가정합시다. 그러면 사회자는 문 뒤에 뭐가 있는지 알고 있으니, 항상 정답인 777,777번째 문만 빼고 다른 문을 모조리 열어주겠죠. 당신이라면 얼른 그 문으로 선택을 바꾸지 않겠어요?


이해하기 쉬운 간단한 문제이지만 결과는 직관을 전면적으로 부정해 버린다는 점, 그리고 증명은 아무리 들어도 좀처럼 쉽게 납득하기 힘들다는 점이 조합되어 수많은 사람들에게 충격을 주었다. 자기가 틀렸다는 걸 받아들이지 못한 사람들이 보스 사반트에게 항의와 반론, 인신공격의 편지를 보낸 것이 만 통인데, 그 중 약 천 통은 수학이나 공학에서 박사학위를 가진 사람들이 보낸 것이었다. # 그 와중에도 보스 사반트는 수많은 항의 편지에 기죽지 않고 "수학의 정답은 투표로 정해지는 게 아니에요"라며 강골차게 어그로를 끌어댔고, 이러한 실랑이를 거치면서 몬티 홀 문제는 아주 유명한 문제가 되었다.

20세기 최고의 전설적인 수학자 중 하나로 여겨지는 폴 에르되시도 선택을 바꾸든 아니든 확률은 같다고 생각했고, 컴퓨터로 실험해본 뒤에야 바꾸는 것이 유리한 선택임을 인정했다고 한다.

답이 2/3인 것으로 판명이 난 이후에도 악마 몬티(Monty from Hell), 천사 몬티(Angelic Monty), 편견 있는 몬티[4]와 같이 사회자의 마음가짐에 조건을 추가하거나 몬티 홀 문제를 게임 이론과 접목시켜 새로운 형태로 만들어내는 등 기존 문제에 대해 다양한 파생 문제들이 만들어지기도 했다. 이에 대해 본 문서에서는 기존의 "고전적인 몬티 홀 문제"를 중심으로 다루고 있다. 전문적인 문제의 정의와 풀이, 이를 이용한 변형 문제 등과 관련해서는 이 논문 혹은 영문 위키피디아를 참고바란다.


3. 해설[편집]



3.1. 조건부 확률[편집]


조건부 확률이 적용되기 때문이다. "사회자는 내가 고른 문을 열지 않는다", "사회자는 자동차와 염소가 어떤 문에 있는지 알고 있다"는 전제조건과, 이에 따라 "사회자가 자동차가 있는 문을 여는 일은 절대 발생하지 않는다"는 종속조건이 실제 확률에 영향을 미치기 때문이다. 즉, 이 문제에서 사회자가 염소 문을 하나 열었을 때 선택한 문을 바꾸는 행위는 염소 확률과 자동차 확률을 뒤바꾸게 된다. 사회자가 문을 열지 않은 처음 선택에서는 염소를 고를 확률이 더 높기 때문에, 몬티 홀 딜레마에서는 선택을 바꿔야 더 차를 얻을 확률이 높아진다.

만약 당신이 무조건 결정을 바꾼다고 결심을 하고 처음에 염소를 골랐는데 결심대로 결정을 바꾼다면 차를 얻지만, 당신이 처음에 차를 골랐는데 결정을 바꾼다면 당신은 염소를 얻는다. 처음에 염소를 고르고 바꾸면 차를 얻고 차를 고르고 바꾸면 염소를 얻는 것이다. 결정을 바꾼다는 전제하에 2/3 확률로 염소를 고르면 차를 얻으니까 처음 염소를 뽑을 확률이 높으니 무조건 바꿔야한다! 결정을 바꾸지 않는다면 당신은 맨 처음 차를 뽑았을 확률인 1/3을 그대로 들고 가는 것이기 때문에 더 손해를 보게 된다.

몬티 홀 딜레마에서 가장 중요하게 생각해야 하는 것은, 이때의 확률은 문을 바꿨을 경우 vs 문을 안 바꿨을 경우이다. 애초에 처음부터 하나의 문이 열려 있고 나머지 둘 중 하나를 선택해야 하는 것이라면, 열린 문은 애초에 선택지로 고려하지 않으므로 확률은 50%가 맞다. 즉 양자택일의 행위가 아닌, 문을 바꾸는 행위[5]에서 파생되는 확률이 66.6%이므로 둘은 엄연히 다르다. 이 미묘한 차이를 직관적으로 이해하기가 힘들기 때문에 착오가 벌어지는 것이라고 이해해야 한다. 즉, 확률의 조건이 되는 사건 두 개(첫번째 선택과 두 번째 선택)가 얽히느냐, 얽히지 않느냐에 따라 확률이 변동한다.

직관적으로 이해하기에 양자택일과 문을 바꾸는 행위간의 확률에 차이가 있다는 것이 이해가 쉽지 않다. 다른 것은 놔두고 문을 선택한다는 '사실'만 두고 보면 두 행위는 같은 것이기 때문이다. 때문에 확률도 동일하다고 착각하기가 쉽다.

정리하면 다음과 같다.

1. 나는 문을 무조건 바꾼다
  1. 처음에 염소가 있는 문을 선택할 확률 = 2/3
- 사회자는 무조건 염소가 있는 문을 선택해서 열 수밖에 없다 = 1/1
- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 = 1/1
- 2/3 * 1/1 * 1/1 = 2/3
ii. 처음에 자동차가 있는 문을 선택할 확률 = 1/3
a) 사회자가 염소가 있는 문 중 첫번째 것을 선택할 확률 = 1/2
- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 1/3 * 1/2 * 0/1 = 0/6

b) 사회자가 염소가 있는 문 중 두번째 것을 선택할 확률 = 1/2
- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 1/3 * 1/2 * 0/1 = 0/6
- 0/6 + 0/6 = 0/6
- 2/3 + 0/6 = 2/3

하여, 내가 문을 무조건 바꿀 때 자동차를 선택할 확률은 2/3이 된다.

2. 나는 문을 무조건 바꾸지 않는다.
  1. 처음에 염소가 있는 문을 선택할 확률 = 2/3
- 사회자는 무조건 염소가 있는 문을 선택해서 열 수밖에 없다 = 1/1
- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 2/3 * 1/1 * 0/1 = 0/3
ii. 처음에 자동차가 있는 문을 선택할 확률 = 1/3
a) 사회자가 염소가 있는 문 중 첫번째 것을 선택할 확률 = 1/2
- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 1/1
- 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/6

b) 사회자가 염소가 있는 문 중 두번째 것을 선택할 확률 = 1/2
- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 1/1
- 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/6
- 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
- 0/3 + 1/3 = 1/3

하여, 내가 문을 무조건 바꾸지 않을 때 자동차를 선택할 확률은 1/3이 된다. 쉽게 말하자면 문을 잘못 골랐을 확률이 2/3이기 때문에 문을 바꿨을 때 당첨될 확률도 2/3인 것이다.


3.2. 베이즈 정리(조건부 확률)[편집]


베이즈 정리를 이용하여 확률론적으로 설명할 수도 있다.

참가자가 고른 문을 A, 나머지 두 문을 B와 C라고 하고, "사회자가 A 문 제외의 문을 열어주고 염소가 있음을 보여주는 사건"을 D라고 하자.
우리가 구하고자하는 것은 사건 D가 일어난 상태에서 A 문에 자동차가 있는 사건(이하 사건 A)의 조건부 확률, 즉 <math>\displaystyle P(A|D)</math>이다. 이제 베이즈 정리에 따라 해당 사건의 역사건, 즉 어떤 문 X 안에 자동차가 있을 때 사회자가 C 문을 여는 사건(D|X)을 생각해보자.

사회자는 A 문을 열 수 없고 B, C 중 하나만을 고를 수 있으며, 염소가 있는 문을 열어줘야 한다는 목적이 있는 상태이므로 각각의 확률은 이하와 같다.
  • 만약 자동차가 A에 있다면 사회자는 B와 C문 중 하나를 골라 열어줄 것이다. 2가지 선택지 중 하나를 무작위로 고르는 확률이므로 \displaystyle P(D|A) = {1 \over 2}.
  • 만약 자동차가 B에 있다면 사회자는 A, B문을 열 수 없으므로 C문을 열 수밖에 없다. 즉 \displaystyle P(D|B) = 1.
  • 만약 자동차가 C에 있다면 사회자가 C문을 여는 일은 일어날 수 없다. 즉 \displaystyle P(D|C) = 0.

베이즈 정리에 의해 어떤 조건부 사건이 일어날 확률은 모든 역사건의 가짓수 중 해당 사건의 역사건이 일어날 확률과 같다. 따라서

<math>\displaystyle P(A|D) = {P(D|A) \over P(D|A) + P(D|B) + P(D|C)} = {0.5 \over 0.5 + 1 + 0} = {1 \over 3}</math>
<math>\displaystyle P(B|D) = {P(D|B) \over P(D|A) + P(D|B) + P(D|C)} = {1 \over 0.5 + 1 + 0} = {2 \over 3}</math>

가 되어 B에 차가 있을 확률이 2배 더 높다.


3.3. 프로그래밍[편집]


[ 펼치기 · 접기 ]
public class MontyHallProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int normal_win_rate=0; // 바꾸지 않아서 이긴 횟수
        int normal_lose_rate=0; // 바꾸지 않아서 진 횟수
        int change_win_rate=0; // 바꿔서 이긴 횟수
        int change_lose_rate=0; // 바꿔서 진 횟수

        for(int i=0;i<100000;i++){ // 총 10만 번 반복한다.
            int reward = (int)(Math.random()*3+1); // 주최자는 1~3중 정답을 하나 숨김
            int answer = (int)(Math.random()*3+1); // 참가자는 1~3중 하나를 고름

            /*이때 주최자는 염소를 고른 뒤 참가자에게 바꿀지 말지 제안한다.*/
            
            //주최자는 참가자의 답과 보상이 아닌 것을 택함
            int val = (int)(Math.random()*3+1);
            while(reward == val || answer == val){
                val = (int)(Math.random()*3+1);
            }

            //바꾸지 않았을 시
            if(reward == answer) normal_win_rate++; //바꾸지 않아서 이겼을 경우 1승 추가
            else normal_lose_rate++; //바꾸지 않아서 졌을 경우 1패 추가

            //바꿨을 시
            int change = (int)(Math.random()*3+1);
            while(val == change || answer == change){ //이때 참가자는 바꾸기로 결정
                change = (int)(Math.random()*3+1);
            }
            if(reward == change) change_win_rate++; //바꿔서 이겼을 경우 1승 추가
            else change_lose_rate++; //바꿔서 졌을 경우 1패 추가
        }

        System.out.println("normal_win_rate : "+normal_win_rate); // 바꾸지 않아서 이긴 횟수 출력
        System.out.println("normal_lose_rate : "+normal_lose_rate); // 바꾸지 않아서 진 횟수 출력
        long normal_rate = (normal_win_rate*100)/(normal_win_rate+normal_lose_rate); //확률계산
        System.out.println("rate : "+normal_rate+"%"); //바꾸지 않아서 이길 확률
        System.out.println();

        System.out.println("change_win_rate : "+change_win_rate); // 바꿔서 이긴 횟수 출력
        System.out.println("change_lose_rate : "+change_lose_rate); // 바꿔서 진 횟수 출력
        long change_rate = (change_win_rate*100)/(change_win_rate+change_lose_rate); //확률계산
        System.out.println("rate : "+change_rate+"%"); //바꿔서 이길 확률
    }
}

출력 결과

normal_win_rate : 33540

normal_lose_rate : 66460

rate : 33%

change_win_rate : 66460

change_lose_rate : 33540

rate : 66%


[ 펼치기 · 접기 ]
<?php

$normal_win_count = 0; // 바꾸지 않고 이긴 횟수
$normal_lose_count = 0; // 바꾸지 않고 진 횟수
$change_win_count = 0; // 바꿔서 이긴 횟수
$change_lose_count = 0; // 바꿔서 진 횟수

for ($i = 0; $i < 100000; $i++) { // 총 10만 번 반복한다.
    $reward = rand(1, 3); // 주최자는 1~3중 정답을 하나 숨김
    $answer = rand(1, 3); // 참가자는 1~3중 하나를 고름

    /*이때 주최자는 염소를 고른 뒤 참가자에게 바꿀지 말지 제안한다.*/

    //주최자는 참가자의 답과 보상이 아닌 것을 택함
    $val = rand(1, 3);
    while ($reward == $val || $answer == $val) {
        $val = rand(1, 3);
    }

    //바꾸지 않았을 때
    if ($reward == $answer) $normal_win_count++; //바꾸지 않고 이겼을 경우 1승 추가
    else $normal_lose_count++; //바꾸지 않고 졌을 경우 1패 추가

    //바꿨을 때
    $change = rand(1, 3);
    while ($val == $change || $answer == $change) { //이때 참가자는 바꾸기로 결정
        $change = rand(1, 3);
    }
    if ($reward == $change) $change_win_count++; //바꿔서 이겼을 경우 1승 추가
    else $change_lose_count++; //바꿔서 졌을 경우 1패 추가
}


echo "바꾸지 않고 이긴 횟수 : {$normal_win_count} \n";
echo "바꾸지 않고 진 횟수 : {$normal_lose_count} \n";
$normal_rate = ($normal_win_count * 100) / ($normal_win_count + $normal_lose_count); //확률계산
echo "확률 : {$normal_rate} % \n"; //바꾸지 않고 이길 확률

echo "바꿔서 이긴 횟수: {$change_win_count} \n";
echo "바꿔서 진 횟수 : {$change_lose_count} \n";
$change_rate = ($change_win_count * 100) / ($change_win_count + $change_lose_count); //확률계산
echo "확률 : {$change_rate} %"; //바꿔서 이길 확률

출력 결과

바꾸지 않고 이긴 횟수: 33540

바꾸지 않고 진 횟수: 66460

확률 : 33%

바꿔서 이긴 횟수 : 66460

바꿔서 진 횟수 : 33540

확률 : 66%


출력 결과에서 알 수 있듯이 바꿨을 때 승률이 33%p 증가하는 것을 알 수 있다.

그 외에도 매우 많은 종류의 증명이 존재한다. 중심극한정리가 잘 적용되는 사례이기 때문에 수렴 속도도 빠르며, control variate 같은 기법을 사용하면 더더욱 빠르게 답을 구해볼 수 있다.


4. 오해[편집]



4.1. 다른 문을 열어주는 건 의미가 없다?[편집]


내가 최초에 한 선택과 무관하게 염소가 있는 문이 남아있기 때문에, "사회자는 어차피 남아있는 문을 재미를 위해 열어준 것에 불과하고, 남은 문은 무조건 염소 아니면 승용차일 테니 바꾸나 바꾸지 않으나 똑같다!"라고 생각하기 쉽다.

하지만 사실 사회자가 문을 열어주는 행위는 참가자에게 매우 유리한 행위이다. 이는 하술할 '직관적 설명' 문단 참고.


4.2. 경우의 수 계산을 잘못함[편집]


좀 더 진지하게 경우의 수를 따지는 사람들 중에서도 총 4가지 경우의 수 중 유리한 경우가 2가지이므로 확률은 50%다! 라고 생각하는 사람들이 많다.

무슨 뜻이냐면 만약에 3번에 자동차가 있다고 하면,
  • 1번을 골랐을 경우에는 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 2번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.
  • 2번을 골랐을 때도 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 1번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.
여기까지는 아무 문제가 없어 보인다. 그런데...
  • 3번 문을 골랐을 때는 사회자가 두 가지 선택을 할 수 있다.
    1. 1번 문을 열었을 때 남은 문이 2번이므로 바꾸면 불리하다.
    2. 2번 문을 열었을 때 남은 문이 1번이므로 바꾸면 불리하다.
  • 따라서 경우의 수는 넷인데 유리한 경우는 2가지이므로 확률은 1/2이다라는 것.

이 증명이 틀린 이유는, 3번문에서 파생되는 2가지 선택지 전체가 1번 선택지의 한가지 경우의 수, 2번 선택지의 한가지 경우의 수와 동등하기 때문이다. 1,1,1,1이 아니라 0.5, 0.5, 1, 1 이라고 생각해야한다.

이는 확률로 계산해보면 더욱 명확해진다. 위와 같은 경우, 즉 3번 문에 자동차가 들어 있는 상황이라고 할 때,
  • 1번 문을 고를 확률이 1/3.
  • 2번 문을 고를 확률이 1/3.
  • 3번 문을 고를 확률이 1/3인데,
    • 사회자가 1번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 × 1번 문을 열어줄 확률(1/3 × 1/2) = 1/6
    • 사회자가 2번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 × 2번 문을 열어줄 확률(1/3 × 1/2) = 1/6
이해가 가시는가? 만약 위의 증명이 맞다고 하면 참가자는 뭐에 홀린 듯이, 염소가 있는 문을 선택할 확률과 자동차를 선택할 확률이 같아야 한다. 즉, 염소가 있는 문을 고를 확률 1/4(× 2), 자동차가 있는 문을 고를 확률 1/2가 되어야 위의 증명이 성립한다고 할 수 있다.

요약하자면 사람들이 흔하게 하는 오류는 이런 것이다.
1번 선택 → 하나의 문이 열림 → 그 상태에서 가능한 경우의 수는 1번 선택 문에 정답이 있거나 오답이 있거나. → 2가지 경우의 수. → 확률의 수학적정의 해당경우/전체경우 → 0.5

대부분의 사람들이 생각한 0.5가 오류인 이유는 고등학교 교과과정에서 정의된 확률의 정의의 가정에 있다. 해당경우/전체경우를 확률로 정의할 때 분명히 앞에 "같은 확률로 일어나는 사건에 대해서"라는 가정이 있었다. 즉 2가지 경우 기존 선택이 옳은 경우와 바꾼 선택이 옳은 경우는 동등한 정도로 일어나지 않기 때문에 1/2로 계산하면 당연히 틀린다. 답부터 말하자면 두 경우가 1:2의 가중치를 가진다. 즉 바꾼 선택이 옳은 경우가 기존 선택이 옳은 경우에 비해 2배 더 잘 일어나고 그래서 3의 가중치 중 2의 가중치를 가진 바꾼 선택이 2/3 확률로 유리하게 된다.

왜 이렇게 되는지 살펴보자. 주어진 상황은 오로지 내가 뭔가를 선택했고 남은 두 문 중에 오답 하나가 열렸다는 것이다. 이 상황에서 생각할 수 있는 모든 경우의 수를 생각해보자. 편의상 3번에 정답이 있는 경우에 대해 생각해보면, 지금 일어난 상황은 (내가 선택한 문, 몬티 홀이 열어준 문)의 순서쌍으로 도식화할 수 있다. 즉, (1, 2) (2, 1) (3, 1) (3, 2) 이 4개 중에 하나가 일어났음이 틀림이 없다. 여기서 각 순서쌍의 확률은
(1, 2): 1/3×1
(2, 1): 1/3×1
(3, 1): 1/3×1/2
(3, 2): 1/3×1/2
보이는가? (1, 2)가 일어날 정도와 (3, 1)이 일어날 정도는 같지 않다. 여기서 수많은 사람들이 낚이고 제대로 설명 못한다. 가중치로 설명하자면, (1, 2)와 (2, 1)은 2 정도로 일어나고 (3, 1) (3, 2)는 1 정도로 일어난다. 이 상태에서 (1, 2) (2, 1) 즉 4의 비중에선 바꾸는 것이 정답으로 이어지고 (3, 1)(3, 2) 2의 비중에서는 고수하는 것이 정답으로 이어진다. 그렇기 때문에 바꾸는 것이 4/6의 정답률을 가져다주므로 유리하다.


4.3. 다른 문을 안 열어줘도 된다?[편집]


파일:몬티홀_우왁굳.png

몬티 홀 문제의 룰을 오해하는 경우도 있다. 사회자가 염소가 있는 문을 보여주는 행동을 '선택(즉 거부)'할 수 있다고 오해하는 것. 즉 이번에는 염소가 있는 문을 보여줬지만, 안 보여주는 선택지도 있었다고 오해하는 것이다. 따라서 사회자가 나에게 문을 보여주는 행위에 나를 오답으로 유도하려는 의도가 있으므로 안 바꾸는 게 낫다는 사고방식. 하지만 고전적인 몬티 홀 문제에서는 사회자가 참가자의 선택에 상관없이 염소가 있는 문 하나를 의무적으로 열어서 보여줘야 한다. 즉, 문을 여는 행위로 인해 참여자의 성공 확률이 변하든 말든 사회자는 그것을 반영해서 문을 열지 말지 선택을 할 권한이 없다. 이 여부를 사회자가 선택할 수 있게 되어버리면 참여자의 성공 확률 변화를 고려해 사회자가 참여자에게 심리 트릭을 걸 수 있는 상황이 되어버린다.[6]

몬티 홀 문제에 대해 전혀 모르는 사람에게 가상으로 몬티 홀 게임을 해 보는 방식으로 설명을 하다 보면 발생할 수 있다. 현실의 퀴즈 쇼에서는 확률이 안 좋은 방향으로 사회자가 유도하여 참여자를 후회시키는 전개가 종종 발생하기 때문에 이렇게 생각하기 쉽다. 생각보다 오해하기 쉬운 선택지인데, 본 문제에서 사회자는 "답(당첨 문)을 완전히 알고 있음"이라는 전지적 특성과는 달리 "게임의 조건을 맘대로 바꿀 수 없음"이라는 특성이 있어 전능하진 않기 때문이다. 현실 퀴즈 쇼의 사회자는 답을 알고 있으면서(전지) 게임의 틀을 마음대로 바꿀 수 있으므로(전능) 이 문제에서도 그럴 것이라고 생각하기 쉽다. 답을 다 알고 있으면서 사회자에게 불리한 (참여자의 당첨 확률을 올리는) 방식으로 게임의 룰을 바꿔야만 한다는 제약이 현실 퀴즈 쇼와는 매우 달라 선뜻 상상이 되지 않는 것이다.

4.4. 본능적인 손실 회피 성향[편집]


실제 확률과는 별도로 현실에서 비슷한 일이 생기는 경우, 대부분의 사람들은 그냥 원래 선택을 유지하는 경우가 많다. 심리학적으로 사람은 이득보다 손해에 민감하게 반응하므로 괜히 바꿨다가 원래 선택한 문에 승용차가 있었으면 정말 억울하기 때문이다.[7] 답안지 고쳐서 맞을 때가 더 많았어도 고쳐서 틀리면 더 기억에 잘 남는 것과 같은 원리이다.


5. 직관적 설명[편집]


몬티홀 문제 자체가 인간의 수학적 직관에 반하는 부분이 있기 때문에 유명해진 것이라서, 당연히 위의 수학적인 증명을 보고도 아직 직관적으로 납득하지 못해 찝찝한 기분을 가지는 사람들이 대부분일 것이다. 따라서 그런 사람들을 위한 여러 직관적인 설명법이 개발되어 있다.


5.1. 만일 문이 2개라면[편집]


당첨확률은 50%이지만 꽝인 문을 열어주었을 때 다른 한쪽이 당첨일 확률은 100%이다. 문을 열어주는 행위가 분명 확률에 개입한 것.


5.2. 확률의 합은 1이다[편집]


많은 사람들의 평범한 직관에 따르면 몬티홀 문제는 이렇게 전개된다.
  • 첫 선택에서는 어차피 뭐가 정답이고 뭐가 꽝인지 모르기 때문에, 정답일 확률은 1/3이다.
  • 이후 사회자가 꽝 중에 하나를 공개하면 남은 문은 2개이므로, 선택하지 않아서 남은 문은 정답일 확률이 1/2이다. 1/2이더라도 바꾸는 게 유리하다는 건 일단 넘어가자

여기서 문제가 발생한다. 확률의 총합은 1이 되어야 하는데, 직관대로 흘러가면 총합이 (1/3 + 1/2 =) 5/6밖에 안 된다. 맨 처음 자신이 선택한 문이 정답일 확률은 변할 리가 없기 때문에, 변해야 하는 것은 남은 문이 정답일 확률이다. 따라서 문을 바꾸었을 때 정답일 확률이 2/3으로 올라가야 한다.


5.3. 경우의 수 확인[편집]


파일:Monty_Hall_a.gif
위 사진은 '정답이 아닌 것이 공개된 후 반드시 선택을 바꾼다'는 전제하에 가능한 경우의 수들이다.

그 결과를 보면 알겠지만, '맨 처음 정답을 선택했을 시'(선택1)에는 최종적으로는 꽝을 선택하게 된다. 하지만 '맨 처음 꽝을 선택했을 시'(선택2, 3)에는 최종적으로는 정답을 선택하게 된다. 즉 아이러니하게도 반드시 선택을 바꾼다는 전제하에는, 처음에 꽝을 골라야만 최종적으로 정답을 선택하게 된다. 그리고 이 때 처음에 꽝을 고를 확률은 2/3다.

반대로 선택을 바꾸지 않는 경우엔, 처음부터 정답을 골라야 한다는 걸 알 수 있다. 이 경우의 확률은 계산할 것도 없이 1/3.

결론은 '선택을 무조건 바꾸기로 했을 때는 처음에 꽝을 골라야 하며, 선택을 무조건 바꾸지 않기로 했을 때는 처음에 정답을 골라야 한다. 전자의 확률은 2/3, 후자의 확률은 1/3이니 선택을 무조건 바꾸는 쪽이 더 유리하다.'


5.4. 베이즈주의적 사고[편집]


베이즈 정리와는 엄밀하게 말해서 다르지만, 베이즈 정리로부터 출발하는 베이즈 통계학(Bayesian statistics)의 관점에서 이를 직관적으로 표현할 수도 있다.

즉, 세 개의 문 뒤에 있는 것이 자동차인지 염소인지 전혀 모르는 상황보다는, 적어도 특정한 한 개의 문 뒤에 있는 것이 염소임을 확실히 알게 된 상황이 보다 많은 사후적 정보를 얻은 경우이므로, 자신의 선택 또한 업데이트해야 한다는 논리이다.

실제로 몇몇 사람들은 "사회자가 꽝을 공개한 순간, 내가 처음에 선택한 문이 정답일 확률은 1/2이 된 것이다."라고 생각한다. 즉 사회자가 열어준 문은 '꽝'이니까 의미없다고 생각하여 무작정 배제한 것이다. 하지만 이는 첫 선택에서의 확률은 사회자가 열어주기 전의 문도 포함해서 계산한 것이다는 사실을 잊어버렸으므로 오류이다.

또한 '운 좋게 자동차를 고를 확률이 1/3인데 왜 선택을 바꿔야 하지?'라고 생각하기 쉬운데, 이 역시 참가자가 고른 문은 사회자가 열어주지 않으므로 당첨인지 확인할 수 없다는 사실을 망각한 것이다. 당첨 여부는 두 번째 선택을 마치고 나서야 확인할 수 있다. "내가 고른 문을 열 수 없는 상황에서, 남은 두 문 중 하나를 확인시켜 줬으니 남은 문을 여는 게 더 이득"이라고 생각하면 쉽다.


5.5. '엄선'의 관점[편집]


당신은 3명의 레슬링 선수 중 한 명을 무작위로 선택하여 시합에 내보낸다. 사회자는 당신이 선택하지 않은 2명의 선수에게 실력 검증을 실시하여 시합 능력이 더 뛰어난 선수를 남기고 다른 선수를 탈락시킨다. 그런 다음 당신에게 선택을 바꿀 기회를 준다. 당신은 당신이 무작위로 선택한 선수를 신용할 것인가? 사회자가 엄선한 선수로 선택을 바꿀 것인가?

소설 <비데리 논 에쎄: 무한대로의 모험>에 나온 비유다.

여기서 키워드는 "엄선"이란 표현에 있다. 엄선했다는 것은 사회자가 무작위로 고르지 않았음을, 즉 자동차가 있는 문은 절대 열지 않음을 뜻한다. 따라서 사회자는 남은 2개의 문 중에서 자동차가 있는 문을 피해서(=염소가 있는 문을 골라서) 문을 열어주는, 즉 굳이 2/3의 선택으로 만들어주는 아주 고마운 짓(=엄선 과정)을 당신에게 해 준 것이다! 이를 토대로 위의 인용을 다시 읽어보면 "문(레슬링 선수)을 선택하는 상황에서, 염소가 든 문을 열어준다(실력 검정으로 한 선수를 탈락시킨다)"로 몬티홀과 똑같은 구조이며, 사회자가 일부러 열지 않은 문(당첨)은 엄선한 선수에 해당한다는 사실을 알 수 있다.

물론 사회자가 고마운 짓을 해 줬다는 논리는 당신이 처음에 고른 문에 자동차가 있을 경우엔 완전히 무용지물이 된다. 그럴 경우 사회자는 염소가 있는 2개의 문 가운데서 아무거나 골라서 열어준 것에 불과하기 때문이다. 그러나 이미 알다시피, 당신이 처음 고른 문에 자동차가 있을 확률은 3분의 1밖에 되지 않는다. 즉 위 논리가 살아남아 적용될 확률이 3분의 2이며, 그렇기 때문에 선택을 바꿨을 경우 그 문에 자동차가 있을 확률이 3분의 2인 것이다.

다시 레슬링 선수 비유로 돌아와서 말하자면, 3명의 선수 중 가장 강한 한 선수가 있다고 할 때 그 선수가 당신이 처음 고른 선수일 확률은 3분의 1밖에 되지 않는다. 즉, 가장 강한 선수는 아마도 당신이 고르지 않은 두 선수 중 한 명일 텐데, 마침 사회자가 고맙게도 두 선수 중 더 강한 한 명을 남겨준 것이다. 그러니 당신은 그냥 땡큐를 외치며 선택을 바꾸면 된다.

문을 바꾸지 않으면 당신은 1/3 확률의 선택을 한 것이고, 문을 바꾸는 순간 당신은 두 번 선택을 한 것이라는 설명도 있는데 이 설명도 엄선의 원리를 암시하고 있다. 몬티홀 문제의 상황은 그냥 사회자가 나에게 문을 한 번 열어보라 하고 그게 꽝이었을 때 나머지 두 개 중에서 한 번 더 선택할 기회를 주는 것과 똑같다. 사회자가 나 대신 꽝을 한번 걸러준(=엄선해준) 것이다.


5.6. 선택지 확장[편집]


파일:몬티홀 100 4.jpg
도박마 28권 302화, "직감과 논리" 中.
위의 설명을 이해한다 하더라도 왜 50:50이 되지 않는지 직관적으로는 와닿지 않을 것이다. 이럴 때는 문이 3개가 아니라 100개라고 생각하면 이해하기 편해진다. 이 문제를 유명하게 만든 일등공신인 보스 사반트가 설명할 때 사용했던 방법이기도 하다.[8]

문이 100개가 있으며 정답인 문은 1개 뿐이다. 자신이 맨 처음 100개 중 하나를 선택했을 때 그것이 정답일 확률은 당연히 1/100. 하지만 사회자가 자신이 선택하지 않은 99개의 문 중 98개의 문을 열어서 꽝임을 보여주고 1개의 문을 남겨두었다. 이래도 여전히 원래 선택을 고수하고 싶은가? 3개인 경우와 다르게 이번에는 뭔가 본능적으로 무모하다는 느낌이 들 것이다.[9]

문이 몇 개가 되든 몬티홀 문제의 핵심은 바로 단 2개의 문만을 마지막에 남겨둔다는 점이다. 따라서 마지막에 선택을 바꾸는 것은 '처음에 정답을 골랐다면 → 꽝'이고 '처음에 꽝을 골랐다면 → 정답'으로 정답/오답을 반전시키는 기능을 가진다. 이렇게 확률의 전가가 몬티홀 문제의 핵심이다.

여기서 이해한 논리를 고스란히 문 3개짜리 문제로 가져오면 된다. 문이 3개인 몬티홀 문제 역시 맨 처음 꽝을 고를 확률이 2/3므로 마지막에 선택을 바꿨을 때 정답일 확률도 2/3다.

문이 3개였을 때에는 1/3이었던 정답 확률을 2/3으로 바꾸실래요? 라고 묻는 것이고, 문이 100개였을 때는 1/100이었던 정답 확률을 99/100로 바꾸실래요? 라고 묻는 것이다.

문이 3개인 경우 사람들은 사회자가 개입을 하더라도 두 문에서 정답을 뽑을 확률이 동일하다거나, 더 심하게는 사회자가 개입한 순간 자신의 첫 번째 선택이 정답일 확률이 바뀐다는 착각에 쉽게 빠지지만 100개의 문으로 문제를 치환하면 그런 생각이 착각임을 직관적으로 깨달을 수 있다.

이러한 직관적인 개념이 계속 이해되지 않는다면 아예 모든 경우의 수를 따져보아도 선택을 바꾸는 것이 낫다는 것을 알 수 있다.


5.7. 선택을 '묶음'으로 생각[편집]


엄선과 선택지 늘리기의 아이디어를 다른 방식으로 설명해본 것이다.

계속 사람들이 50%라는 확률에 사로잡히게 되는 것은 사회자가 문을 한 번 열어주는 행위와 그 뒤의 선택이 서로 영향을 미치지 않는 독립시행이라는 생각을 버리지 못하기 때문이다. 사실은 사회자가 문을 하나 열어준 것을 포함해서 모든 행위를 하나로 생각해야 하는데 행위가 두 부분으로 나뉘다보니 둘을 별개로 여기게 되는 것.

예를 들어 일반적인 몬티 홀 문제처럼 3개의 문이 있다고 가정해보자. 본인이 정답일 가능성이 3분의 1 확률인 하나의 문을 고르고 난 다음 진행되는, 진행자가 염소가 있는 문을 열어 주는 행위내가 선택을 바꾸는 행위를 하나의 행위로 보면, 본인은 선택을 바꿈으로써 2개의 문을 동시에 여는 행위가 되니 정답일 확률이 3분의 2로 증가하게 되는 것이다. 위의 '문 100개 열기' 설명과 비슷한 방법으로 다시 설명하자면, 100개의 문이 닫혀 있을 때 내 선택이 정답일 확률은 100분의 1이지만 진행자가 남은 99개 중 98개의 꽝인 문을 열어주는 행위와 동시에 나의 선택을 바꾸면 나는 99개의 문을 동시에 여는 것이 된다. 그러므로 정답일 확률이 1%에서 99%로 증가하게 된다.

문의 개수를 더 늘려보자. 가령 9999조개의 문이 있다고 가정하자. 그렇다면 문제를 푸는 사람이 처음 선택한 문이 꽝일 확률은 약 99.9999999999999999%가 된다. 이 상황에서 어느 문이 당첨인 것인지 알고있는 사회자가 당첨을 제외한 나머지 모든 문을 열었다고 가정해보면 이해가 쉬울 것이다. 문제를 푸는사람이 우연히 9999조개의 문중에 선택한 하나의 문이 당첨일 확률과 정답을 이미 알고있는 사회자가 내가 기존에 선택한 한 개의 문을 제외한 다른 꽝인 모든 문을 개방한 뒤에 남은 나머지 하나의 문이 당첨일 확률 중 무엇이 더 높은 확률을 가질지는 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

다른 측면으로도 볼 수 있다. 3개 중 하나를 고르고 그것을 A그룹, 나머지 2개를 한 그룹으로 묶어서 2/3의 정답확률인 B그룹을 만들자. 그런데 사회자가 고맙게도 B그룹에서 꽝 1개를 공개해주었다. B그룹은 여전히 2/3확률이고 내가 고른 것은 여전히 1/3확률 뿐이다. 그러면 당연히 B그룹으로 이동(꽝으로 공개되지 않은 나머지 1개로 이동)하는게 유리하다.

만약 10개의 주머니가 있고 보석은 1개에만 들어있다. 첫번째 주머니를 A라 부르고, 나머지 2~10번째 주머니를 묶어서 B라고 하자. 사회자가 자신도 어디 있는지 모른다고 하더니 2개중 한 그룹을 고르라고 한다면 당연히 9개의 주머니 그룹을 고를것이다. 왜냐면 그 그룹은 9/10확률로 보석이 있고 A그룹은 주머니가 1개 뿐이라 1/10밖에 안된다. 그런데 사회자가 와서 정답표를 지금 보고 왔다면서 B그룹의 9개 주머니중 8개를 개봉하고 그것들이 전부 꽝임을 알려주었다. 그러면 B그룹중 개봉안한 주머니로 9/10 확률이 몰려있다고 생각하고 아무도 A그룹(1개의 주머니)으로 이동하지 않을것이다. B그룹에 있는 미개봉 주머니는 게임 시작 직전에 생각하던 1/10의 주머니가 아니다. 이미 8개의 꽝주머니가 희생(?)한 상황이라 혼자서 90% 확률을 가지고 있다는 뜻이다.


5.8. 그럼에도 헷갈린다면[편집]


확률 계산보다도 사람들이 가장 많이 헷갈려 하는 것 중 하나가 왜 이러한 차이가 생겼느냐이다. 이 차이를 명시적으로 설명하자면(본 예시는 문 3개를 기준으로 함):
  • 사회자가 처음부터 문 1개를 열어 남은 문 중 1개를 고를 때: 이 경우 열린 문은 쳐다볼 필요도 없으니 2개의 문 중 1개를 고르면 된다. 따라서 이견의 여지가 없이 50%이다.
  • 문 1개를 고른 뒤 사회자가 1개를 열어 변경이 가능할 때: 이 때는 사회자가 참가자가 선택한 문자동차가 있는 문을 열 수 없다. 참가자가 선택한 문이 자동차가 있는 문이라면 사회자는 전자의 상황처럼 2개 중 아무거나 고르면 되지만 만약 참가자가 자동차가 없는 문을 고르는 경우 선택지는 1개로 줄어든다.

예를 들면, 전자의 경우 사회자는 언제나 2개의 문 중 하나를 고를 수 있다. A, B, C 있고 C가 정답인 문이라면 언제든지 A 혹은 B 중에서 하나를 고를 수 있다.

하지만 후자의 경우 C 가 정답인 상황에서 참가자가 C를 고른다면 역시 A 혹은 B 중에서 하나를 골라야하지만 만약 참가자가 A 혹은 B를 골라버리면 사회자는 그 참가자의 선택에 따라 본인의 선택에 제약을 받게 된다. 참가자가 A를 고르면 본인은 B, 참가자가 B를 고른다면 본인은 A, 이런 식으로 말이다.

굳이 수학적으로 계산하지 않아도 된다. 전자의 상황의 경우 사회자의 선택에 아무런 제약이 없지만 후자의 상황의 경우 참가자의 선택에 따라 사회자의 선택에 제약이 생기는데, 이러한 변수가 반영돼 66.66666...% 라는 결과로 이어진 것이다.


6. 비고전적 몬티 홀 문제들[편집]



6.1. 사회자가 정답을 모르는 상태에서 연다면?[편집]


위의 베이즈 정리로 증명 문단에서 정의한 대로, 문 A,B,C 중 참가자가 A를 고른 상태고 D는 사회자가 C를 여는 사건이라 설정한다. 하지만 사회자는 앞서 다르게 문 너머가 무엇인지 인지 못한다. 그럼에도 어느 문이 당첨이든 간에 A를 제외한 두 가지 문 중의 하나는 반드시 열어야 하니, 조건부 확률은 모두 동일하다.

<math>\displaystyle P(D|A) = P(D|B) = P(D|C) = {1 \over 2} </math>

그러므로 베이즈 정리에 따른 식의 결과들도 모두 동일한 확률로 부여 받는다.

<math>\displaystyle P(A|D) = P(B|D) = P(C|D) = {1 \over 3} </math>

이러한 결과가 시사하는 바는, 우선 참가자가 사회자는 문 너머를 정확히 인지하며 문 연다는 사실을 반드시 인식해야 윗 문단의 내용들이 성립한다. 깊게 들어가자면, 사회자가 실수하지 않고 문 너머를 정확히 인지하며 문을 여는 동시에, 그러한 사실을 참가자가 인식한다는 조건까지 충족해야 2/3 확률이 성립한다. 반면 문 너머를 정확히 인지 못한 초짜 사회자가 실수로 당첨을 연다 하더라도, 참가자가 앞서 결정할 시 당첨될 확률은 고르게 1/3이다. 설령 운 좋게 꽝을 골랐더라도 참가자에게는 모든 경우의 수가 하나 줄어든 1/2이며, 여기서 초점은 초짜 사회자가 운 좋게 꽝을 골랐다는 사실을 인식하는 참가자다. 이러니 1/2이 나오는 확률은, 결국에 참가자가 사회자는 문 너머를 정확히 인지하며 문 연다는 사실을 인식하지 못한 채 당첨을 고를 확률과 동일하다.

그런데 만일, 사회자가 이제껏 잘 해오다가 어느 날 실수로 문 너머를 인지하지 못한 채 꽝을 열어버렸고, 그를 모르는 참가자가 사회자는 문 너머를 정확히 인지한다는 인식 하에 결정한 문이 당첨일 확률이 무엇이냐는 문제가 제기되면, 이러한 인식론적 차원의 문제는 잠자는 숲속의 미녀 문제로 넘어간다. 베이즈 정리에서 언급되는 인식론과 깊게 연관된다.


6.2. 편견 있는 몬티[편집]


{{{#!wiki style="word-break: keep-all"

The battle among wikipedia editors could be described as a battle between intuitionists versus formalists, or to use other words, between simplists versus conditionalists. The main question which is endlessly discussed is whether simple arguments for switching, which typically show that the unconditional probability that the switching gets the car is 2/3, may be considered rigorous and complete solutions of MHP. The opposing view is that vos Savant’s question is only properly answered by study of “the” conditional probability that the switching gets the car, given the initial choice of door by the player and door opened by the host. This more sophisticated approach requires making more assumptions, and that leads to the question whether those supplementary conditions are implicitly implied by vos Savant’s words.

영문 위키피디아[10] 편집자들[11] 간에 벌어진 분쟁은 직관론자들(과 형식론자들, 달리 말하자면 단순론자들과 조건론자들간의 다툼으로 묘사될 수 있다. 끊임없이 논의되었던 주제는 선택을 바꾸는데 있어서 무조건 바꾸는 것이 차를 2/3로 가질 수 있다고 말하는 것이 몬티 홀 문제에 대한 절대적인 답이 될 수 있는지의 여부이다. 반대측은 보스 사반트의 질문은 참여자가 문을 처음에 고르고 사회자가 문을 연 상황에서 선택을 바꿨을 때 차를 고르게 되는 조건부 확률에 대한 연구에 의해서만 답변되었다고 말한다. 이 더 정교해진 접근은 더 많은 가정을 만들 것을 요구했고, 이는 보충되는 조건들이 보스 사반트의 답변에서 파악될 수 있는지에 대한 의문으로 이끌었다.}}}

GILL, Richard D. The Monty Hall problem is not a probability puzzle (It's a challenge in mathematical modelling)#

논문에서도 나오는 말이지만 사반트가 답변해야 했던 것은 어디까지나 선택을 유지하는 것보다 바꾸는 것이 좋은가이지 "바꾸는 것에 대한 확률은 어떤가"에 대한 것이 아니므로, 몬티 홀 문제를 확률을 구하는 문제가 아니라 단지 선택을 유지하는 것보다 바꾸는 것이 좋은가에 대한 문제로 보면 다음과 같이 '몬티의 편향 정도'라는 변수를 추가적으로 고려한 풀이를 쓸 수도 있다. 물론 이런 식으로 변수를 추가하는 것은 하나의 예시에 불과하며 이러한 풀이만이 정답이라고 할 수는 없다.

수식 빼고 설명하자면, 예컨대 2번과 3번 문이 모두 염소일 때는 몬티가 2번 문을 더 선호한다고 하자. 만약 1번 문에 자동차가 있어서 2번과 3번이 모두 염소라면 몬티는 2번 문을 더 높은 확률로 열게 될 것이다. 하지만 1번 문이 염소라면 2번과 3번 문 중 하나만 염소이므로 몬티에게는 선택의 여지가 없고, 이 경우 2번 문과 3번 문은 염소가 있을 확률이 같으므로 몬티는 2번과 3번을 같은 1/2의 확률로 열게 될 것이다. 즉 1번에 자동차가 있으면 2번 문을 더 많이 열고 1번에 염소가 있으면 2번과 3번을 같은 확률로 열 것이므로, 몬티가 2번을 여는 경우 1번에 자동차가 있을 확률이 그만큼 높아진다.

그리고 몬티가 2번과 3번 중에서 무조건 2번만을 선택하는 극단적인 경우, 몬티가 2번 문을 열었을 때 1번에 자동차가 있을 확률이 1/2이며 3번을 열었을 때의 확률은 0이다. 따라서 편견 있는 몬티의 경우 1번에 자동차가 있을 확률은 0~1/2이며 선택을 바꾸었을 때의 확률은 2/3가 아니라 1/2~1이다.

참여자가 1번 문을 선택하면 다음과 같은 상황들이 나오게 된다.
  • 자동차가 1번 문에 들어 있을 경우(1/3),
    • 사회자가 2번 문을 연다.{1/3 × (1-q)}
    • 사회자가 3번 문을 연다.(1/3 × q)
  • 자동차가 2번 문에 들어 있을 경우 사회자는 3번 문을 연다.(1/3)
  • 자동차가 3번 문에 들어 있을 경우 사회자는 2번 문을 연다.(1/3)
문제에서 사회자는 이미 3번 문을 열었으므로, 사회자가 2번 문을 여는 경우는 제외된다.

자동차가 1번 문에 들어 있을 경우에 대한 확률이 1/3×q, 그리고 자동차가 3번 문에 들어 있을 확률이 1/3이며, 이에 따라 사회자가 3번 문을 연 상황에서의 조건부 확률을 계산해보면, 자동차가 2번 문에 있을 확률과 1번 문에 있을 확률을 포괄한 (1/3 + q/3), 여기서 선택을 바꾸면 1/3, 그리고 선택을 유지하면 q/3, 따라서 선택의 바꿀 경우의 확률은 상술한대로 <math>\frac{1/3}{1/3 + q/3}</math>이며, 정리하면 <math>\frac{1}{1+q}</math>이 된다. <math>\frac{1}{1+q}</math>은 q가 <math>0\leq q \leq 1</math>이므로 <math>\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+q} \leq 1</math>다.

이미 언급된 대로 이러한 풀이는 하나의 예시이며, 몬티 홀 문제에서 선택을 바꾸는 게 유리하다는 증명을 할 때에는 고전적인 몬티 홀 문제 풀이를 쓰는 게 더 좋다. 고전적인 몬티 홀 문제는 풀이 과정 중 임의성의 문제에서 일관된 전제를 하기 때문.[12]

물론 몬티의 선호도 q라는 변수를 공식에 반영하더라도 선택을 바꿀 경우의 전체 확률이 <math>\frac{2}{3}</math>라는 사실은 변하지 않는다.


7. 비슷한 문제들[편집]



7.1. 야바위 문제[편집]


마틴 가드너가 쓴 이야기 파라독스에서는 몬티 홀 문제와 비슷한 다른 문제가 실려 있다.

3개의 컵을 엎어놓고 그중에 동전이 들어있는 컵을 찾는 야바위 놀이에서 행인이 '승률이 1/3밖에 안되니 돈을 걸지 않겠다'고 하니 야바위꾼이 플레이어가 컵을 하나 고르면(=고르고 나서) 셋 중에 동전이 들어있지 않은 컵을 하나 열어 보여주겠다는 제안을 한다.

그러면 플레이어의 승률은 올라가는가? (물론 속임수는 없다고 가정한다.)


얼핏 생각해보면 컵 하나를 제거한 순간 남은 컵은 둘 뿐이니 돈을 딸 확률이 1/2로 증가하는 게 아닌가 하는 생각이 들기도 한다. 그러나 이 경우에는 몬티홀 문제와는 달리 플레이어에게 선택할 컵을 바꿀 기회를 주지 않는다. 그러니 이 룰을 추가하든 하지 않든 플레이어의 승률은 1/3 그대로 고정되고 확률이 바뀔 리 없다. 어찌 보면 이게 여담 문단에 언급된 실제 쇼에 더 가까운 형태다.


7.2. 아들 딸 문제[편집]


1. 자식이 두 명이다. 한 명 이상은 딸이다. 둘 다 딸일 확률은?

2. 자식이 두 명이다. 첫째는 딸이다. 나머지가 딸일 확률은?

직관을 배신하고 이 두 문제의 답이 다르다는 문제. 자세한 내용은 문서를 클릭해보자.

여담이지만 보스 사반트는 이 문제에 관해서도 정답을 말했지만 어그로를 잔뜩 끌고 대중들로부터 욕을 먹었다.


7.3. 카드 뽑기 문제[편집]


몬티 홀처럼 직관적으로 내린 결론이 실제 수학적 답과 다른 또다른 문제. 문제는 다음과 같다.[13]

조커를 뺀 52장의 트럼프 카드 뭉치에서 카드 한 장을 뽑아 확인하지 않고 바로 덮어두었다. 그리고 나머지 51장의 카드 중 무작위로 3장의 카드를 더 뽑았는데, 3장 모두 다이아였다.

이 때 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은?

일반적으로는 처음 카드를 뽑을 때를 기준으로 13/52=1/4이라고 생각하겠지만, 정답은 확인하지 않은 카드 중 다이아를 뽑을 확률과 같은 10/49이다.

후행사건의 결과에 의해서 선행사건의 확률이 바뀐다는 것이 일반적인 사고로는 납득되기 어려울 것이다. 이는 이후에 뽑은 3장의 다이아 카드가 무작위[14]로 뽑은 카드이기 때문으로, 정확한 확률 계산법은 다음과 다르다.

(뽑은 총 4장의 카드가 모두 다이아일 확률)/(이후에 뽑은 3장이 모두 다이아일 확률)=<math>\displaystyle{ \frac{1}{4}\times\binom{12}{3} \over \frac{1}{4}\times\binom{12}{3} + \frac{3}{4}\times\binom{13}{3}}=\frac{10}{49}</math>

문제를 더 간단하게 만들어보자. 원래 문제에서는 사후에 3장을 뽑은 것이 다이아였는데, 숫자를 바꿔서 만약 13장을 뽑았는데 13장 모두가 다이아였다고 해보자. 그럼 당연히 처음에 뽑은 카드가 다이아일리가 없지 않겠는가? (카드 더미엔 다이아가 13장 밖에 없다.) 후행사건의 결과에 의해서 선행사건의 확률이 바뀔 수 없다는 생각은 착각이라는 것을 쉽게 깨달을 수 있을 것이다.

이렇게 직관적인 결론과 수학적으로 풀이한 결론이 일치하지 않는 이유는 확률 문제는 정보가 주어지지 않은 사건들의 확률은 모두 독립적이고 동일하다고 '가정'을 하는데,[15] 살면서 이런 문제를 너무 많이 풀었기 때문이다. 이 가정이 정보가 주어지지 않은 사건들에게만 적용된다는 사실을 잊으면 추가적인 정보가 주어진 다음에도 계속 확률이 동일하다고 착각하는데, 여기서 모든 오류가 시작된다. 실제로는 한 사건과 관련이 있는 사건의 정보가 주어지면 해당 사건이 일어날 확률은 달라지게 된다. 다이아 카드 문제를 예시로 설명을 하자면, 원래 한 장을 뽑았을 때 다이아 카드를 뽑을 확률이 13/52인 이유는 "각각의 카드를 뽑을 확률은 모두 동일하다"라는 전제를 당연하게 가정하고 있기 때문이다. 그런데 뒤에 카드 3장을 뽑았는데 그 카드가 모두 다이아임으로 인해, "해당하는 3장의 다이아 카드를 뽑았을 확률은 0이다"라는 정보가 추가되어서 각각의 카드를 뽑을 확률이 더 이상 동일하지 않아졌다. 연관이 있는 후행 사건에 의해 선행 사건에 대한 정보가 추가로 주어졌기 때문에 선행 사건의 전제(=각각의 카드를 뽑을 확률은 모두 동일하다.)가 더 이상 맞지 않게 변했다.


8. 여담[편집]


이렇게 수학자들을 보기좋게 엿먹인 사반트였지만 이후 그녀가 발간한 '이 세상에서 제일 유명한 수학 문제'(1993)에서 앤드루 와일스가 증명한 페르마의 마지막 정리의 증명에 의문을 제기하거나,[16] 상대성 이론을 까댔기 때문에 유사과학으로 대중을 호도한다는 오해를 살 만 했다. 특히나 FLT에 대해서는 와일스의 첫 증명에서 오류를 발견한 것이 아니라, 수학적 귀납법, 귀류법, 허수에 대해서 제대로 이해하지 못하는 수알못적인 모습을 보였기에 더 많이 까였다.

이 문제의 어원이 된 몬티 홀이 진행한 쇼 《Let's Make a Deal》에서 실제로 이 문제가 나온 적은 없다고 한다. 어디까지나 이 쇼의 진행방식에서 착안해 만들어낸 수학 문제인 것이다. 쇼에서는 진행 도중 참가자에게 상금과 상품 중 무엇을 받을지 고르게 한다. 즉 상금을 가지고 거래(Deal)를 하는 것이다. 상금도 액수가 꽤 되지만, 상품은 잘만 하면 상금보다도 더 큰 값어치를 가진 물건을 얻을 수 있다. 하지만 그 상품이 뭔지는 받고 나서 공개되는데, 거기엔 'Zonks'라고 하는 함정 상품이 있을 수 있다. 고장난 폐차나 음식 더미, 살아있는 라마 등등이 그 예시다. 이걸 한 번 더 비틀어서, 쓰레기통을 주는 줄 알았더니 그 쓰레기통 안에 고급 모피 코트가 들어있기도 했다고 한다. 참고로 함정 상품도 법적으로는 받을 수는 있다만 실제로는 100달러의 위로금으로 대신 지급되었다고 한다.[17] 그리고 실제로 쇼의 막바지에는 1번부터 3번까지의 문 중 하나를 고르게 한다. 다만 이 때는 Zonks가 없는 듯, 세 문 모두 꽤나 액수가 큰 상품들이 들어있다. 그리고 실제로 선택되지 않은 문도 보여주긴 하는데, 선택이 끝나고 나서 보여주며 바꿀 기회를 주거나 하지도 않는다. 어디까지나 무엇을 놓쳤는지 한 번 보라고 보여주는 것 뿐이다.

비둘기한테도 몬티홀 문제를 풀게 한 사례도 있다. 인간과는 달리 비둘기는 빈 먹이통을 보면 처음 선택한 먹이통에서 선택을 변경하는 것으로 밝혀졌다.출처 논문 제목이 걸작인데 새들이 수학자보다 머리가 좋은가? 이다.


9. 대중매체에서의 등장[편집]


  • 정글고등학교에서 불사조, 권영빈, 김영수, 명왕성사다리타기로 음료수 내기를 하는데, 선택지가 3개 남은 상황에서 명왕성이 하나를 골랐다가 불사조가 사실 네가 고르지 않은 선택지 중 하나는 꽝이라고 하면서 선택을 바꿀 기회를 주자 다른 아이들은 불사조가 심리전을 건다고 생각해서 바꾸지 말라고 말렸지만, 명왕성은 위의 이론대로 선택을 바꿨고, 실제로 꽝을 피하고 당첨되는데 성공했다. 하지만 그 사다리타기에서는 당첨이 음료수를 사야 했고, 결국 명왕성은 매점에 가서 4명의 음료수를 사야 했다. 사실 생각해보면 몬티 홀 문제에서는 1개가 상품(=자동차), 2개가 꽝(=염소)이지만, 이 사다리타기에서는 1명이 음료수를 사야 하므로 1개가 당첨의 탈을 쓴 꽝이었고 2개가 꽝의 탈을 쓴 정답이었던 셈이다. 지식은 불사조에 버금가면서 상식적인 방향으로 머리가 안 돌아가는 명왕성의 특성이 돋보이는 에피소드다.
  • 괭이갈매기 울 적에 Ep8에서 조지제시카가 낸 퀴즈로 등장. "새로 알게된 사실에 따라 가지고 있는 진실이 변한다."는 말을 하려고 꺼낸 듯. 수학적으로 말하자면 주어진 정보가 달라질 때 어떤 사건이 일어날 확률은 달라질 수 있다는 것에 가깝다.
  • 이야기 시리즈 끝 이야기 상권에서 5년 전 오이쿠라 소다치아라라기 코요미에게 이 문제를 본딴 쪽지를 보냈다. 따지고 보면 아라라기가 수학에 관심을 가지게 된 계기가 된 문제.
  • 정재승의 과학 콘서트 책에서도 이를 언급했다.
  • 도전 골든벨 수학 골든벨 특집 33번 문제에서 출제되었다.
  • 도박마배틀십 편에서 오후나 가쿠히토가 선택한 행위를 설명하는 데 본 문제가 인용되었다. 위의 문 100개짜리 만화가 해당 장면으로, 그만큼 오후나가 직감을 믿었다고 강조한 것.정작 오후나는 직후 마음을 바꿨다는 게 함정
  • 드림 인베이더 둘째 날 문제에서 출제되었다.
  • D.P. 4화의 제목이자 중심 소재로 쓰였다.
  • 문제적 남자 34회에서 장진이 뽑은 미디어 속 뇌풀기 문제로 출제되었다.
  • 웹툰 셜록: 여왕폐하의 탐정 53화에서 셜록 홈즈의 덫으로 쓰였다. 그런데 이 작품에서는 몬티홀 문제를 잘못 다루고 있다. 작중에서 셜록 홈즈가 문 하나를 열어보이고 "앗, 여기는 꽝이군요." 라고 말했는데, 이미 꽝이라고 알고 있는 문을 하나 열어보인다는 조건이 아니고 하나를 열어봐서 꽝임을 발견한 경우라면 확률은 1/2이 된다. 단, 55화에서 밝혀진 바로는 염소 카드가 나올 수밖에 없는 속임수였고,꽝인 문을 열어보일 생각이면서 연기를 했다. 그 결과 문제의 수학적인 의의가 퇴색되고 사기극이 되었다.
  • 교학사와 미래앤 <확률과 통계> 교과서에 나와 있다.
  • 유키 히로시의 수학 교양소설 '수학 걸 4권 - 확률적 알고리즘(Randomized Algorithms)'의 주제가 바로 이 몬티 홀 문제와 NP-완전 문제다.
  • 넘버스 제1기 13화에서 주인공인 찰스 앱스 교수가 이에 대해 강의하는 모습이 잠깐 나온다.
  • 1990년대에 방영한 MBC 칭찬합시다의 한 코너에서 이 방식을 차용한 적이 있었다.
  • 악의 교전의 5권에서도 등장했다.
  • 게임 방송 유튜버 우왁굳이 생방송 중 이 문제에 대해 3시간 가량 토론하고 유튜브에도 업로드했다.[18] 영상 또한 VR챗으로 실제 실험을 하기도 했다.
  • 마인크래프트 유튜버 마인애플이 명령어로 몬티 홀 실험을 해 확률 증명을 하는 컨텐츠를 진행했다. 실험 10000번을 진행했는데 6633번(66.33%)의 성공 결과가 나왔다고 한다. 영상 이론상 성공 확률인 2/3에 매우 근사한 값이다.
  • 유튜버 Logical 로지컬도 마인크래프트 레드스톤 회로를 만들어 몬티홀 실험을 해서 확률 증명을 했다. 실험 결과 성공 216개 대 실패 93개로 약 2/3의 성공 확률이 나왔다고 한다.[19] 영상

10. 관련 문서[편집]




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[1] 출신지는 캐나다이지만 경력을 위해 1955년에 미국으로 이주했다.[2] 비슷한 예시로 추리수학만화 Q.E.D. 증명종료에 나온 "생일 문제"가 있다. "최소한 몇 명이 모여야 그 중에 생일이 같은 사람이 있을 확률이 50%를 넘을까?"가 그 내용인데, 정답은 상상보다 꽤 적은 23명.[3] 1986년~1989년판 기네스북에서 세계에서 가장 지능지수가 높았던 사람으로 기록된 여성이다.[4] 고전적인 전제와 달리 몬티 홀 문제에서 사회자가 염소가 든 문을 고를 때 선택을 임의적으로 한다고 가정하지 않는 문제다. 자세한 내용은 후술.[5] 정확히는 내가 하나의 문을 선택했지만 사회자가 꽝 문을 열어줬을 때, 내가 선택한 문을 열지 못해서 변동하는 확률이다.[6] 위 링크된 영화 "21"에서 교수가 "심리 트릭일 수도 있지 않나?" 하는 것이 이 맥락이다. 사실 영상에서는 교수가 문제를 설명할 때 "사회자가 문을 반드시 열어줘야 한다" 라고 명시하지 않았기 때문에(학생이 문을 고르자 그제서야 "그럼 사회자가 문을 연다면 어떡할까?" 라고 추가적인 상황을 제시한다), 사회자가 확률 변화를 노리고 충분히 심리 트릭을 걸 수 있는 상황인 것이 맞다.[7] 당장 긱블의 자매채널 '문과vs이과'의 시청자와 함께 검증하는 영상에서도, 선택을 고수했다가 틀린 시청자에게 "바꿔서 틀리면 더 억울하거든요."라고 위로삼아 말한다.[8] 보스 사반트는 통크게 100개가 아닌 100만개의 문을 가정했다.[9] 참고로 위에 인용된 도박마 장면에서 선택의 주인공은 부모님을 찾을 만큼 온갖 공포에 시달렸음에도 무모한 도박에 성공했다![10] 실제 토론 내용으로 보인다.[11] 논문에서는 Hogbin과 Nijdam이라고 밝혀놨다.[12] 증명에 있어서 논리 모델의 일관된 잣대는 필수적이다. 어느 경우에는 임의성을 전제하고 반대로 어느 경우에는 선호도라는 변수를 개입시키는 등 서로 상반된 잣대를 풀이 과정에 적용시킨다면 논리적 증명은 성립할 수 없게 된다.[13] 과거 와세다대학의 입학시험에 나왔던 문제로 알려져 있다.[14] 만약 뽑은 사람이 자기가 뽑을 카드가 다이아일 것을 미리 알았다면, 애시당초 '다이아몬드' 세 장을 첫 장 뒤에 놓았다는 것이 전제가 되므로 선행사건과 후행사건에 대한 착각이 벌어지지 않는다.[15] 이를 소설 비데리 논 에쎄에서는 '동확률추정의 원칙'이라고 한다.[16] 이 당시는 아직 증명의 오류가 밝혀지지 않은 때였다.[17] 원래 받을 수 있었던 상금의 액수는 매번 다른 듯 한데, 한 경우엔 어느 참가자가 400달러 대신 상품을 선택했더니 살아있는 당나귀가 나온 적이 있었다.[18] 다만 몬티 홀 문제가 역설은 아님에도 제목에 '몬티홀의 역설'이라고 적었다.[19] 216/309는 정확히 69.9% 정도이다.