라그랑주 정리(군론)
덤프버전 :
분류
1. 개요[편집]
군론(Group Theory)에서 라그랑주 정리(Lagrange Theorem)는 임의의 원소개수가 유한개인 군 [math(\lvert G\rvert)]의 위수는 그 부분군(subgroup) [math(\lvert H\rvert)]의 위수로 나뉘는 관계가 있다는것을 다루는 정리이다. 이로써 잉여류의 수를 조사할수있다. [1][2]
2. 잉여류(coset) 조사[편집]
원소의 개수가 유한한 군(群,Group)의 원소의 개수를 위수라고 정의했을때 다음과 같은 관계를 조사할수있다. [3][4][5][6]
[math({\Large{\lvert G\rvert}\over{\lvert H\rvert}} = \textrm{잉여류의 개수})]. 후술하겠지만 이는 지수(index)라고도 한다.
3. 증명[편집]
먼저 다음 명제를 증명하자.
여기서는 좌잉여류를 이용해서 증명한다. 우잉여류 역시 마찬가지 방법으로 증명이 가능하다.
두 집합의 원소의 개수가 같음을 증명하는 것은 두 집합 사이에 일대일 대응관계가 존재함을 보이는 것으로 충분하다.
즉, [math(\phi:H\rightarrow gH)]라는 함수를 정의하여, 이 함수 [math(\phi)]가 전단사임을 보이면 충분하다.
여기서 잉여류의 다음 성질을 이용한다.
증명은 간단하다. 귀류법을 이용하자.
군 [math(G)]의 모든 원소가 서로간에 서로소인 잉여류로 분할됨을 알 수 있다. 또한 이런 잉여류는 전부 같은 원소 개수를 가지게 된다.
즉, 잉여류로 분할된 세포(cell)[7] 의 개수[8] 를 [math(r)], [math(\lvert G \rvert = n)], [math(\lvert H \rvert = m)]이라고 하면 [math(n=rm)]이 되며, 이를 라그랑주 정리라고 한다.
4. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-24 23:04:12에 나무위키 라그랑주 정리(군론) 문서에서 가져왔습니다.
[1] Par M. De La Grange 1771. "Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs" (Series of reflections on the algebraic solution of equations. Third section. On the solution of equations of the fifth degree & higher degrees). Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin: 138–253. (Art.94 P200,Art.105 P222) Lagrange,Joseph-Louis https://books.google.co.kr/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA138&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false [2] 대수학원론 오일러(라그랑주 에디션 1822)영문 조지 룰렛 ( ELEMENTS OF ALGEBRA , EULER, LEONARD, ADDITIONS OF M. DE LA GRANGE Publication date 1822 (3RD EDITION) West Bengal Public Library Publisher GEORGE ROUTLE, LONDON Collection digitallibraryindia; JaiGyan Language English Source: West Bengal Public Library Network Source Identifier: handle/10689/15977) - SECTION IV CHAPTER XII (294pf632) 인터넷 아카이브- https://archive.org/details/dli.bengal.10689.15977 [3] A History of Lagrange's Theorem on Groups ,Richard L. Roth Pages 99-108 | Published online: 16 Apr 2018https://doi.org/10.1080/0025570X.2001.11953045 [4] Schaum's outline of theory and problems of group theory by Baumslag, Benjamin 1968 https://archive.org/details/theoryproblemsof0000unse/mode/2up[5] Groups of the Order p^m Which Contain Cyclic Subgroups of Order p^(m-3) by Neikirk, Lewis Irving https://www.gutenberg.org/ebooks/9930[6] Theory of Groups of Finite Order by William Burnsidehttps://www.gutenberg.org/ebooks/40395[7] 어떤 집합을 동치관계로 분할시켰을 때, 동치류를 묶은 집합을 세포(cell)라고 한다.[8] 상기했듯이 군 [math(G)]의 부분군 [math(H)]에 대한 잉여류의 개수를 따질 경우는 '[math(G)]에서의 [math(H)]의 지수(index)'라고도 한다.