중학교~
고등학교 수학문제로 자주 나오는 방정식 활용 유형 중 하나이다. 또한 기업 인
적성검사 시험에도 많이 등장한다. 서로 다른
농도와
양을 지닌
용액을 합쳤을 때 농도가 어떻게 되느냐는 유형의 문제이다. 주로 일상에서 흔히 볼 수 있는
용액인
소금물,
설탕물이 문제로 자주 나온다.
중학교 수학은 모든 학년군에서 등장한다.
화학Ⅱ는 이런 문제를 그냥
기본으로 깔고 들어간다. 즉, 문제를 풀 때 농도 계산 문제를 기본으로 알고 있다고 가정하기 때문에 농도 문제 자체는 아예 안 나오거나, 점수를 거저주기 위한 문항에만 나온다.
진짜 어려운 내용이 따로 있다 여기에 이온화까지 생각해야 하는 경우가 있고,
몰 농도나
몰랄 농도까지 들어간다.
2015 개정 교육과정에서는 화학Ⅰ에도 몰 농도와 퍼센트 농도 관련 내용이 추가됨에 따라 2021학년도 수능부터는 화학Ⅰ에서도 화학Ⅱ와 마찬가지로 농도 변환 계산 문항이 하나씩 출제되고 있다.
[1]
용질만의 무게의 합, 수용액의 총 무게의 합을 나타내는 두 개의 방정식을 세우면 풀 수 있다.
[math(\displaystyle wc=100w_{0})][2] [math({\sf (소금물의\ 양) × (소금물의\ 농도)} = 100×{\sf(소금의\ 양)})]
|
- [math(w_{0})]: 용질의 무게
- [math(w)] : 용액의 무게
- [math(c)]: 퍼센트 농도
거리,
속력,
시간의 관계, 일명 '
거속시' 공식의 변환 방법 및 원리를 알고 있다면 이 식도 아래와 같이 다양하게 변환할 수 있다.
- 용질의 무게에 관한 식(소금의 양에 관한 식)
[math(\displaystyle w_{0}=\frac {wc}{100})][3] [math({\sf (소금의\ 양)}=\dfrac {\sf (소금물의\ 양)×(소금물의\ 농도)}{100})]
|
- 퍼센트 농도에 관한 식(소금물의 농도에 관한 식)
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w})][4] [math({\sf (소금물의\ 농도)}=100×\dfrac {\sf (소금의\ 양)}{\sf (소금물의\ 양)})]
|
- 용액에 물(용매)을 더할 경우 (단, [math(l)]은 물의 무게)
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w+l})]
|
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w-l})]
|
[math(\displaystyle c=\frac {100(w_{0}+x)}{w+x})]
|
- 특히 용액을 균등하게 나눠서 서로 다른 비커에 나눠갖는 조건이 제시될 경우가 있는데, 먼저 균일하게 나눠가진 두 비커의 농도는 같다. 각 비커 안에 들어있는 용질과 용액의 무게는 동일한 비율로 줄어든다.
[math(\displaystyle c=\frac {100w_{0}}{w})]에서 [math(\displaystyle c=\frac {100(w_{0}-kw_{0})}{w-kw})] (단, [math(\displaystyle 0<k<1)])
|
중학교 1학년
일차방정식 활용 문제에서 소금물 농도 문제 때문에 고생하는 학생들을 위한 팁이 몇 가지 있다.
- 소금물 활용 문제는 거의 무조건 소금의 양에 관한 식을 기준으로 방정식을 세워 푼다. [5]
이는 단순히 수학 문제를 풀기 위한 팁이 아니라 화학에서도 마찬가지이다. 애초에 농도라는 것이 결국은 물질의 양(질량, 몰수 등)을 중요하게 여기는 값이기 때문.
- 소금물 A와 소금물 B를 섞는 것은 (A의 소금의 양에 관한 식)+(B의 소금의 양에 관한 식)=(결과물의 소금의 양에 관한 식) 꼴로 세워 푼다.
- 소금물에 물을 섞는 것은 (소금물의 소금의 양에 관한 식)=(결과물의 소금의 양에 관한 식에서 (소금물의 양+x)) 꼴로 세워 푼다.[6]
물 그 자체는 따지고 보면 '소금의 양이 0인 소금물'이라고 볼 수 있다. 따라서 좌변에 추가적인 소금의 양에 관한 식이 나올 필요가 없다. 반면에 우변은 물을 탔지만 여전히 소금물이므로 양이 증가했음을 보여야 한다.
- 소금물에 소금을 섞는 것은 (소금물의 소금의 양에 관한 식+x)=(결과물의 소금의 양에 관한 식에서 (소금물의 양+x)) 꼴로 세워 푼다.[7]
소금 그 자체는 따지고 보면 '물의 양이 0인 소금물'이라고 볼 수 있다. 따라서 농도가 100%이므로 좌변에 농도 100%짜리 소금물이 더해지고, 그 결과도 소금물이니 마찬가지로 양이 증가했음을 보여야 한다.
공직적격성평가 수준까지 가면 가중평균을 응용하여 천평법칙으로 풀이하게 되며, 2중가평은 눈 감고도 할 줄 알아야 하며 킬러문제로 3중가평까지 나오게 된다.
일상에서 볼 수 있는 것을 소재로 한 문제 형식이지만 푸는 사람 입장에서는 그다지 현실감을 느끼지 못한다. "왜 기껏 만든 소금물을 합치냐"라고 투덜거리면서 푸는 사람들이 많다.
# 이 문제 외에도 일상을 소재로 한 수학 문제들 대다수가 이런 평을 받는다. 다만
화학 실험 분야에서 활동하게 된다면 실제로 이러한 상황에 마주할 때가 꽤 생긴다.
[8] 그래서인진 몰라도 고등학교 과정에서는 주로 화학 교과에서 농도 문제가 많이 나온다.
학창 시절 문제집이나 교과서 등에서 마주치는 거의 대다수의 소금물 문제는 사실 엄밀히 따지면 현실성이 매우 낮다고 할 수 있다. 실제 소금의 최대
용해도는 36.5% 정도이기 때문이다.
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