기하급수

1. 개요[편집]

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기하급수(幾何級數, geometric series) 또는 등비급수(等比級數)는 서로 이웃하는 항의 비(比)가 일정한 급수로, 예를 들어 1+2+4+8+16+……, a+ar+ar²+…… 따위를 이른다.[1]

등비수열의 부분합을 무한으로 보낸 개념이다. 풀어서 설명하자면, 첫째항과 일정한 공비를 가지는 수열 [math(\left\{a_n\right\})]이 있을 때, [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지 더한 값인 [math(\displaystyle\sum^{n}_{k=1}a_k)]에서 [math(n)]을 무한대로 보내어 모든 항을 더한 값이다.

2. 조건[편집]

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등비급수를 사용할 때는, 대상 수열의 공비 [math(r)]의 절댓값이 [math(1)]보다 작아야 한다는 특수한 성립 조건이 필요하다. 만약 공비가 [math(-1)] 이하라면 수열의 합은 진동하게 되고, [math(1)] 이상이라면 수열의 합은 무조건 발산하게 되기 때문.[2]

3. 계산[편집]

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대상 수열의 첫째항이 [math(a)]이고 공비가 [math(r)]일 때, [math(\displaystyle\frac{a}{1-r})] (단, [math(|r|<1)])

3.1. 등비급수를 수식으로 표현하는 방법[편집]

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등비수열 [math(a_n = ar^{n-1})]의 첫 번째 항 [math(a_1)]부터 [math(n)]번째 항 [math(a_n)]까지의 등비급수를 표현하는 방법은 다음과 같다.
이때, [math(r\ne1)]이면
[math(|r|<1)]이면 [math(n\to\infty)]일 때 [math(r^n\to0)]으로 수렴하며 이 경우 무한 등비급수(infinite geometric series)라고 한다.

그런데 라마누잔이라는 수학자가 위 식에서 [math(r=1)]일 경우를 계산해냈는데 자세한 내용은 문서 참조.

4. 수능에서의 활용[편집]

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고교 수학을 바탕으로 하는 대수능에서 3~4점짜리 문제로, 미적분을 선택한 학생에 한하여 출제된다.[3] 도형을 던져주고 그와 똑같은 모양의 더 작은 도형을 그린 뒤, 이 도형들의 넓이의 합을 구하는 문제가 대부분인데, 문제의 길이와 비주얼에 겁먹지 않고 침착하게 첫째항과 공비를 구하면 된다.[4]
원래 나형에서 출제되는 유형이었으나, 수열의 극한과 급수가 가형 범위인 미적분으로 옮겨 가면서 출제 유형이 가형으로 변경되었다.[5][6]그래서인지 첫째 항이나 공비 중 하나가 구하기 어렵도록 치사하게 나오는 경우가 많아졌다.[7] 출제되는 번호 또한 평균적으로 올라갔다.[8]

5. 표현[편집]

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幾何級數, Logarithmic scale[9]

인간이 감당할 수 없을 정도로 폭발적으로 증가하는 것을 설명할 때 관용적으로 쓰는 표현. 실제 수학적 의미는 잘 몰라도 기하급수적(등비수열)이라는 말이 나오면 뭔가 엄청나게 증가하는 것으로 보이게 된다.[10] 이와 대조되는 말로는 산술급수(등차수열)가 있는데, 산술급수는 단조로운 증가세를 설명하는 데 쓰인다. 맬서스의 인구론에서 기하급수와 산술급수가 쓰인다.

보통은 기하급수라고 하면 a^b 꼴의 지수형태지만 더 빠르게 증가하는 기하급수라면 지수를 높게 쌓은 것이 있다. 예를 들어 입자 배열 경우의 수 관련 수들은 10ⁿ 꼴에서 n의 값을 다시 지수로 표현해야 한다. 그런데 이러한 지수 탑을 조금만 쌓아도 곱셈식으로는 도저히 감당해낼 수 없을 정도로 커진다. 예를 들어 구골만 해도 10⁹⁹보다 10배 큰 수인데 당장 구골플렉스만 해도 [math(10^{10^{99}})]보다 몇 배 큰지 감이 안 온다.[11]

6. 참조[편집]

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• 수열
• 등비수열
• 라마누잔합 - 등비급수를 복소해석학을 이용해 해석적 확장하는 수단 가운데 하나이다.