공분산

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1. 개요
2. 정의
2.1. 모공분산
2.2. 표본공분산
3. 성질
4. 해석
5. 분산-공분산 행렬
6. 공식
6.1. 심화


1. 개요[편집]

共分散 / covariance

공분산은 두 개의 확률 변수의 선형관계를 나타내는 값이다. 한 확률 변수의 증감에 따른 다른 확률 변수의 증감의 경향에 대한 측도이다. 쉽게 말해 분산이라는 개념을 확장하여 두 개의 확률 변수의 흩어진 정도를 공분산이라고 하는 것이다.


2. 정의[편집]

두 확률변수 [math(X)], [math(Y)]의 결합확률함수가 [math(f(x,\,y))]일 때 다음을 [math(X)], [math(Y)]의 공분산이라고 한다.

분류


[math({\rm Cov}(X,\,Y)={\mathbb E}\{(X-\mu_x)(Y-\mu_y)\})]


2.1. 모공분산[편집]

모공분산은 모집단의 공분산이다. [math({\rm Cov}(X,\,Y))] 또는 [math(\sigma_{XY})]로 쓴다. [math(X)]와 [math(Y)]는 확률 변수, [math(N)]은 모집단의 표본의 개수, [math(X_i)]와 [math(Y_i)]는 각 확률 변수의 도수, [math(\mu)]는 모평균을 뜻한다.
[math(\begin{aligned}{\rm Cov}(X,\,Y)&=\sigma_{XY}\\&=\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (X_i-\mu_X)(Y_i-\mu_Y)\\&={\mathbb E}\{(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\}\end{aligned})]
곧, 모공분산이란 [math(X)]의 편차와 [math(Y)]의 편차의 곱의 평균이다.


2.2. 표본공분산[편집]

표본공분산은 표본집단의 공분산이다. [math(S_{XY})]로 쓴다. [math(X)]와 [math(Y)]는 확률 변수, [math(n)]은 표본집단의 표본의 개수, [math(X_i)]와 [math(Y_i)]는 각 확률 변수의 도수, [math(\bar X)]와 [math(\bar Y)]는 표본평균을 뜻한다.
[math(\begin{aligned}S_{XY}&=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}\\&={\mathbb E}\{(X-\bar X)(Y-\bar Y)\}\end{aligned})]
곧, 표본공분산이란 [math(X)]의 편차와 [math(Y)]의 편차의 곱의 평균이다. 주의할 점은 (표본의 개수)[math(\boldsymbol{-1})]로 나눈다는 것이다. [math(n)]이 아니라 [math(n-1)]로 나누는 것은 오차를 줄이기 위함으로, 일반적인 표본 분산의 계산법과 같다.

3. 성질[편집]

공분산의 정의에 따라 같은 확률 변수 두 개의 공분산이란 결국 해당 확률 변수의 분산이 된다.

분류


[math(\begin{aligned}{\rm Cov}(X,\,X)&=\sigma_{XX}\\&=\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_X)(X_i-\mu_X)\\&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_X)^2\\&={\mathbb E}[(X-\mu)^2]\\&={\rm Var}[X] \\ \\S_{XX}&=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(X_i-\bar X)(X_i-\bar X)}\\&=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\\&={S_X}^2\end{aligned})]

또한, 공분산의 계산에서는 두 확률 변수의 편차를 곱하므로, 교환법칙에 따라 [math({\rm Cov}(X,\,Y)={\rm Cov}(Y,\,X))]이다.

공분산의 정의는 내적의 정의를 만족시킨다. 따라서 코시-슈바르츠 부등식을 적용할 수 있고 이를 통해 피어슨 상관계수를 유도할 수 있다.


4. 해석[편집]

확률 변수 [math(X)]와 [math(Y)]에 대하여 다음과 같이 해석한다.
  • [math({\rm Cov}(X,\,Y)>0)]이면 [math(X)]와 [math(Y)]는 양의 관계
  • [math({\rm Cov}(X,\,Y)<0)]이면 [math(X)]와 [math(Y)]는 음의 관계
  • [math({\rm Cov}(X,\,Y)=0)]이면 [math(X)]와 [math(Y)]는 양도 음도 아닌 관계

주의할 점은 [math({\rm Cov}(X,\,Y)=0)]을 [math(\boldsymbol X)]와 [math(\boldsymbol Y)]는 관계가 없다고 해석하면 안 된다는 것이다. [math(x^2+y^2=k^2)]([math(k)]는 상수)이 대표적인 반례이다. 만약 두 확률 변수 [math(X)]와 [math(Y)]에 대하여 이 관계가 성립하면 [math({\rm Cov}(X,\,Y)=0)]이다. 틀림없이 공분산은 0이지만, 분명히 [math(x^2+y^2=k^2)]이라는, 모종의 관계가 성립하고 있는 것이다.


5. 분산-공분산 행렬[편집]

분산-공분산 행렬이란 다음과 같이 분산과 공분산을 나타낸 행렬을 말한다.


[math(X)]
[math(Y)]
[math(Z)]
[math(X)]
[math({S_X}^2)]
[math(S_{XY})]
[math(S_{XZ})]
[math(Y)]
[math(S_{XY})]
[math({S_Y}^2)]
[math(S_{YZ})]
[math(Z)]
[math(S_{XZ})]
[math(S_{YZ})]
[math({S_Z}^2)]

6. 공식[편집]

  • [math({\rm Cov}(X,\,Y)={\mathbb E}(XY)-{\mathbb E}(X){\mathbb E}(Y))][1]
[증명]
---
[math((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)=XY-\mu_XY-\mu_YX+\mu_X\mu_Y)]를 이용하면
[math(\begin{aligned}{\rm Cov}(X,\,Y)&={\mathbb E}(XY)-{\mathbb E}(\mu_XY)-{\mathbb E}(\mu_YX)+{\mathbb E}(\mu_X\mu_Y)\\&={\mathbb E}(XY)-\mu_X{\mathbb E}(Y)-\mu_Y{\mathbb E}(X)+\mu_X\mu_Y\\&={\mathbb E}(XY)-\mu_X\mu_Y\end{aligned})]
---

  • [math({\rm Var}(X+Y)={\rm Var}(X)+{\rm Var}(Y)+2{\rm Cov}(X,\,Y))]
[증명]
---
분산의 정의에 의하여 [math({\rm Var}(X+Y)={\mathbb E}[(X+Y-\mu_{X+Y})^2])]이고 [math(\mu_{X+Y}=\mu_X+\mu_Y)]이므로
[math(\begin{aligned}{\rm Var}(X+Y)&={\mathbb E}[(X-\mu_X+Y-\mu_Y)^2]\\&={\mathbb E}[(X-\mu_X)^2+2(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)+(Y-\mu_Y)^2]\\&={\mathbb E}[(X-\mu_X)^2]+{\mathbb E}[(Y-\mu_Y)^2]+2{\mathbb E}\{(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\}\\&={\rm Var}(X)+{\rm Var}(Y)+2{\rm Cov}(X,\,Y)\end{aligned})]


  • 일반화: [math({\rm Var}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k\!\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^n{\rm Var}(X_k)+2\sum_{i


  • [math(|{\rm Cov}(X,\,Y)|\leq\sqrt{{\rm Var}(X)\cdot {\rm Var}(Y)})]

6.1. 심화[편집]

  • [math(X)]와 [math(Y)]가 독립이면 [math({\mathbb E}(XY)={\mathbb E}(X){\mathbb E}(Y)=\mu_X\mu_Y)]이므로
    • [math({\rm Cov}(X,Y)={\mathbb E}(XY)-{\mathbb E}(X){\mathbb E}(Y)=0)][2]
    • [math({\rm Var}(X+Y)={\rm Var}(X)+{\rm Var}(Y))]
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[1] 분산이 (제곱의 평균)−(평균의 제곱)이듯이, 공분산은 (곱의 평균)−(평균의 곱)이다.[2] 역은 성립하지 않는다. 공분산이 0이어도 두 확률 변수가 독립이라는 보장은 없다.

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