문서 보기문서 편집수정 내역 합동(기하학) (덤프버전으로 되돌리기) [[분류:기하학]] [include(틀:평면기하학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[合]][[同]] / Congruence}}} 두 [[도형]]의 [[크기]]와 형태가 같을 때, 두 도형이 서로 합동이라고 한다. [[닮음]]의 특수한 꼴이라고 볼 수 있으며, 예를 들어 삼각형에서는 || [math(\rm \triangle ABC \sim \triangle DEF,~\triangle ABC = \triangle DEF)] || 일 때 합동이 된다. 기호로 || [math(\rm \triangle ABC \equiv \triangle DEF)] || 라고 표시하며, [[미국]] 쪽에서는 || [math(\rm \triangle ABC \cong \!\!\triangle DEF)] || 라고 표시하기도 한다. == 대응점, 대응변, 대응각 == 대응점, 대응변, 대응각은 합동인 도형이나 [[닮음]]인 도형에서 찾을 수 있는 특징이다. 어떠한 두 도형이 합동이라는 것은 두 도형을 돌리거나 뒤집어서 겹치면 정확히 알맞게 겹친다는 뜻이기도 하다. 이렇게 겹쳤을 때 겹치는 점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라고 한다. 대응변끼리는 서로 비가 같고, 대응각의 크기는 각각 같다. 합동이나 닮음을 기호로 표기할 때는 도형의 기호에 따른 대응점을 순서에 맞게 써야한다. [[파일:삼각형의 합동.png]] 위 두 도형에서 대응점은 각각 A-D, B-E, C-F 이다. 그래서 합동임을 기호로 표시할 때는 대응점의 순서에 맞춰서, || [math(\rm \triangle ABC \equiv \triangle DEF)] || 이렇게 쓰는 것이 옳다. == 삼각형의 합동 조건 == * 두 삼각형의 세 변의 길이가 같은 경우(SSS 합동[* S는 side(변)의 첫 글자, A는 angle(각)의 첫 글자]) * 두 삼각형의 두 변의 길이가 같고 그 끼인각이 같은 경우(SAS 합동) * 두 삼각형의 한 변의 길이가 같고 양 밑각이 같은 경우(ASA 합동) 첨언하자면 이 세 가지 경우에는 [[삼각형]]이 단 한 가지로 결정된다.[* 다만 이는 충분조건일 뿐, 필요조건은 아니다. 아래 SSA 합동 문단 참고.] 즉 삼각형의 결정조건이라고 볼 수도 있다. 직각삼각형의 경우는 A를 R[* Right angle(직각)의 첫 글자]로 고치고 R의 대변인 빗변을 H[* Hypotenuse(빗변)의 첫 글자]로 바꾼다. 이 성질이 성립하는 이유는 직각삼각형의 경우 한 각이 반드시 [math(\angle)]R이라는 성질 덕분에 평행선 공준과 동치인 '''삼각형의 세 각의 합은 180도'''라는 명제에 의하여 한 예각이 주어지면 자연스럽게 다른 예각이 [math(90\degree -x)]로 결정되는 성질과 함께, 역시 평행선 공준의 동치명제인 피타고라스 정리에 따라 빗변과 한 변의 길이를 알면 다른 한 변의 길이가 자연스럽게 정해지기 때문. * 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같을 때 (RHA 합동, ASA 합동의 일종) * 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같을 때 (RHS 합동, SAS 합동의 일종) 참고로 위 조건은 [[유클리드 공간]], [[비유클리드 기하학#s-3.1|구면 공간]]에만 성립한다. 일반적인 [[타원 공간]], [[쌍곡 공간]]에서는 합동은커녕 닮음조차도 일반적으로 성립되지 않는다. === SSA 합동 === SAS 합동의 조건 "두 삼각형의 두 변의 길이가 같고 그 '''끼인각'''이 같은 경우"에서, 끼인각이 아닌 다른 각이 같은 경우가 있다. 이 경우에는 합동이 될 수도 합동이 되지 않을 수도 있는데, 합동이 되더라도 이를 SAS 합동으로 부를 수 없다. 가령 [math(\rm \overline{BC}=\mathbf{2}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]인 경우[* 이 경우 직각삼각형이 된다.] 혹은 [math(\rm \overline{BC}=\mathbf{4}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]인 경우는 단 하나로 결정되나, [math(\rm \overline{BC}= \mathbf{2.1}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]로 바뀐다면 두 개가 존재하며 [math(\rm \overline{BC}= \mathbf{1.9}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]인 삼각형은 존재하지 않는다. 아래 그림은 이를 간단히 나타낸 것으로, 점 C가 검은색 작은 점에 놓였을 때 삼각형 ABC가 어떻게 생기는지를 보여 준다. 선분 옆의 수는 그 선분의 길이를 나타낸다. [[파일:SSA 합동.png|width=400]] 보다 일반적으로, [math(\rm \triangle ABC)]에서 [math(\rm \overline{AB}, \overline{BC}, \angle A)]가 주어졌을 때 1) [math(\rm \overline{BC}>\overline{AB})] 인 경우, 즉 위 그림의 초록 선분 경우처럼 각 A의 마주보는 변이 더 긴 경우 2) [math(\rm \overline{BC}=\overline{AB})] 이고 [math(\angle A<90 \degree)]인 경우, 즉 위 그림의 검은 선분 경우처럼 이등변삼각형의 두 변과 한 밑각이 주어지는 경우 2) [math(\rm \overline{BC}=\overline{AB}\sin (\angle A))] 이고 [math(\angle A<90 \degree)]인 경우, 즉 위 그림의 빨간 선분처럼 변 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형이 만들어지는 경우 위 세 가지 조건 중 하나를 만족하면 삼각형이 유일하게 결정된다. 이를 간략히 SSA 합동 조건이라 부르기도 한다.[* 증명은 여러가지 방법이 있겠으나, [[코사인법칙]]을 이용하여 주어지지 않은 변 [math(\rm CA)]의 길이를 구할 때 이것이 [math(\rm \overline{CA})]에 대한 이차방정식임을 이용하는 것이 제일 간편하다. 계산하고자 하는 이차방정식이 단 하나의 양의 실근을 가지면 변 [math(\rm CA)]의 길이가 유일하게 하나로 결정되므로, 각각 부호가 다른 두 실근을 가질 조건, 0과 양의 실근 하나를 가질 조건, 양수인 중근을 가질 조건을 찾으면 된다. 참고로 이 이차방정식이 허근을 가지는 경우, 또는 실근을 갖더라도 양의 실근이 아니라 0 또는 음의 실근만을 갖는 경우는 조건을 만족하는 삼각형이 그려질 수 없음을 알 수 있다. 이는 [math(\rm \overline{BC})]가 너무 짧아 주어진 반직선에 닿는 것이 불가능한 경우를 의미한다. (닿고자 하는 반직선의 반댓방향 반직선에 닿는 경우는 음수근, 아예 직선에 닿을 수조차 없는 경우 허근.)] == 사각형의 합동 == 삼각형에는 SSS, SAS, ASA 등의 합동조건이 있지만, 이를 사각형으로 일반화하기는 어렵다. 가령 사각형에서는 네 변의 길이가 모두 같더라도(SSSS) 합동이 아닐 수 있다.[* 일례로 한 변의 길이가 같은 마름모와 정사각형이 있다.] 이는 닮음도 마찬가지인데, 삼각형에는 AA 닮음 조건이 있지만 사각형에는 네 각의 크기가 모두 같더라도 닮음이 아닐 수 있다.[* 일례로 직사각형과 정사각형이 있다.] 그래서 사각형은 8개의 각과 변 중 5개를 사용한다. 종류는 합동을 기준으로 SSSAS, SASAS, ASASA 합동이 있으며, '''3개 모두 두 도형에서 변과 각의 순서가 같아야 합동이 된다.'''[* 즉, 변의 길이와 각의 크기만 같아서는 안 되고, 각이 어떤 변 사이에, 또는 어떤 변의 끝에 있는지까지 같아야 합동이 된다는 거다.] == 교과과정에서 == 초등학교 5학년 때 처음 배우며, 중학교 1학년에서 SSS, SAS, ASA 합동조건을 배운다. 중학교 2학년에서 RHS와 RHA 합동조건을 배우고, 닮음과 연계되어 다루어진다. 대학 이상으로 가면 뜬금없이(?) [[대수학]]에서 [[준동형 사상]]이라는 이름으로 배우게 된다. [[함수]]나 [[집합]] 몇 개를 던져주고 이들이 닮았는지, 그리고 합동(동형 사상)인지를 직접 증명하는 문제를 낸다. [각주][include(틀:문서 가져옴, title=합동, version=49)]캡챠되돌리기