문서 보기문서 편집수정 내역 초실수체 (r0 버전으로 되돌리기) [include(틀:수 체계)] [목차] == 개요 == 초실수체 [math(\mathbb{R}^{*})]란, [[무한소]]를 포함하며, [math(\mathbb{R})]에 대해 성립하는 모든 [[1차 논리]] 문장으로 적을수 있는 명제를 [math(\mathbb{R}^{*})]에 대해서도 만족시키고, 거꾸로 [math(\mathbb{R}^{*})]에서 1차논리 문장으로 적힌 명제가 참이면 [math(\mathbb{R})]에서도 만족시키는 [math(\mathbb{R})]의 확대 체(extension field)이다. Edwin Hewitt라는 미국인 수학자가 1948년에 최초로 도입하였다. 실수에서 하던 얘기 대부분[* 1차논리로 적을 수 있는 명제에 한한다. 아르키메데스 성질은 1차논리의 문장으로 표현할 수 없고, 실수체에서 아르키메데스 성질이 성립하지만, 초실수체에서는 성립하지 않는다.][* 아르키메데스 성질을 1차논리의 문장으로 [math(\forall y\forall x\exist n((n\in \mathbb{N} \land x>0)\to n\times x> y) )]라고 쓸수 있지 않느냐고 반문할수도 있을텐데, [math(\mathbb{N})]을 초실수체로 '전달'하면 [math(\mathbb{N}^{*})]가 되어서, 자연수(=1을 유한번 더해서 얻은것) n이 더이상 자연수가 아닐수도 있게 된다. 그렇기 때문에 근본적으로 자연수 집합을 1차논리로 어떻게 표현해낼지가 문제가 된다.]을 무한소를 가지고서도 할 수 있기 때문에, 미적분학 역사 초기에 오일러, 뉴턴 등이 무한소를 도입하여 미적분을 설명했었던 논리가 아주 틀린건 아니라는 것을 밝힌데에 의의가 있다. 초실수를 이용해 전개하는 [[해석학(수학)|해석학]]을 비표준 해석학(nonstandard analysis)이라고 한다. ''표준'' 해석학이 [[엡실론-델타 논법]] 위에서 전개되는 것에 대비해서 이렇게 표현한 것이다. == 정의 == 어떤 집합 [math(I)]에 대해서, [math(I)] 위의 '''필터'''(filter on [math(I)]) [math(U)]란 [math(I)]의 부분집합들을 원소로 하고, 다음의 세가지 조건을 만족하는 집합을 말한다. 1. 포함집합(superset)에 닫혀있다: [math(X\in U)] 이고 [math(X\subset Y \subset I)] 이면 [math(Y\in U)] 1. 유한 교집합에 닫혀있다: [math(X,Y\in U)] 이면 [math(X\cap Y \in U)] 1. [math(I\in U)] 이고 [math(\emptyset \notin U)] 임의의 [math(X\subset I)]에 대하여 [math(X)]와 [math(I-X)] 중에 어느 하나만이, 반드시, 필터 [math(U)]의 원소일 때, [math(U)]를 '''극대필터'''라고 한다. 극대필터 [math(U)]의 모든 원소가 무한집합이면 [math(U)]를 '''자유극대필터'''(free ultrafilter)라고 한다. [[초른의 보조정리]]를 이용하면, 임의의 무한집합 [math(I)]에 대하여, [math(I)]위의 자유극대필터가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.[* [[선택공리]]를 배제하면, 즉, [[ZFC 공리계]]가 아닌 ZF 공리계에서는 존재성에 대해 증명할 방법이 없다고 한다. 그래서 Errett Bishop 같은 [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC%EC%84%B1%EC%A3%BC%EC%9D%98_(%EC%88%98%ED%95%99)|구성주의]] 수학자들은 초실수에 대해서 부정적으로 보았다.] 자유극대필터의 유일성은 보장되지 않는다.[* 자유극대필터의 선택에 따라 다른 초실수체가 나올 수 있는데, [[연속체 가설]]을 가정하면, 서로 다른 초실수체가 모두 동형이라고 한다.] 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]에 대하여 [math(\mathbb{N})] 위의 자유 극대필터(free ultrafilter on [math(\mathbb{N})]) [math(U)]가 주어졌을 때, 실수열의 집합 [math(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})]에 대하여 다음과 같은 [[동치관계]] [math(=_{U})]를 줄 수 있다. [math(a=_{U} b)] if and only if [math(\{i\in \mathbb{N}|a_{i}=b_{i}\}\in U)] 이 관계가 동치관계인 이유는, 반사성은 전체집합 [math(\mathbb{N})]이 필터의 원소가 되기 때문이고, 대칭성은 정의에 의해 자명하고, 추이성은 필터가 교집합과 포함집합에 닫혀있기 때문이다. [math(a)]의 동치류를 [math(a_{U}=\{b\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|a=_{U}b\})]로 나타내자. 그러면, 초실수체 [math(\mathbb{R}^{*})]는 [math(\mathbb{R})] modulo [math(U)]의 초거듭제곱(ultrapower)이다. [math(\mathbb{R}^{*}=\displaystyle\prod_{U} {\mathbb{R}}=\{a_{U}|a\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\})] 이렇게 구성하는 방법을 ultrapower construction이라 한다. === 자연스러운 확장(natural extension) === ==== 부분 집합의 확장 ==== 실수집합의 부분집합 [math(A\subset\mathbb{R})]을 아래와 같이 초실수집합의 부분집합으로 확장할 수 있다. [math(A^{*}=\{a_{U}|a\in A^\mathbb{N}\})] 특히, 자연수 집합 [math(\mathbb{N})], 정수 집합 [math(\mathbb{Z})], 유리수 집합 [math(\mathbb{Q})], 무리수 집합 [math(\mathbb{I})]에 대하여, [math(\mathbb{N}^{*})], [math(\mathbb{Z}^{*})], [math(\mathbb{Q}^{*})], [math(\mathbb{I}^{*})] 등을 초자연수 집합, 초정수 집합, 초유리수 집합, 초무리수 집합이라고 한다. ==== 관계의 확장 ==== 아래 첨자의 남용을 막기 위하여 지금부터는 [math(X)]를 실수열의 n-tuple이라 하자. ([math(X_{1},X_{2},X_{3})] 등은 [math(X)]의 수열로서의 항이지, n-tuple의 성분을 나타내는 것이 아니다.) [math(X_{U})]는 [math(X)]의 성분의 동치류로 구성된 [math(\mathbb{R}^{*})]의 n-tuple이다. 실수의 n항 관계 [math(R)]은, [math(\{X_{U}|X\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}\times n},\{i\in\mathbb{N}|X_{i}\in R\}\in U\})]로 확장할 수 있다. 이를 이용하면 [[순서관계]][math(<)]를 확장할 수 있다. [math(a_{U}<^{*}b_{U} \iff \{i\in\mathbb{N}|a_{i}캡챠되돌리기