문서 보기문서 편집수정 내역 조화수(수학) (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 정의 == '''조화수(harmonic numbers)''' [math(\boldsymbol{H_n})]은 자연수 [math(n)]에 대하여 다음과 같은 [[조화수열]]의 합으로 정의되는 수이다. ([math(n=0)]인 경우, [math(H_n=H_0=0)]으로 정의된다.) {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n\frac1k )]}}} 특히, [math(n\to\infty)]일 때에 해당하는 다음 [[급수(수학)|급수]]는 '조화급수'라고 하며, 이는 양의 무한대로 발산함이 알려져 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k=1+\frac12+\frac13+\cdots=\infty )]}}} 나아가 비교판정법에 의하여 다음과 같은 '''임의의 [[조화수열]]의 무한급수는 항상 발산한다.''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac a{1+a(k-1)d} = a +\frac a{1+ad} +\frac a{1+2ad} +\cdots)]}}} 니콜 오렘(Nicole Oresme, 1325~1382)은 조화급수가 아래 관계임을 보여 수렴하지 않음을 증명했다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k > 1+\frac12\sum_{k=2}^\infty 1 )]}}} 조화수를 아래와 같이 무한급수로도 표현할 수 있다. 급수를 전개해보면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle H_n = \sum_{k=1}^{\infty} \!\left( \frac1k - \frac1{k+n} \right) )]}}} 한편, 조화수의 정의역을 양의 실수로 확장할 수도 있다. 이 때에는 아래와 같이 정적분으로 표현한다. [math(x)]가 자연수일 때는 분수를 약분한 후 정적분하면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t )]}}} == 성질 == === 점화 관계 === 조화수는 다음과 같은 점화식 관계를 만족한다. [math(x)]가 자연수 [math(n)]일 때에는 아래의 점화 관계를 직관적으로 이해할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle H_{x+1}=H_x+\frac1{x+1} )]}}} === 반사 공식 === 조화수에는 다음과 같은 반사 공식이 존재한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle H_{1-x}-H_x=\pi\cot(\pi x)+\frac1{1-x}-\frac1x )]}}} == 적분 == 정적분식 정의를 사용하면 다음과 같은 식도 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1 H_x \,\mathrm{d}x &= \iint_{(0,\,1)^2} \frac{1-t^x}{1-t} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}x = \gamma \\ \int_0^n H_x \,\mathrm{d}x &= n\gamma + \ln(n!) \end{aligned})][* [math(\displaystyle \iint_{(0,\,1)^2} \Leftrightarrow \int^{1}_{0}\int^{1}_{0})]이다. 자세한 내용은 [[중적분]] 참고.][* 좀 더 쉽게 설명하면 밑에 [[단위정사각형|각 변이 1인 정사각형]]을 깔아놓고 [[https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+z%3D%281-y%5Ex%29%2F%281-y%29+from+x+%3D+0+to+1%2C+y+%3D+0+to+1|이렇게 생긴 곡면]]을 씌워 그 사이에 있는 공간의 [[부피]]를 구하는 식이다.]}}} 여기서 [math(\gamma)]는 [[오일러-마스케로니 상수]]이고 [math(n)]은 자연수이다. == 일반화 == 조화수를 일반화한 버전으로, '일반화된 조화수'(generalized harmonic numbers)를 생각할 수 있다. 다음과 같이 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n\frac1{k^m} )]}}} [math(n)]을 무한대로 보내면 [[제타 함수|다음]]과 같이 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} H_n^{(m)} = \zeta(m) )]}}} == [[생성함수]] == 조화수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 주어진다. 증명은 [[생성함수]] 문서의 [[생성함수#s-2.3|해당 부분]]에서 볼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_nx^n=-\frac{\ln(1-x)}{1-x} )]}}} 조화수의 [[생성함수#s-4.1|지수 생성함수]]는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}H_n\frac{x^n}{n!}&=-e^x\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k\frac{(-x)^k}{k!} \\&=e^x[\mathrm{Ei}(x)+\gamma+\ln x] \end{aligned} )]}}} 여기서 [math(\mathrm{Ei}(x))]는 [[지수 적분 함수]]이다. 일반화된 조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_n^{(m)}x^n=\frac{\mathrm{Li}_m(x)}{1-x} )]}}} 여기서 [math(\mathrm{Li}_m(x))]는 [[폴리로그함수]]이다. == 알려진 값 == 실수 범위에서 몇 가지 알려진 조화수의 값은 다음과 같다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} H_{1/2} &= 2 -2\ln2 \\ &\approx0.6137056389 \\ H_{1/3} &= 3 -\frac32\ln3 -\frac\pi{2\sqrt3} \\ &\approx0.4451818849 \\ H_{1/4} &= 4 -3\ln2 -\frac\pi2 \\ &\approx0.3497621315 \\ H_{1/5} &= 5 -\frac54\ln5 +\frac12\ln2 -\frac\pi{10}\sqrt{25+10\sqrt5} \\ &\qquad +\frac{\sqrt5-1}4\ln(\sqrt5-1)-\frac{\sqrt5+1}4\ln(\sqrt5+1) \\ &\approx0.2881757683 \\ H_{1/6} &= 6 -\frac32\ln3 -2\ln2 -\frac{\sqrt3}2\pi \\ &\approx0.2450881595 \end{aligned} )]}}}|| [math(H_{1/5})]의 값을 구하는 과정에서는 [[https://arxiv.org/pdf/1804.06418.pdf|여기]]의 12페이지 맨 아래쪽에 있는 공식과 [[https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi5.html|여기]]에 나와있는 값들을 사용하였다. [math(H_{1/5})]을 제외한 나머지 값들은 정적분식 정의를 사용해서 쉽게 구할 수 있다. [[분류:해석학(수학)]][[분류:급수(수학)]]캡챠되돌리기