문서 보기문서 편집수정 내역 제곱수 (r0 버전으로 되돌리기) [목차] == 개요 == 어떤 [[자연수]][* 이 조건이 붙지 않으면 '''모든 수가 제곱수가 된다'''([[제곱근]] 문서 참조). 만약 붙지 않으면, [[허수]]도 제곱수이다. 사실, 매우 엄밀히 따지면 허수도 제곱수가 맞긴 맞다.]를 [[지수(수학)|두 번 곱해서]] 나오는 [[정수]]. 개체가 해당 수만큼 있으면 이들을 정사각형 모양으로 배열할 수 있으므로 정사각수라고도 한다. 즉, [math(n=m^2)]인 자연수 [math(m)]이 존재하는 [math(n)]을 말한다. == 성질 == === 자연수로 나눈 나머지 === 제곱수를 어떤 자연수로 나누었을 때, 나올 수 있는 나머지는 다음과 같다. || '''{{{#D3D3D3 제수}}}''' || '''{{{#D3D3D3 나머지}}}''' || || '''3''' || 0, 1 || || '''4''' || 0, 1 || || '''5''' || 0, 1, 4 || || '''6''' || 0, 1, 3, 4 || || '''7''' || 0, 1, 2, 4 || || '''8''' || 0, 1, 4 || || '''9''' || 0, 1, 4, 7 || || '''10''' || 0, 1, 4, 5, 6, 9 || ||<-2> ... || 제수가 6과 10인 경우는 각각 제수가 3과 5인 경우인 0, 1과 0, 1, 4에서 홀수와 짝수의 경우에 해당한다. 이 성질을 이용해서 어떤 자연수가 제곱수가 아님을 일차적으로 판별할 수 있다. 제곱수를 자연수 [math(n)]으로 나누었을 때, [math(n)] 미만의 제곱수 [math(k^2)] (단, [math(k)]는 음이 아닌 정수)는 항상 나머지로 나올 수 있다. [math(an+k)] (단, [math(a)]는 음이 아닌 정수)의 제곱은 [math((an+k)^2 = a^2n^2+2ank+k^2 = n(a^2n+2ak)+k^2)]이므로 [math(a)]의 값에 관계없이 [math(n)]으로 나눈 나머지가 항상 [math(k^2)]이기 때문이다. 제곱수 [math(k^2)]를 자연수 [math(n)]으로 나누었을 때의 나머지가 [math(m)]이면 [math((k+n)^2)]를 [math(n)]으로 나눈 나머지도 역시 [math(m)]이다. 증명은 다음과 같다. ||먼저 [math(k^2 = an+m)]이라고 가정하자. 이때 다음이 성립한다. * [math((k+n)^2 = k^2+2kn+n^2 = an+m+2kn+n^2 = (a+2k+n)n+m)] 따라서 [math((k+n)^2)]를 [math(n)]으로 나눈 나머지 역시 [math(m)]이다. || 이를 일반화하면, 이때 임의의 자연수 [math(p)]에 대해 [math((k+pn)^2)]를 [math(n)]으로 나눈 나머지도 역시 [math(m)]이다. 증명은 앞의 증명의 계산식을 다음으로 바꾸기만 하면 된다. * [math((k+pn)^2 = k^2+2kpn+p^2n^2 = an+m+2kpn+p^2n^2 = (a+2kp+p^2n)n+m)] 따라서 제곱수를 특정 자연수 [math(n)]으로 나눈 나머지로 나올 수 있는 값을 모두 확인하려면, 1부터 [math(n)]까지의 자연수의 제곱을 [math(n)]으로 나눈 나머지만 모두 확인하면 된다. 1부터 [math(n-1)]까지의 자연수의 제곱을 [math(n)]으로 나눈 나머지와 0의 합집합으로 해도 된다. === 제곱수의 십의 자리 수 === 제곱하기 전의 원래 수 [math(n)]을 10으로 나눈 나머지 [math(k)]가 0, 1, ..., 9인 경우 그 제곱수 [math(n^2)]를 20으로 나눈 나머지 [math(m = n^2 \mod 20)]는 다음과 같다. || [math(k)] || [math(n^2)] || [math(m)] || || 0 || [math((10a)^2=100a^2)] || 0 || || 1 || [math((10a+1)^2=100a^2+20a+1)] || 1 || || 2 || [math((10a+2)^2=100a^2+40a+4)] || 4 || || 3 || [math((10a+3)^2=100a^2+60a+9)] || 9 || || 4 || [math((10a+4)^2=100a^2+80a+16)] || 16 || || 5 || [math((10a+5)^2=100a^2+100a+25)] || 5 || || 6 || [math((10a+6)^2=100a^2+120a+36)] || 16 || || 7 || [math((10a+7)^2=100a^2+140a+49)] || 9 || || 8 || [math((10a+8)^2=100a^2+160a+64)] || 4 || || 9 || [math((10a+9)^2=100a^2+180a+81)] || 1 || 따라서 다음을 알 수 있다. * 제곱수의 십의 자리 수가 홀수인 것과 일의 자리 수가 6인 것이 서로 필요충분조건이다. 즉, 일의 자리 수가 4 또는 6인 자연수를 제곱하면 일의 자리 수는 6이고 십의 자리 수는 홀수며, 그 외의 자연수를 제곱하면 일의 자리 수는 6이 아니고 십의 자리 수도 짝수다. * 제곱수의 일의 자리 수가 4이면 그 십의 자리 수는 항상 짝수이다. === 제곱수의 약수의 개수 (열려있는 사물함) === 열려있는 사물함은 대개 이런 문제로 알려져 있다. >학생 100명이 있고, 사물함이 100개가 있다. >그리고 학생들에게 1부터 100까지의 번호를 부여해주고, 사물함에도 1부터 100까지의 번호를 부여해준다. >사물함은 모두 닫혀있다고 했을때, >>1번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함을 연다. >>2번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함을 닫는다. >>3번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 '''열려있으면 닫고 닫혀있으면 연다.''' >>4번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고 닫혀있으면 연다. >>... >>99번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고, 닫혀있으면 연다. >>100번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고, 닫혀있으면 연다. >자. 그렇다면 100번 학생까지 이 과정을 마쳤을 때, '''열려있는 사물함의 개수는 몇 개일까?''' 이런 문제는 1부터 n까지의 제곱수를 구하면 된다. 원리는 닫혀있으면 열고, 열려있으면 닫는 데에 있다. || '''{{{#D3D3D3 번호}}}''' || '''{{{#D3D3D3 여는 과정}}}''' || '''{{{#D3D3D3 열리거나 닫히는 횟수}}}''' || || 1번 || 열고 || 1번 || || 2번 || 열고 닫고 || 2번 || || 3번 || 열고 닫고 || 2번 || || 4번 || 열고 닫고 열고 || 3번 || |||||| ... || || 99번 || 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 || 6번 || || 100번 || 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 열고 || 9번 || 또한 열리거나 닫히는 횟수는 그 수의 약수의 개수와 일치하는데, 열려있는 번호는 약수의 갯수가 홀수 개다. 이는 '''제곱수의 특징인 약수가 홀수개'''라는 것을 보여준다. ==== 증명 ==== 제곱수의 약수가 홀수 개임을 증명하면 다음과 같다. ||먼저 [math(1^2=1)]의 약수는 1뿐으로 1개이므로 홀수 개이다. 1을 제외한 모든 제곱수는 [math((p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1}p_2^{2a_2} \cdots p_k^{2a_k})] (단, [math(k)]와 [math(a_1)], [math(a_2)], ..., [math(a_k)]는 자연수이고 [math(p_1)], [math(p_2)], ..., [math(p_k)]는 서로 다른 소수)로 나타낼 수 있다. 이 수의 약수는 [math((2a_1+1)(2a_2+1) \cdots (2a_k+1))]개이며, 여기서 [math(2a_1+1)], [math(2a_2+1)], ..., [math(2a_k+1)]은 모두 홀수이므로 이들의 곱인 약수의 개수 역시 홀수이다. 따라서 모든 제곱수의 약수의 개수는 홀수이다. || 이 증명을 통해 다음을 알 수 있다. * 제곱수를 소인수분해한 결과에서 각 소인수의 지수는 모두 짝수이다. === [[바젤 문제|제곱수의 역수의 합]] === [[레온하르트 오일러]]는 제곱수의 역수의 합을 다음과 같이 계산했다. 놀랍게도 결과값으로 [[원주율]]이 튀어나온다. 이외에도 [[푸리에 급수]]를 이용하여 같은 결과를 얻을 수 있다. >[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} \cdots = \frac{\pi^2}{6})] 또한 오일러는 같은 방식으로 네제곱수의 역수합[* [math(\dfrac{\pi^4}{90})]]도 계산해냈다. 이후 이를 일반화한 것이 그 유명한 [[리만 가설|리만 제타 함수]]이다. === 제곱수의 합 === 위에서 제곱수의 역수 합을 구했으니 본래의 제곱수의 합도 구할 수 있는데, 1부터 n까지의 자연수의 제곱수의 합은 다음과 같다. || [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6})] || 증명은 다음과 같다. 이때 1부터 n까지의 자연수의 합이 || [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2})] || 임을 이용한다. ||[math((k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1)]에 [math(k=1,2,\cdots ,n)]을 차례대로 대입하면 다음과 같다. * [math(2^3-1^3 = 3\cdot 1^2+3\cdot 1+1)] * [math(3^3-2^3 = 3\cdot 2^2+3\cdot 2+1)] * [math(\cdots)] * [math(n^3-(n-1)^3 = 3n^2+3n+1)] 위 식을 모두 더하면 다음과 같다. * [math(n^3-1 = 3\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k+n = 3\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n)][* 이 식은 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^2 \frac{(-1)^k}{3} \binom{3}k B_k n^{3-k})]로 변형 가능하다. [math(\binom{3}k)]는 [[조합]], [math(B_k)]는 [[베르누이 수열]]이다.] 이 식을 정리하면 다음과 같다. * [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6})] || 1부터 무한대까지의 제곱수의 합을 구할 때 [[파울하버의 공식|특정한 계산 방법]]을 이용하면 아래와 같이 황당한 상황이 벌어진다. >[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 \cdots = 0)] 0보다 큰 수를 모두 더하면 0이 되어버리는 이변이 생겼다. 사실 이 무한합은 원래라면 무한대로 발산하지만, [[베른하르트 리만]]이 [[제타 함수]]를 [[복소해석학]]을 이용해 [[해석적 연속|해석적으로 확장]]해서 계산해낸 값이다.[* 참고로 짝수 제곱의 무한합은 모두 0이 나오는데, 이를 리만 가설에서의 '자명한 근'이라고 한다. '자명'한 근이라고 불리는 이유에 대해서는 [[베르누이 수열#s-9|문서]] 참조.] == 제곱수의 개수 == 1부터 [math(n)]까지의 자연수 중 제곱수의 개수는 [math(\left\lfloor \sqrt n \right\rfloor)]개이다. 예를 들어 1부터 500까지의 제곱수의 개수는 [math(\left\lfloor \sqrt {500} \right\rfloor = 22)]개이다. == 제곱수 목록 == 1~100까지의 제곱수이다. ~~솔직히 구구단만 하면 1~10까지는 기본이다~~ 1~20까지의 제곱수는 외워두면 좋다. 중학교 수학부터 자주 이용하게 되고 [[고등학교]] [[3학년]]까지 활용할 수 있다. 특히 완전제곱식 꼴의 [[인수분해]]에서 자주 사용된다. === 10000까지의 제곱수 === * [[1]](1), [[4]](2), [[9]](3), [[16]](4), [[25]](5), [[36]](6), [[49]](7), [[64]](8), [[81]](9), [[100]](10) * [[121]](11), [[144]](12), [[169]](13), [[196]](14), [[225]](15), [[256]](16), [[289]](17), [[324]](18), [[361]](19), [[400]](20) * [[441]](21), [[484]](22), [[529]](23), [[576]](24), [[625]](25), [[676]](26), [[729]](27), [[784]](28), [[841]](29), [[900]](30) * [[961]](31), [[1024]](32), [[1089]](33), 1156(34), 1225(35), 1296(36), [[1369]](37), [[1444]](38), 1521(39), 1600(40) * 1681(41), 1764(42), 1849(43), 1936(44), 2025(45), 2116(46), 2209(47), 2304(48), [[2401]](49), [[2500]](50) * 2601(51), 2704(52), 2809(53), 2916(54), 3025(55), 3136(56), 3249(57), 3364(58), 3481(59), [[3600]](60) * 3721(61), 3844(62), 3969(63), [[4096]](64), 4225(65), 4356(66), 4489(67), 4624(68), 4761(69), 4900(70) * [[5041]](71), 5184(72), 5329(73), 5476(74), 5625(75), 5776(76), 5929(77), 6084(78), 6241(79), 6400(80) * 6561(81), 6724(82), 6889(83), 7056(84), 7225(85), 7396(86), 7569(87), 7744(88), 7921(89), 8100(90) * 8281(91), 8464(92), 8649(93), 8836(94), 9025(95), 9216(96), 9409(97), 9604(98), [[9801]](99), [[10000]](100) == 바리에이션 == 어떤 자연수를 세 번 곱해서 나오는 자연수를 세제곱수라고 하며, 네 번 곱하면 네제곱수 등으로 부른다. 이 중 세제곱수는 정육면체, 네제곱수는 정팔포체 배열을 할 수 있다. 두 자연수 [math(m)], [math(n)]에 대해서, 어떤 자연수 [math(k)]의 [math(mn)]제곱은 항상 [math(m)]제곱수이자 [math(n)]제곱수이다. [math(k^{mn}=(k^m)^n=(k^n)^m)]이기 때문이다. === 10000까지의 세제곱수 === * [[1]](1), [[8]](2), [[27]](3), [[64]](4), [[125]](5), [[216]](6), [[343]](7), [[512]](8), [[729]](9), [[1000]](10) * [[1331]](11), [[1728]](12), [[2197]](13), 2744(14), 3375(15), [[4096]](16), 4913(17), 5832(18), 6859(19), [[8000]](20), 9261(21) === 10000까지의 네제곱수 === * [[1]](1), [[16]](2), [[81]](3), [[256]](4), [[625]](5), [[1296]](6), [[2401]](7), [[4096]](8), 6561(9), [[10000]](10)[* 네제곱수는 제곱수의 제곱이므로, 네제곱수는 모두 2제곱수이다.] == [[유리수]]에서 == [math(\dfrac{101}{99^3}=\dfrac{101}{970299})]를 소수로 계산하면 [math(0.00\red {01}04\red {09}16\red {25}36\red {49}64 \cdots)]와 같이 제곱수가 나타난다. 마찬가지로 [math(\dfrac{1001}{999^3}=\dfrac{1001}{997002999})]를 소수로 계산하면 [math(0.000\red {001}004\red {009}016\red {025}036\red {049}064\red {081}100\red {121}144 \red{169}196 \red{225} \cdots)]과 같이 제곱수가 나타난다. 이를 일반화하면 다음과 같다. [math(\displaystyle \frac{10^n+1}{(10^n-1)^3} = 0^2\cdot (\frac{1}{10})^n + 1^2\cdot (\frac{1}{10})^{2n} + 2^2\cdot (\frac{1}{10})^{3n} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} (k-1)^2\cdot (\frac{1}{10})^{kn})] == 관련 문서 == * [[삼각수]] * [[오각수]] * [[제타 함수]] [[분류:제곱수]]캡챠되돌리기