문서 보기문서 편집수정 내역 유효한 가장 큰 수 (덤프버전으로 되돌리기) [목차] == 개요 == '''Largest valid googologism''' [[https://googology.wikia.org/wiki/Largest_valid_googologism|Googology Wiki 설명 페이지]] [[큰 수]]들 중에서도 가장 큰 수라고 여겨지는 수는 '''유효한 가장 큰 수'''라는 타이틀이 붙는다. == 상세 == 기존의 정의에다가 추가 개념 없이 숫자만 늘리거나 [[합성함수|함수를 여러번 합성]]했을 때의 경우는 이 타이틀을 얻을 수 없다. 이러한 방법으로 만들어진 수는 샐러드 수(Salad number)라고 불리며 큰 수 연구자들이 가장 큰 수를 얘기할 때에는 아예 무시된다. [[라요 수]]를 예로 들면, 라요 함수가 처음 만들어지고 누군가가 라요 함수를 그대로 이용해서 라요 함수 자체를 재귀한 [math(\text{Rayo}(\text{Rayo}(10^{100})))] 을 만들어 새로운 가장 큰 수를 만들었다고 주장한다면 그 수를 가장 큰 수로 인정하지 않고 원작자가 정의한 [math(\text{Rayo}(10^{100}))]를 가장 큰 수로 인정하는 것이다. 샐러드 수까지 인정해버리면 '유효한 가장 큰 수'라는 타이틀이 의미가 없어지고, 거의 무한대로 늘어나기 때문에[* 다만 TREE(3)부터는 재귀만 해서는 다음 단계로 넘어가는 것부터가 이미 택도 없다.] 제외하는 게 당연하다. 물론 이는 '유효한' 가장 큰 수를 거론할 때에만 해당이고 단순히 큰 수를 만들고 싶을 경우는 얼마든지 만들 수 있다. 실제로 큰 수를 다루는 Googology 위키의 큰 수 목록에 있는 수들 중 많은 수들이 샐러드 수이다. 타이틀이 타이틀인 만큼 많은 큰 수 학자들이 관심을 기울인 부분이기 때문에 유효한 가장 큰 수는 꽤 긴 역사를 거쳐 왔다. [[그레이엄 수]]처럼 수학적 증명에서 사용된 수도 있지만, 수학적 의미만 갖거나 그마저도 내다버리고 만드는 것은 대부분 수학적 증명에 쓰인 것보다 크기가 크다. 다만 [[테트레이션]] 이상의 연산이 본격적으로 연구된 것은 20세기 이후의 일이다. === [[모우저]] === [include(틀:상세 내용,문서명=모우저)] 이 수가 처음 정의된 년도는 정확히는 모를지언정 [[https://googology.fandom.com/wiki/Steinhaus-Moser_Notation|스테인하우스-모저 기수법]]이 처음 정의된 년도는 1950년으로 [[커누스 윗화살표 표기법]]이 처음 정의된 1976년보다 훨씬 빠르고 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Leo_Moser|리오 모저]]와 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Hugo_Steinhaus|후고 스테인하우스]]의 각각 1970년, 1972년에 사망한 점을 고려하면 그레이엄 수가 처음 정의된 1977년보다 빠르다는 것은 확실해 보인다. === [[그레이엄 수]] === [include(틀:상세 내용,문서명=그레이엄 수)] [math(G(64))] 1977년 처음 정의된 이후로 2002년까지 무려 '''25년간''' 유효한 가장 큰 수였다. 사실 모우저를 단순히 재귀하는 방법만으로도 만들어 낼 수 있는 크기[* 모우저를 63번 재귀하면 그레이엄수 보다도 더 큰 수가 나온다. 후술할 콘웨이의 테트라트리도 마찬가지이다.]이고 커누스 윗화살표 표기법의 성장률도 스테인하우스-모저 기수법과 비교해보면 상대적으로 월등하지 않지만[* 둘 다 [[fgh]] 기준 [math(f_{\omega}(n))] 정도의 성장률을 갖는다. 다만 커누스 윗화살표 표기법은 하이퍼 연산의 표기법을 정립한 것에 의미를 둘 수 있다.] 수학적 증명에서 사용된 수로서의 의미가 크다. === 콘웨이의 테트라트리 === [math(3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3)] 2002년 [[존 호튼 콘웨이]]가 [[콘웨이 연쇄 화살표 표기법|자신의 화살표 표기법]]을 이용해 정의한 수. [[그레이엄 수]]보다 크지만 G(G(27))보다도 작아서 G(64)를 1회만 재귀한 G(G(64))만 해도 이보다 커지므로 차원이 다를 정도로 큰 것은 아니다. 여기서 중요한 것은 이 수 자체의 크기가 아니라 '''[[콘웨이 연쇄 화살표 표기법]]을 사용했다는 점이다.''' === [[TREE(3)]] === [include(틀:상세 내용,문서명=TREE(3))] 2002년 [[그레이엄 수]]보다 훨씬 더 큰 수로 알려진 수. === [[피쉬 수]] 4 === [include(틀:상세 내용,문서명=피쉬 수,문단=4)] [math(F^{63}_4(3))] 2002년 일본의 2ch 큰 수 스레에서 탄생한 계산 불가능한 큰 수. [[바쁜 비버]]의 존재가 알려지고, [[피쉬 수]] 3에 [[튜링 머신]]을 접목시켜 매우 빠르게 성장한다. === [[라요 수]] === [include(틀:상세 내용,문서명=라요 수)] [math(\text{Rayo}(10^{100}))] 2007년에 1차 [[집합론]]을 이용해 정의된 수. 이는 바쁜 비버 함수보다 훨씬 빠르게 성장한다. === [[피쉬 수]] 7 === [include(틀:상세 내용,문서명=피쉬 수,문단=4)] [math(F^{63}_7(10^{100}))] 2013년에 라요 함수를 [[튜링 머신]]의 오라클과 같이 확장하여 피쉬 수 6을 접목시킨 강력한 함수를 이용해 정의된 7번째 [[피쉬 수]]이다. === [[거대수 정원수]] === [include(틀:상세 내용,문서명=거대수 정원수)] [math(f^{10}(10\uparrow^{10}10))][* [math(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow10)))))))))))] ] 2019년 12월 일본의 P進大好きbot이라는 유저가 정의한 수이다.([[https://googology.wikia.org/wiki/Large_Number_Garden_Number|Large Number Garden Number]])[* 일본 원어명은 巨大數庭園數, [[신자체]]로는 巨大数庭園数로 표기되어 있다.] 임의의 고차 집합론에서 정의되는 수보다 더 크다. == 오류수 == 한때 유효한 가장 큰 수로 받아들여졌으나 후에 오류가 밝혀진 수들이다. === [[빅풋]] === '''BIG FOOT''' [[https://googology.wikia.org/wiki/BIG_FOOT|Googology Wiki 페이지]] [math(\text{FOOT}^{10}(10^{100}))][* = FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(10^^100^^))))))))))] 빅풋은 2014년에 Googology Wiki의 유저 LittlePeng9이 정의한 [[큰 수]]로, 이전의 가장 큰 수였던 라요 수에 쓰인 Rayo(n) 함수의 정의에 쓰인 first-order set theory(1차 집합론)를 확장하여 새로운 [[https://googology.wikia.org/wiki/User_blog:LittlePeng9/First_order_oodle_theory|'''F'''irst-'''O'''rder '''O'''odle '''T'''heory]]를 이용한 'FOOT 언어에서 최대 n개의 기호를 이용하여 정의될 수 있는 가장 큰 자연수'로 정의되는 FOOT(n) 함수를 이용해 정의됐다. 라요 수와 비슷한 개념이지만 독자적인 새로운 정의를 만들어 사용했기 때문에 새로운 가장 큰 수로 인정받을 수 있었다. 성장률도 기존의 라요수를 수없이 확장한 고차 라요 함수로 만든 [[피쉬 수]] 7보다 월등하다. ==== 오류 ==== 이 first-order oodle theory에는 멱집합과 외연 공리 이외의 공리에 대한 구체적인 설명이 없어 결과적으로 이 집합 이론은 모순을 일으키고 잘못 정의되었음이 증명된다. === 리틀 바이겟돈 & [[사스콰치]] === 2017년 Emlightened라는 유저가 리틀 바이겟돈([[https://googology.wikia.org/wiki/Little_Bigeddon|Little Bigeddon]])이라는 수를 정의했다. 라요 수와 빅풋에 쓰인 집합론 언어 [math(\mathcal L = \{\in\})]에 삼진 진실 술어(trinary truth predicate) [math(T)]와 랭크(Rank) 변수를 추가해 확장한 언어 [math(\mathcal L = \{\in,T\})]를 이용하여 '[math(\mathcal L=\{\in,T\})]에서 정량자 랭크 [math(\leq 12\uparrow\uparrow 12)]인 식 [math(\exists\lnot a(\varphi(a))\land\varphi(k))]에서 단항 공식 [math(\varphi)]가 존재하는 가장 큰 [math(k)]'로 정의했다. 이 수는 일반적으로 빅풋보다 큰 수로 여겨져서 리틀 바이겟돈이 빅풋의 '유효한 가장 큰 수' 타이틀을 뺏었다. 그리고 집합론 언어를 다르게 확장하여 '[math(Q(a,b) \leftrightarrow R(a)=b)]인 언어 [math(\{\bar\in,Q\})]에서 정량자 랭크 [math(\leq 12\uparrow\uparrow 12)]인 식 [math(\exists ! a (\phi(a)) \wedge \phi(k))]에서 단항 공식 [math(\phi)]가 존재하는 가장 큰 [math(k)]'로 정의되는 사스콰치(빅 바이겟돈)([[https://googology.wikia.org/wiki/Sasquatch|Sasquatch]])를 만들기도 했다. ==== 오류 ==== 리틀 바이겟돈은 P進大好きbot이 수많은 오류가 있음을 증명했는데, 대표적으로 [math(T)]의 정의에서, [math(\forall e \exists ! f(d = \langle e, f \rangle))]를 만족시키는 [math(d \in c)]가 존재하지 않는다. 즉, [math(T)]는 항상 거짓이 되므로 잘 정의 될 수 없다. 마찬가지로 P進大好きbot이 사스콰치 역시 잘못 정의되었음을 밝혔다. 왜냐하면 [math(R)]은 조건 [math((\bar\in,R,F)\vDash t\text{ is an ordinal})]을 상정한 후 정의 되는데, 이는 [[순환 논법]]이기 때문이다. === [[오블리비언]] & 어터 오블리비언 === 2016년 미국의 아마추어 수학자이자 큰 수 학자인 조너선 바워스(Jonathan Bowers)[* 큰 수 표기법인 [[Bowers Exploding Array Function|BEAF]]를 만든 사람이기도 하다.]가 이론상으로 오블리비언([[https://googology.wikia.org/wiki/Oblivion|Oblivion]])을 만들었다. "라요 수와 빅풋보다 큰 수를 만들 수는 없을까?"라는 단순한 생각에서 시작해 여러가지 방법을 써보다가 하나의 이론적 수학 시스템을 생각해낸다. 'n개의 기호만을 이용해 설명될 수 있는 완전하고 잘 정의된 수학의 시스템'으로 정의되는 K(n) 시스템을 생각해내는데, 오블리비언은 'K({10,10(100)2}) 시스템에서 {X,100,3} & 10개의 기호만을 이용하여 유일하게 정의될 수 있는 가장 큰 유한한 수'로 정의된다. 그는 라요 함수의 집합론과 FOOT 함수가 K(10000) 시스템일 것으로 예상했다. 바워스는 빅풋 [math(\text{FOOT}^{10}(10^{100}))]에서 [math(\text{FOOT}^{10})]의 '10'을 주목했는데, 이 10이 K(10000) 시스템에서 시작해 최대값 MK(10000)을 찾고 K(MK(10000)) 시스템을 이용하고 같은 방법으로 이것을 10번 반복한다는 의미일 경우 오블리비언이 빅풋보다 작은 수가 되기 때문에 이 경우를 생각해 정의를 확장해서 K(m-1)(n) (m-1)-시스템들을 만들 수 있는 Km(n) m-시스템이라는 것을 생각해내고 '오블리비언이 하나의 기호로 표현될 수 있는, K(오블리비언) 시스템이 포함된 K2(오블리비언) 2-시스템이 포함된 K3(오블리비언) 3-시스템이 포함된 K4(오블리비언) 4-시스템이 포함된 ... 이 포함된 K오블리비언(오블리비언) 오블리비언-시스템에서 오블리비언개의 기호만을 이용하여 유일하게 정의될 수 있는 유한한 가장 큰 수'로 정의되는 어터 오블리비언([[https://googology.wikia.org/wiki/Utter_Oblivion|Utter Oblivion]])을 만든다. 나중에 그는 10이 단순히 함수가 여러번 합성됐다는 의미인 함수 지수였다는 것을 확인했고 이 경우에는 K(n) 시스템이 정말 존재하는 개념이라면 K(n) 시스템에 10000은 물론 BEAF 배열 안의 숫자의 개수 마저 [[그레이엄 수]]를 훨씬 뛰어넘는 {X,100,3} & 10과 {10,10(100)2}가 쓰인 오블리비언은 빅풋과도 비교할 수 없는 엄청나게 큰 수가 된다. ==== 오류 ==== 위의 오류수보다도 오류가 더 많다. 증명이랄 것도 없이 당연하지만, 정의에 사용된 K(n) 시스템이 이론상으로만 설명됐을 뿐 무엇인지 제대로 나와있지 않는 데다 실제로 존재하는지 증명되지 않고, '''[[BEAF]]의 상위 정의 마저 오류가 있어서''', 제대로 정의되지 않는다. 그럼에도 불구하고 [[거대수 정원수]]보다 오블리비언, 어터 오블리비언이 더 크다고 표현하는 잘못된 유튜브 영상들이 많다. 애초에 오블리비언의 정의에 있는 '''기호로 표현 가능한 잘 정의된 시스템'''에서 기호가 무엇인지와 시스템이 무엇인지도 정의되어 있지 않기 때문에 의도된 값으로는 정의될 수 없는 시스템이다. 만약에 진짜 수학 그 자체를 기호로 표현한다 하면 그 기호가 무엇인지부터 정해야 하는데 이게 합의되어 있지 않아서 다른 오류수와는 다르게 제대로 정의하는 것이 불가능하다. 설령 정의한다 하더라도 계산 가능한 함수 범위 수준의 값 밖에 나오지 않을 수도 있다. 진짜 제대로 정의하고 싶다면 [[BEAF]]의 잘못된 상위 정의부터 정정해야된다. [[분류:큰 수]]캡챠되돌리기