문서 보기문서 편집수정 내역 아인슈타인 표기법 (r0 버전으로 되돌리기) [include(틀:상대성 이론)] [목차] == 개요 == {{{+1 Einsteinsche Summenkonvention / Einstein [[表]][[記]][[法]]}}} '''아인슈타인 표기법 / 아인슈타인 합 규약'''은 주로 [[상대성 이론]]에서 사용되는 [[선형대수학]]의 표기를 쉽게 하기 위해 [[알베르트 아인슈타인]]이 1916년에 고안해낸 표기법이다.[* A. Einstein (1916), "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie", Annalen der Physik; Volume 354, Issue 7: 769-822 [[https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/312]]][* Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman [[http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf]]] == 규칙 == 예를 들어, 다음과 같은 [math( 3 \times 3 )] [[행렬(수학)|행렬]] [math( \mathrm{A} )]와 [math( 3 \times 1 )] 행벡터 [math( \mathbf{x}, \mathbf{y} )]를 생각하자. ||[math( \mathrm{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} , \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}, \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} )] || (단, [math( x^i )]는 [[거듭제곱|x의 i제곱]]이라는 뜻이 아니고 그냥 첨자를 위에 붙인 것이다.) 이때 [[행렬곱]]을 이용한 식 [math( \mathbf{y} = \mathrm{A} \mathbf{x} )]를 성분별로 표시하고 싶다면, 다음과 같은 식으로 표현하면 된다. ||[math( \displaystyle y_i = \sum_{j=1}^3 a_{ij} x^j \quad (i = 1,2,3))] || 예를 들어, [math( i = 2 )]일 때 [math( y_2 = a_{21} x^1 + a_{22} x^2 + a_{23} x^3 )]이다. 여기서 아인슈타인 합 규약의 핵심은 '''시그마 기호'''와 [math( (i=1,2,3) )]를 생략하는 것이다. 상대성 이론의 수식들은 [[노가다(수학)|이러한 합 기호가 너무 많이 등장해서]] 일일이 다 쓰기에는 시간낭비이기 때문이다. 따라서 아인슈타인 합 규약을 이용하여 위 식을 쓰면 다음과 같다. ||[math( \displaystyle y_i = a_{ij} x^j )] || 이렇게 하면 [[행렬곱]]을 문자 단 3개와 첨자로 짧게 나타낼 수 있으며, 시그마 기호는 생략되어 있다. 구체적으로 아인슈타인 합 규약의 규칙은 다음과 같다. 1. 하나의 항 안에 같은 문자로 된 위 첨자와 아래 첨자가 존재한다면(예: [math( a_i b^i )]), 합 기호 [math( \displaystyle \sum_{i=1}^3 )]가 생략된 것으로 본다. 이러한 문자 [math( i )]를 dummy index라고 한다. 1. 하나의 항 안에 위 첨자와 아래 첨자가 짝을 이루지 않고 하나만 존재한다면(예: [math( x_i = y_i )]), 이는 [math( i=1,2,3 )]을 대입해서 만들 수 있는 3개의 등식을 한번에 쓴 것이다. 이러한 문자 [math( i )]는 free index라고 한다. 또한 규칙에 따르면 [math( y_k = a_{ij} x^j )]와 같은 식은 문자가 좌변에 k, 우변에 i로 서로 다르므로 의미가 없다. 따라서 free index는 양변에 같이 존재해야만 한다. == 기타 == * [[상대성 이론]]에서는 보통 첨자를 [[알파벳]]으로 쓰면 1~3까지 더하고, [[그리스 문자]] 첨자는 0~3까지 더하는 것을 의미한다. 따라서 [math( a_i b^i = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 )]이지만 [math( a_\mu b^\mu = a_0 b^0 + a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 )]이다. * 미분연산자의 분모에는 위 첨자가 들어가더라도 아래 첨자로 간주한다. 예를 들어 [math( \displaystyle a^i \frac{\partial}{\partial x^i} )]는 분모에 [math(i)]가 위 첨자로 들어가 있지만 [math( i )]에 대한 합을 계산해야 한다.[* 이는 contravariant(위 첨자)에 대한 미분 그 자체는 covariant(아래 첨자)로 볼 수 있기 때문이다.] * 반변벡터는 주로 위첨자, 공변벡터는 주로 아래첨자를 사용한다. * [[파이썬]] 패키지 [[NumPy]]에서 {{{#!syntax python np.einsum }}}으로 사용 가능하다. == 예시 == * [[내적]]: [math(\mathbf{a \cdot b} = a^i b_i)][* 내적은 아인슈타인 표기법보다는 [[폴 디랙]]이 고안한 표기인 [[디랙 표기법|[math(\left< a|b \right>)]]]를 쓰는 경우가 훨씬 많다.] * [[연쇄법칙]]: [math(\dfrac{{\rm d}f}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm{d}}f}{{\rm{d}}x^i} \dfrac{{\rm{d}}x^i}{{\rm{d}}t})] == 관련 문서 == * [[아인슈타인 방정식]] [[분류:상대성 이론]]캡챠되돌리기