문서 보기문서 편집수정 내역 사차함수 (r0 버전으로 되돌리기) [[분류:초등함수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]] [include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[四]][[次]][[函]][[數]] / quartic function}}} [[다항함수]] 중에서 최고차항의 차수가 4인 함수. 따라서 모든 사차함수는 다항함수이다. 미분하면 [[삼차함수]]가 되며, 부정적분하면 [[다항함수#s-4.6|오차함수(5차함수)]][*주의 '오차함수'는 quintic function(5차함수)과 error function(특수한 [[지수함수]] 역도함수) 두 종류가 있는데, 여기서 말하는 오차함수는 전자이고 나무위키의 [[오차함수]] 문서에 서술되어 있는 것은 후자다.]가 된다. 사차함수의 일반형은 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\quad(a\neq 0))]}}} == [[도함수]] == 사차함수 [math(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)]의 도함수는 다음과 같은 [[삼차함수]]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d)]}}} == [[역도함수]] == 사차함수 [math(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)]의 역도함수는 다음과 같은 오차함수[*주의]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\int f(x)\;{\rm d}x=\dfrac{ax^5}{5}+\dfrac{bx^4}{4}+\dfrac{cx^3}{3}+\dfrac{dx^2}{2}+ex+\textsf{const.})]}}} [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.[* 고등학교에서는 [math(C)]로 쓰는데, [math(\textsf{const.})]나 [math(C)]나 상수를 뜻하는 영단어 constant에서 온 것이다.] == [[역함수]] == 모든 사차함수는 일대일대응이 아니므로 원칙적으로 사차함수의 역함수란 존재하지 않는다. 따라서 역함수를 양함수로 표현하기 위해서는 [[조각적 정의|조각적으로 정의]]하여야 한다. == 그래프의 개형 == 사차함수의 그래프의 개형은 크게 '''20가지'''가 있다. 서로 상하 대칭과 좌우 대칭이 될 수 있는 개형은 같은 것으로 본다면 근본적으로는 ①, ②, ③, ⑤, ⑦, ⑨의 총 여섯 가지가 있는 셈이다. 최고차항의 계수가 양수이면 [math(+)], 음수이면 [math(-)]를 붙이기로 한다. 이 문서에서 그래프의 개형에 붙인 명칭은 설명의 편의를 위한 지극히 임의적인 것이지 공인되는 명칭이 아님을 일러둔다. ||<-5> '''{{{+5 {{{#white +}}}}}}''' || || '''{{{+3 ①+}}}'''[br][[파일:안커여운1+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ②+}}}'''[br][[파일:안커여운2+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ③+}}}'''[br][[파일:안커여운3+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ④+}}}'''[br][[파일:않귀여운4+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑤+}}}'''[br][[파일:안귀여운5+.png|width=150&height=150]] || || '''{{{+3 ⑥+}}}'''[br][[파일:안커여운6+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑦+}}}'''[br][[파일:안커여운7+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑧+}}}'''[br][[파일:안커여운8+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑨+}}}'''[br][[파일:안커여운9+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑩+}}}'''[br][[파일:안커여운10+.png|width=150&height=150]] || ||<-5> '''{{{+5 {{{#white -}}}}}}''' || || '''{{{+3 ①-}}}'''[br][[파일:안커여운1-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ②-}}}'''[br][[파일:안커여운2-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ③-}}}'''[br][[파일:안커여운3-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ④-}}}'''[br][[파일:안커여운4-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑤-}}}'''[br][[파일:안커여운5-.png|width=150&height=150]] || || '''{{{+3 ⑥-}}}'''[br][[파일:안커여운6-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑦-}}}'''[br][[파일:안커여운7-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑧-}}}'''[br][[파일:안커여운8-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑨-}}}'''[br][[파일:안커여운9-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 ⑩-}}}'''[br][[파일:않귀여운10-.png|width=150&height=150]] || === ①+ === 개형 ①+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 아래로 볼록하며 좌우 대칭([[우함수]])이다. 최고차항의 계수가 양수인 [[이차함수]]의 그래프와 전체적인 개형이 같다. ①+ 개형 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=a)]에 대하여 대칭이면, 단 하나의 극솟값 [math(f(a))]만을 갖고 극댓값은 갖지 않는다. 극솟값은 최솟값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ①+가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점이 [math(x)]축 위에 있다.}}}|| 위 조건을 만족시키는 도함수는 삼차함수의 개형 ②와 개형 ③이 된다. 다시 말해서 그래프가 ①+ 개형인 사차함수의 도함수는 개형 ②, ③이다. 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수1.png]] 왼쪽 도함수는 방정식 [math(f'(x)=0)]이 삼중근 [math(x=a)]를 갖는 반면 오른쪽 도함수는 [math(x=a)]가 삼중근이 아닌 단일근이다. 이에 따라, 왼쪽 원시함수는 최솟값이 0인 경우에 한하여 방정식 [math(f(x)=0)]이 사중근 [math(x=a)]를 갖는 반면 오른쪽 원시함수는 [math(x=a)]가 사중근이 아닌 그냥 중근이다. 그 이유는 다음과 같다. 먼저 왼쪽 도함수는 삼중근 [math(x=a)]를 가지므로 [math(f'(x)=k(x-a)^3)] [math((k>0))]이다. 이를 [[부정적분]]하면 [math(f(x)=\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+ \rm C)]이다. 최솟값이 0인 경우란, 그래프를 보면 느낄 수 있듯이 다름 아닌 [math(\rm C=0)]인 경우를 말한다. 그러면 방정식 [math(\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4=0)]은 사중근 [math(x=a)]를 가질 수밖에 없다. 반면, 오른쪽 도함수는 단일근 [math(x=a)]를 가지며 기함수인 삼차함수의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(a)]만큼 평행이동한 그래프를 갖는다. 기함수는 홀수 차수 항만을 가지므로 임의의 기함수인 삼차함수의 식은 [math(g(x)=kx^3+lx)] [math((k>0, l>0))][* [math(l>0)]이어야 [math(g'(x))]가 [math(\rm D<0)]이 되어 [math(g(x))]의 그래프의 개형이 위 그래프의 오른쪽 도함수와 같이 된다. [math(l=0)]이면 [math(\rm D=0)]이 되고 [math(l<0)]이면 [math(D>0)]이 되어, [math(g(x))]의 그래프의 개형이 위 그래프의 오른쪽 도함수와 같이 될 수 없다.]로 쓸 수 있다. 이를 [math(x)]축 방향으로 [math(a)]만큼 평행이동하면 이에 따라 [math(f'(x)=k(x-a)^3+l(x-a))]이다. 이를 [[부정적분]]하면 [math(f(x)=\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+\frac{l}{2}(x-a)^2+\rm C)]이다. 최솟값이 0인 경우란, 그래프를 보면 느낄 수 있듯이 다름 아닌 [math(\rm C=0)]인 경우를 말한다. 그러면 방정식 [math(\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+\frac{l}{2}(x-a)^2=0)]을 얻을 수 있는데, 이는 [math((x-a)^2\{\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}\}=0)]으로 인수분해된다. 여기에서 [math(\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}=0)]은 [math(k>0, l>0)]이므로 그래프가 [math(x)]축보다 위에 있게 되어 실근을 갖지 않는다. 따라서 방정식 [math((x-a)^2\{\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}\}=0)]의 근은 중근 [math(x=a)]뿐이다. === ①- === 개형 ①-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록하며 좌우 대칭([[우함수]])이다. 최고차항의 계수가 음수인 [[이차함수]]의 그래프와 전체적인 개형이 같다. 개형 ①-의 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=a)]에 대하여 대칭이면, 단 하나의 극댓값 [math(f(a))]만을 갖고 극솟값은 갖지 않는다. 극댓값은 최댓값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ①-가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점이 [math(x)]축 위에 있다.}}}|| 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ⑤와 개형 ⑥이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ①-인 사차함수의 도함수는 개형 ⑤와 개형 ⑥이다. 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수1-.png]] 왼쪽 도함수는 방정식 [math(f'(x)=0)]이 삼중근 [math(x=a)]를 갖는 반면 오른쪽 도함수는 [math(x=a)]가 삼중근이 아닌 단일근이다. 이에 따라, 왼쪽 원시함수는 최솟값이 0인 경우에 한하여 방정식 [math(f(x)=0)]이 사중근 [math(x=a)]를 갖는 반면 오른쪽 원시함수는 [math(x=a)]가 사중근이 아닌 그냥 중근이다. 그 이유는 바로 위 문단 ①+에서 설명했으므로 생략한다. 개형 ①+과 모양만 상하로 반대일 뿐이지 논리는 다 같은 것이다. === ②+ === 개형 ②+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 좌우 대칭([[우함수]])이다. 가운데에 극대점이 있으며 극대점의 좌하단과 우하단에 [math(y)]좌표가 서로 같은 극소점이 하나씩 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ②+가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}=\beta)] ([math(\alpha, \beta, \gamma)]가 등차수열을 이룬다.)}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수2+.png]] 먼저, 사차함수의 그래프가 극점을 세 개 가지려면 도함수 역시 [math(x)]축과 '''세 번''' 만나야 한다. 그러러면 삼차함수의 특성상 위 그림처럼 극대점과 극소점 사이로 [math(x)]축이 지나가는 모양새가 되어야 한다. 곧, 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다. [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]와 같다고 할 수 있다. 그러면 ②+ 개형이 완성된다. 그러려면 [[삼차함수]]의 성질에 따라 [math((\beta,0))]이 [math(f'(x))]의 그래프의 [[변곡점]]이어야 한다. 여기에서 [math(x)]축은 변곡점을 지나는 직선이므로, [math(\alpha, \beta, \gamma)]는 [[등차수열]]을 이룰 수밖에 없다. 1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 [math(y)]값이 같다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 ②+로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ①이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ②+인 사차함수의 도함수는 개형 ①이다. === ②- === 개형 ②-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 좌우 대칭([[우함수]])이다. 가운데에 극소점이 있으며 극소점의 좌상단과 우상단에 [math(y)]좌표가 서로 같은 극대점이 하나씩 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ②-가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}=\beta)] ([math(\alpha, \beta, \gamma)]가 등차수열을 이룬다.)}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수2-.png]] 먼저, 사차함수의 그래프가 극점을 세 개 가지려면 도함수 역시 [math(x)]축과 '''세 번''' 만나야 한다. 그러러면 삼차함수의 특성상 위 그림처럼 극대점과 극소점 사이로 [math(x)]축이 지나가는 모양새가 되어야 한다. 곧, 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다. [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]와 같다고 할 수 있다. 그러면 ②- 개형이 완성된다. 그러러면 [[삼차함수]]의 성질에 따라 [math((\beta,0))]이 [math(f'(x))]의 그래프의 [[변곡점]]이어야 한다. 여기에서 [math(x)]축은 변곡점을 지나는 직선이므로, [math(\alpha, \beta, \gamma)]는 [[등차수열]]을 이룰 수밖에 없다. 1번과 2번 조건만으로는 두 극대점의 [math(y)]값이 같다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 ②-로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ④가 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ②-인 사차함수의 도함수는 개형 ④이다. === ③+ === 개형 ③+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 두 개와 극댓값 한 개를 갖는다. 극대점의 [math(x)]좌표가 극소점 두 개의 [math(x)]좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극솟값이 오른쪽의 극솟값보다 크다. 오른쪽의 극솟값이 최솟값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ③+가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x<0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x<0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta)]}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수3+.png]] 1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 [math(y)]값이 다르다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 ③+로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ①이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ③+인 사차함수의 도함수는 개형 ①이다. === ③- === 개형 ③-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 두 개와 극솟값 한 개를 갖는다. 극소점이 극대점 두 개의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극댓값이 오른쪽의 극댓값보다 작다. 오른쪽의 극댓값이 최댓값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ③-가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta)]}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수3-.png]] [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]보다 작다고 할 수 있다. 그러면 ③- 개형이 완성된다. 1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 [math(y)]값이 다르다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 ③-로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ④가 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ③-인 사차함수의 도함수는 개형 ④이다. === ④+ === 개형 ④+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 두 개와 극댓값 한 개를 갖는다. 극대점의 [math(x)]좌표가 극소점 두 개의 [math(x)]좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극솟값이 오른쪽의 극솟값보다 작다. 왼쪽의 극솟값이 최솟값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ④+가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}<\beta)]}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수4+.png]] [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]보다 작다고 할 수 있다. 그러면 ④+ 개형이 완성된다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ①이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ④+인 사차함수의 도함수는 개형 ①이다. === ④- === 개형 ④-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 두 개와 극솟값 한 개를 갖는다. 극소점의 [math(x)]좌표가 극대점 두 개의 [math(x)]좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극댓값이 오른쪽의 극댓값보다 크다. 왼쪽의 극댓값이 최댓값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ④-가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta)]}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수4-.png]] [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]보다 작다고 할 수 있다. 그러면 ④- 개형이 완성된다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ④가 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ④-인 사차함수의 도함수는 개형 ④이다. === ⑤+ === 개형 ⑤+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 극소점의 좌상단에는 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 하나 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑤+가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''중근 [math(\boldsymbol {x=\alpha})]와 단일근 [math(\boldsymbol {x=\beta})]'''([math(\alpha<\beta)])를 갖는다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수5+.png]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ①이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑤+인 사차함수의 도함수는 개형 ①이다. === ⑤- === 개형 ⑤-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 극대점의 좌하단에는 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 하나 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑤-가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''중근 [math(\boldsymbol {x=\alpha})]와 단일근 [math(\boldsymbol {x=\beta})]'''([math(\alpha<\beta)])를 갖는다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수5-.png]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ④가 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑤-인 사차함수의 도함수는 개형 ④이다. === ⑥+ === 개형 ⑥+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 극소점의 우상단에는 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 하나 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑥+가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''단일근 [math(\boldsymbol {x=\alpha})]와 중근 [math(\boldsymbol {x=\beta})]'''([math(\alpha<\beta)])를 갖는다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수6+.png]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ①이 된다. 다시 말해서 그래프가 ⑥+ 개형인 사차함수의 도함수는 개형 ①이다. === ⑥- === 개형 ⑥-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 극대점의 우하단에는 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 하나 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑥-가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''단일근 [math(\boldsymbol {x=\alpha})]와 중근 [math(\boldsymbol {x=\beta})]'''([math(\alpha<\beta)])를 갖는다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수6-.png]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ④가 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑥-인 사차함수의 도함수는 개형 ④이다. === ⑦+ === 개형 ⑦+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 개형 ⑤+와 비슷하지만 개형 ⑤+와는 달리 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 없다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑦+가 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수의 극댓값이 음수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:커여운7+.jpg|width=180]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ①이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑦+인 사차함수의 도함수는 개형 ①이다. === ⑦- === 개형 ⑦-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 개형 ⑤-와 비슷하지만 개형 ⑤-와는 달리 접선의 기울기가 0인 점이 1개이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑦-가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수의 극솟값이 양수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여어운7-.jpg|width=180]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ④가 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑦인 사차함수의 도함수는 개형 ④이다. === ⑧+ === 개형 ⑧+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 개형 ⑥+와 비슷하지만 개형 ⑥+와는 달리 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 없다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑧+가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수의 극솟값이 양수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운8+.jpg|width=180]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ①이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑧+인 사차함수의 도함수는 개형 ①이다. === ⑧- === 개형 ⑧-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 개형 ⑥-와 비슷하지만 개형 ⑥-와는 달리 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 없다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑧-가 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수의 극댓값이 음수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운8-.jpg|width=180]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ④가 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑧-인 사차함수의 도함수는 개형 ④이다. === ⑨+ === 개형 ⑨+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 개형 ①+와 비슷하지만 개형 ①+와는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 오른쪽보다 왼쪽이 처음부터 더 급하게 올라가는 모양새이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑨+가 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점의 [math(y)]좌표가 양수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운9+.jpg|width=280]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ⑤, 개형 ⑥이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑨+인 사차함수의 도함수는 개형 ⑤, 개형 ⑥이다. === ⑨- === 개형 ⑨-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 개형 ①-와 비슷하지만 개형 ①-와는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극대점을 중심으로 오른쪽보다 왼쪽이 처음부터 더 급하게 내려가는 모양새이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑨-가 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점의 [math(y)]좌표가 음수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운9-.jpg|width=280]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ⑤, 개형 ⑥이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑨-인 사차함수의 도함수는 개형 ⑤, 개형 ⑥이다. === ⑩+ === 개형 ⑩+는 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 개형 ①+와 비슷하지만 개형 ①+와는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 왼쪽보다 오른쪽이 처음부터 더 급하게 올라가는 모양새이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑩+가 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점의 [math(y)]좌표가 음수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운10+.jpg|width=280]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ②, 개형 ③이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑩+인 사차함수의 도함수는 개형 ②, 개형 ③이다. === ⑩- === 개형 ⑩-는 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 개형 ①-와 비슷하지만 개형 ①-와는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극대점을 중심으로 왼쪽보다 오른쪽이 처음부터 더 급하게 내려가는 모양새이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 개형 ⑩-가 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점의 [math(y)]좌표가 양수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운10-.jpg|width=280]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 개형 ⑤, 개형 ⑥이 된다. 다시 말해서 그래프가 개형 ⑩-인 사차함수의 도함수는 개형 ⑤, 개형 ⑥이다. === 총정리 === '''[1] ⑨+, ⑨-, ⑩+, ⑩-''' 이 개형들은 도함수가 일대일대응이며, 따라서 이계도함수의 판별식이 0 이하이다. 이때, 이계도함수의 판별식이 0이 될 수 있는지의 여부[* 곧, [math(\rm D<0)]인지 [math(\rm D\leq 0)]인지] 그리고 도함수의 그래프의 변곡점의 [math(y)]좌표의 부호로 개형이 결정된다. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있다. 그림에서, [math(a)]는 [math(f(x))]의 최고차항의 계수, [math((p,\,q))]는 곡선 [math(f'(x))]의 변곡점의 좌표이다. [[파일:9+10+9-10-_수정.png|width=100%]] [math(p)]의 범위는 제시되어 있지 않은데, 이는 [math(p)]가 변곡점의 [math(x)]좌표로서 곡선 [math(f(x))]를 [math(x)]축 방향으로 평행이동하기만 할 뿐 [math(f(x))]의 개형에는 영향을 미치지 못하기 때문이다. === 특정한 식의 그래프의 개형 === ==== f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) (a≠b≠c≠d) ==== [[파일:귀여운abcd.jpg|width=400]] 가장 기본이다. 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))], [math((b,0))], [math((c,0))], [math((d,0))]에서 [math(x)]축과 만나면 [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 서로 다른 네 실근 [math(x=a, x=b, x=c, x=d)]를 가지므로 함수식은 [math(y=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d))]이다. ==== f(x)=k(x-a)^2(x-b)(x-c) (a캡챠되돌리기