문서 보기문서 편집수정 내역 레인-엠든 방정식 (덤프버전으로 되돌리기) [[분류:천문학]][[분류:유체역학]][[분류:열역학]][[분류:방정식]][[분류:나무위키 천문학 프로젝트]] [include(틀:천문학)] [include(틀:유체역학)] [목차] == 개요 == '''레인-엠든 방정식(Lane-Emden equation)'''은 [[천체물리학]]에서 구형 대칭을 가진 다양한 [[천체]]의 구조를 기술하는 [[미분방정식]]이다. [[1870년]] [[태양]]의 [[열역학]]을 처음 연구한 [[미국인]] [[천문학자]] 및 [[발명가]] 조너선 호머 레인(Jonathan Homer Lane, 1819~1880)[* [[예일 대학교]] 출신으로, 미국 특허청에서 일했다.]과 [[1907년]] 해당 방정식을 처음 발표한 [[스위스]]인 천문학자 및 기상학자 로베르트 엠덴(Robert Emden, 1862~1940)[* [[스트라스부르 대학교|스트라스부르크 대학교]] 출신으로, [[뮌헨 공과대학교]]와 [[바이에른]] 문리과대학에서 일했다.]에게서 이름을 따왔다. == 상세 == 자체적인 중력을 가진 구형 천체에서 [[압력]] [math(P)]와 [[밀도]] [math(\rho)]는 다음과 같은 관계를 갖는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle P=K\rho^{1+1/n})] }}} 이를 '''지수 [math(\boldsymbol n)]의 다방체(polytrope of index n)'''이라고 부른다. * 여기에서 지수 [math(n)]은 천체의 유형에 따라 달라지는데 해당 천체 내에서 [[온도]] [math(T)]가 일정하면(isothermal) [math(n=\infty)], [[엔트로피]]가 일정하면(isentropic) [[비열(물리학)|비열]]의 비 [math(\gamma \equiv \frac{C_P}{C_V})]에 대해 [math(n=\frac{1}{\gamma-1})]으로 주어진다.[* [[엔트로피]]가 일정하려면 단열되어 있고(adiabatic), 느리게 변화하고(quasistatic), 가역인(reversible) 과정에 의해 변화하는 천체여야 하는데, 천체물리학적인 상황에서는 이 중 두번째와 세번째 조건은 보통 무시한다.][* 등엔트로피의 경우 [[자유도]] [math(f)]의 이상 기체는 [math(n=f/2)]를 갖는다. 단원자 기체의 경우 3차원 방향 3가지에 의해 [math(f=3)], [[표준 상태]]에서 이원자 기체의 경우 회전 방향 2가지가 더해져 [math(f=5)]다. 이원자 기체의 진동 방향 2가지는 에너지의 [[양자역학|양자화]]에 의해 고온에서만 활성화되기 때문. 같은 이유로 저온에서는 이원자 기체도 [math(f=3)]이다.] * 비례상수 [math(K)]는 주어진 [[온도]]에서는 압력과 밀도에 대해 일정하지만, 그 외의 경우에 대해서는 일정하다는 보장이 없다. * [math(K)]는 [[엔트로피]]가 서로 같은 천체들에 대해서는 같은 값을 가지지만 [[엔트로피]]가 서로 다른 천체들에 대해서는 서로 다른 값을 가진다. 전자의 예시로는 다양한 질량을 가진 [[백색왜성]]이 있고,[* [[찬드라세카르 한계]] 미만일 때는 [[전자]]가 비상대론적이기 때문에 [math(n=\frac{3}{2})], [[찬드라세카르 한계]]에 다다렀을 때는 전자가 [[특수 상대성 이론|상대론적]]이기 때문에 [math(n=3)]이다.] 후자의 예시로는 다양한 질량을 가진 [[주계열성]]이 있다.[* 모든 주계열성은 중심 온도가 비슷하다고 근사할 수 있는데, 이는 주계열성의 핵에서 일어나는 [[수소]] [[핵융합]] 반응은 [[온도]]의 4제곱~17제곱에 비례할 정도로 온도에 민감하기 때문이다.] * [[엔트로피]]가 일정한 천체에서는 [math(K)]가 온도 등과 무관한 완전한 상수지만, 지점에 따라 엔트로피가 다른 천체는 [math(K)]값도 각 지점의 온도에 따라 다르다. 온도가 일정한 경우를 제외한(즉 지수 [math(n)]이 [math(\infty)]가 아닌) 다방체에 대해서 정유체 평형을 가정하고 [[오일러 방정식#s-3]][*A 더 일반적인 [[나비에-스토크스 방정식]]에서 출발하더라도 정유체 평형을 가정하고 나면 같은 식을 얻는다.]과 [[중력#s-5|푸아송 방정식]]을 풀면 아래와 같은 이계 상미분방정식을 얻는데, 이것이 바로 레인-엠든 방정식이다. 온도가 일정한 경우에는 [[엠든-찬드라세카르 방정식]]을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0)] [br][math(\begin{aligned}\displaystyle \theta(0) &= 1\\\displaystyle \theta'(0) &= 0\end{aligned})] }}} * [math(\theta)]는 밀도 및 압력과 유관한 무차원 변수인데, 중심 밀도 [math(\rho_c)]에 대해 [math(\rho=\rho_c \theta^n)]이 성립한다. * [math(\xi)]는 0보다 같거나 큰 무차원 거리변수로, [math(r)]가 중심으로부터의 거리일 때 [math(\xi \equiv r \sqrt{\frac{4\pi G}{(n+1)K\rho^{1/n-1}_c}})]로 정의된다. 해당 천체의 반지름 [math(R)]는 [math(\theta=0)]을 만족시키는 가장 작은 [math(r)]의 값으로 정의된다. 이때 [math(n=0)]인 경우의 해는 [math(\theta=1-\xi^2/6)]으로 비압축성 천체(예: [[지구형 행성]])를 기술하고, [math(n=1)]인 경우의 해는 [math(\theta=\frac{\sin{\xi}}{\xi})]이다. [math(n=5)]의 경우인 [math(\theta=1/\sqrt{1+\xi^2/3})]은 아래의 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Plummer_model|플러머 퍼텐셜]](Plummer potential) [math(\Phi)]에 대한 해로, [[구상성단]]이나 [[왜소은하]]를 질량은 유한하지만 반지름이 무한하다는 가정하에 기술하는 데에 쓰인다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Phi = -\frac{GM_o}{\sqrt{r^2+a^2}})] }}} 여기에서 [math(M_o)]는 질량 차원의 상수, [math(a)]는 거리 차원의 상수다. 이외의 경우에서는 해석적인 해가 없기 때문에 수치적으로 풀어야 한다. == 유도 == [[유체역학]]에서 비점성 유체에 대한 [[뉴턴의 운동법칙]]은 아래 [[오일러 방정식#s-3]]으로 주어진다.[*A] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \rho\left[\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u}\right] = -\nabla P + \rho\mathbf{g})] }}} 여기에서 [math(\mathbf{u})]는 유체의 [[속도]], [math(\mathbf{g})]는 외부 중력장이다. 정유체 평형([math(\mathbf{u}=\mathbf{0})]과 [math(\frac{ \partial }{ \partial t }=0)])을 가정하고 어떤 중력 퍼텐셜 [math(\Phi)]에 대해 [math(\mathbf{g}=-\nabla\Phi)]라고 할 때 아래 식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \nabla P = - \rho\nabla\Phi)] }}} 여기에서 구형 대칭을 적용하면 다소 복잡한 [[연쇄 법칙]]에 의해 아래 식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle \frac{d\Phi}{dr}& = - \frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = - \frac{1}{\rho}\frac{d}{dr}(K\rho^{1+1/n}) \\&= -(n+1)K\left[\frac{1}{n+1}\left(\rho^\frac{n+1}{n}\right)^{(\frac{1}{n+1}-1)}\frac{d}{dr}\left(\rho^{\frac{n+1}{n}}\right)\right] \\&= -(n+1)K\frac{d}{dr}\left[\left(\rho^{\frac{n+1}{n}}\right)^{\frac{1}{n+1}}\right] \\&= -(n+1)K\frac{d}{dr}(\rho^{1/n})\end{aligned})] }}} 양변을 [math(r)]에 대해 적분하면 아래 식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle \Phi &= -(n+1)K\rho^{1/n}+\Phi_T\\ \Rightarrow \rho&= \left[\frac{\Phi_T-\Phi}{(n+1)K}\right]^n\end{aligned})] }}} 여기에서 적분상수 [math(\Phi_T)]는 표면([math(\rho=0)])에서의 [math(\Phi)]값이다. 천체의 중심([math(r=0)])에서 [math(\rho=\rho_c)], [math(\Phi=\Phi_c)]라고 할 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \rho_c = \left[\frac{\Phi_T-\Phi_c}{(n+1)K}\right]^n)] }}} 이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \rho = \rho_c\biggl(\frac{\Phi_T-\Phi}{\Phi_T-\Phi_c}\biggr)^n)] }}} 한편 [[중력#s-5|푸아송 방정식]]은 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \nabla^{2} \Phi=4 \pi G \rho )] }}} 여기에 구형 대칭을 적용하면 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\Phi}{dr}\biggr) = 4\pi G \rho_c\biggl(\frac{\Phi_T-\Phi}{\Phi_T-\Phi_c}\biggr)^n)] [br][math(\displaystyle \Rightarrow -(\Phi_T-\Phi_c)\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\biggl(r^2\frac{d\theta}{dr}\biggr) = 4\pi G \rho_c\theta^n)] }}} 여기에서 [math(\theta \equiv \frac{\Phi_T-\Phi}{\Phi_T-\Phi_c})]는 무차원 변수로, [math(\theta_c=1)], [math(\theta_T=0)], [math(\frac{d\theta}{dr}|_c \propto g_c=0)]이다. 이에 거리변수 [math(r)]도 무차원의 [math(\xi \equiv r\sqrt{\frac{4\pi G \rho_c}{\Phi_T-\Phi_c}})]로 치환하면 아래 식들을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0)] [br][math(\begin{aligned}\displaystyle \theta(0) &= 1\\ \theta'(0) &= 0\end{aligned})] }}} == 질량-반지름 관계 == 같은 다방체 지수 [math(n)]을 가진 천체는 같은 [math(\theta(\xi))]를 가지지만 다른 [math(\rho_c)]에 의해 [math(\theta)]와 [math(\xi)]가 스케일된다. [math(\xi\propto K^{-1/2}\rho^{\frac{1}{2}(1-1/n)}_c r)]이므로 천체의 [[질량]] [math(M)]은 || [math(\begin{aligned}\displaystyle M& = \int_0^R 4\pi r^2\rho(r)\,{\rm d}r \propto K^{3/2}\rho^{-\frac{3}{2}(1-1/n)}_c \int_0^{\xi_{max}} \xi^2\rho_c\theta^n\,{\rm d}\xi \\&= K^{3/2}\rho^{\frac{1}{2}(3/n-1)}_c \int_0^{\xi_{max}} \theta^n\xi^2\,{\rm d}\xi \propto K^{3/2}\rho^{\frac{1}{2}(3/n-1)}_c\end{aligned})] || 을 만족시킨다. 또한 한편으로 [math(R\propto K^{1/2}\rho^{\frac{1}{2}(1/n-1)}_c)]이다. === [[백색왜성]]과 [[초신성]] === [[초신성]]은 크게 Ia형 초신성과 핵붕괴형 초신성으로 나눌 수 있는데, 이 둘 모두 다방체의 관점에서 이해할 수 있다. 질량 [math(M)]이 [[태양]] 질량 [math(M_\odot)]의 8배 미만인 [[주계열성]]은 생을 마감하고 [[행성상성운]]과 [[백색왜성]]이 된다. [[찬드라세카르 한계]] [math(M_{max}\approx 1.44M_\odot)]보다 질량이 작은([math(M캡챠되돌리기