문서 보기문서 편집수정 내역 라그랑주 보간법 (덤프버전으로 되돌리기) [[분류:선형대수학]] [[분류:수치해석]] [include(틀:선형대수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 Lagrange Interpolation}}} 라그랑주 보간법(Lagrange interpolation)이란 서로 다른 [math(x_{1},\cdots,x_{n+1})]에 대하여 [math(n+1)]개의 점 [math((x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1}))]이 주어져 있을때, 이 점을 모두 지나는 [math(n)]차 이하의 [[다항식]]을 구하는 공식을 말한다. 이름대로 [[조제프루이 라그랑주]]가 만들었다. == 공식 == 서로 다른 [math(x_{1},\cdots,x_{n+1})]에 대하여 아래의 다항식 [math(p_{i}(x)=\displaystyle\prod_{j \neq i} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\frac{(x-x_{1})\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_{n+1})}{(x_{i}-x_{1})\cdots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots(x_{i}-x_{n+1})})] 을 라그랑주 기저 다항식이라 한다. 또한 [math(p(x)=y_{1}p_{1}(x)+\cdots+y_{n+1}p_{n+1}(x))] 을 라그랑주 보간 다항식이라 하며, 이 다항식은 점 [math((x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1}))]을 모두 지나는 유일한 [math(n)]차 이하의 다항식이다. == 선형대수학을 이용한 설명 == 집합 [math(\mathcal{P}_{n}(F))]을 [math(n)]차 이하의 다항식 집합이라 하자. [math(\mathcal{P}_{n}(F))]가 벡터공간이므로, [[쌍대공간]] [math(\mathcal{P}_{n}^{*})]가 존재한다. 임의의 자연수[math(i\leq n+1)]에 대하여 [[범함수|선형범함수]](linear functional) [math(L_{i}:\mathcal{P}_{n}(F)\to F)]을 [math(L_{i}(p)=p(x_{i}))] 라고 정의하자. [math(L_{1},\cdots,L_{n+1})]이 [math(\mathcal{P}_{n}^{*})]의 기저가 된다는 것은 다음 두 식 [math(L_{j}(p_{i})=p_{i}(x_{j})=0)] for [math(i \neq j)] [math(L_{i}(p_{i})=p_{i}(x_{i})=1)] 을 만족하는 [math(p_{1},\cdots,p_{n+1}\in \mathcal{P}_{n}(F))]이 존재한다는 것을 보이면 되는데, 그 이유는, 그것이 존재한다면, [math(\{L_{1},\cdots,L_{n+1}\})]이 [math(\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\})]의 쌍대기저가 되기 때문이다. 물론 [math(p_{i})]는 [math(x_{1},\cdots, x_{i-1}, x_{i+1},\cdots,x_{n+1})]을 근으로 가지며, [math(p_{i}(x_{i})=1)]이므로, [math(p_{i}(x)=\displaystyle\prod_{j \neq i} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\frac{(x-x_{1})\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{1})\cdots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots(x_{i}-x_{n})}\in \mathcal{P}_{n}(F))] 임을 쉽게 알 수 있다. 따라서, [math(\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\})]은 [math(\mathcal{P}_{n}(F))]기저이고, 임의의 다항식 [math(p \in \mathcal{P}_{n}(F))]에 대하여, [math( p(x)=y_{1}p_{1}(x)+\cdots+y_{n+1}p_{n+1}(x))] 인 [math(y_{1} ,\cdots,y_{n+1} )]이 유일하게 존재하는데, [math( p(x_{i})=\displaystyle\sum_{j \neq i}y_{j}p_{j}(x_{i})+y_{i}p_{i}(x_{i})=y_{i})] 가 성립함을 확인할 수 있다. == [[방데르몽드 행렬]]과 라그랑주 기저 다항식 간의 관계 == 서로 다른 [math(x_{1},\cdots,x_{n+1})]에 대하여, 다항식 [math(x^{i})] [math((0\leq i \leq n))]은 점 [math((x_{j},x_{j}^{i}))]를 지나므로, 라그랑주 보간법에 의해 [math( x^{i}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1}x_{j}^{i}p_{j})] 라고 쓸 수 있다. 그런데, [math(\beta=\{1,x,x^{2},\cdots,x^{n}\})]과 [math(\beta^\prime=\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\})]이 모두 [math(\mathcal{P}_{n}(F))]의 기저이므로 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix) [math(\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots&x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots&x_{2}^{n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n+1}&x_{n+1}^{2}&\cdots&x_{n+1}^{n} \end{pmatrix})] 은 [math(\beta)]에서 [math(\beta^{\prime})]으로의 [[기저변환행렬]]이라고 할 수 있다. == 활용 == * 라그랑주 보간법을 사용해서 심프슨의 적분 법칙을 증명할수 있다. 캡챠되돌리기