문서 보기문서 편집수정 내역 대학수학능력시험/수학 영역/2015 개정 교육과정 (덤프버전으로 되돌리기) [[분류:대학수학능력시험]][[분류:수학시험]][[분류:수학 교과]] [include(틀:토론 합의, 토론주소1=TastelessEfficaciousIllegalDucks, 합의사항1=구체적인 시험별 후기는 연도별 수능의 /의견 문서에 작성하기)] [include(틀:상위 문서, top1=대학수학능력시험/수학 영역)] [include(틀:대학수학능력시험 관련 문서)] [목차] == 개요 == [[2015 개정 교육과정/수학과/고등학교|2015 개정 교육과정 수학과]]의 일부 과목들을 범위로 하는 [[대학수학능력시험]] [[수학 영역]]에 관한 정보 및 의견을 공유하는 문서. ===# 2021학년도 (단년 체제) #=== * 가형: 수학Ⅰ, 확률과 통계, 미적분 * 나형: 수학Ⅰ, 확률과 통계, 수학Ⅱ ---- * (기존 가형 준비생 기준) 이차곡선, '''공간도형 및 공간좌표''', 그리고 '''벡터'''가 '''최초로 필수 출제 범위로부터 빠지는 세대'''이다. 개편 전부터 굉장히 많은 논란을 낳았지만 일단 확정이 난 상태이다. 대신 지난 교육과정에 간접출제범위였던 '수열', '수열의 극한', 순수 지수로그가 다시 직접출제범위로, 원래도 가형범위 (미적II)였으나 삼각함수의 극한과 미분에 묶여 있어서 거의 나오지 않던 순수 삼각함수가 부활한 사인법칙, 제2코사인법칙과 함께 독립된 단원으로 나오게 되었다. 벡터와 공간기하학의 부재를 보충하기 위해 평면 기하 파트를 어떻게든 최대한 어렵게 낼 것이라는 사교육계 관측도 있으며, 2012~2013학년도처럼 기초 내용에서 어렵게 내는 IQ 테스트의 형식으로 바뀔 가능성도 점쳐지고 있다. * 나형은 함수 단원이(합성함수, 역함수, 유리함수/무리함수) 간접 출제 범위로 넘어가고 대신 '삼각함수', '지수함수와 로그함수'가 새롭게 들어왔다. 물론 불과 5년 전인 2015년까지는 나형 준비생들도 '삼각함수'를 고1 때 배웠고, '지수함수와 로그함수'도 나형 직접 출제 범위였다는 것이 함정. 그리고 기존 '지수와 로그'의 함수 버전이기 때문에 크게 호들갑을 떨며 겁먹을 필요는 없을 것이다. 늘어난 부분만 보고 지레 겁먹을 부분이 아닌 게 빠진 부분도 그만큼 많기 때문이다. 기존 직접 출제 범위였던 '함수', '집합과 명제', '경우의 수'는 간접 출제 범위로, '수열의 극한', '구분구적법과 무한급수'은 아예 빠지게 되었고 부등식의 영역'(개수세기), '모비율', '분할'처럼 교육과정 탈락으로 다룰 수 없는 내용까지 생각하면 부담 측면에선 [[제로섬]]에 가깝다. 애초에 킬러 문항은 평가원이 새로운 시도를 하지 않는 이상 '다항함수의 미분/적분법'이 될 것이다. 그러므로 새로 추가된 파트는 끽해야 쉬운 4점, 어려운 3점 정도에서 출제되는 데에 그칠 것으로 예상되니 너무 스트레스 받지 말고 충실히 공부해 두자. 물론 2020년 3월 학평[* 실제로는 4월 24일에 실시되었다.] 29번처럼 삼각함수 고난도문제도 나올 수 있다. * 상세한 시험별 후기는 [[2021학년도 대학수학능력시험/의견]] 참조. === 2022~2027학년도 (6년) === * 가/나형 구분 없이 선택 과목 체제가 도입된다. 2004년부터 자연계/인문계가 폐지되었으나 2020년까지 남아있던 가형과 나형 구분을 폐지하여 문·이과 통합이 실현된 것처럼 보이나, 어차피 자연과학대학이나 공학계열로 진학할 학생은 '미적분'이나 '기하' 선택을 다수 상위권 대학에서 걸어놓은 상태[* 다름이 아니라 대학 생활과의 연계율 때문에 그렇다. [[한국과학기술한림원]]에서 조사한 바에 따르면 '미적분'은 자연계열 대학 과정과 '''90% 이상'''의 연계율을 보였고, '[[기하(교과)|기하]]'는 '''30%''' 정도의 연계율을 보였다고 한다.([[https://kast.or.kr/kr/space/publication.php?bbs_data=aWR4PTE2MjQzJnN0YXJ0UGFnZT0wJmxpc3RObz0yNjImdGFibGU9Y3NfYmJzX2RhdGEmY29kZT1tb2smc2VhcmNoX2l0ZW09JnNlYXJjaF9vcmRlcj0=%7C%7C&bgu=view&PHPSESSID=4d7b5469b8b73421983bfa7a40631294}|연구 보고서 바로가기]]) ]이며, 기존 인문계열 진학 응시생들도 '확률과 통계'를 그대로 고를 것이 예상되므로 기존의 가형과 나형 분리 체제에서 큰 변화되는 점은 없을 것으로 전망된다. 문제는 표준점수를 선택과목에 따라 조정하여 '''모든 응시생'''이 같은 리그에서 서열화된다는 것. 극단적으로 말해 수능을 30만 명이 보고 미적분 10만, 기하 10만, 확통 10만을 선택했다 치더라도, 1등급 1만 2천명 모두 미적분에서 나올 수 있다는 이야기이다. 물론 현실성은 없다... 라고는 하지만 미적분 선택자가 전체 1등급의 99%를 차지했던 사례가 있으며, 실제로 30만 명이 수능을 보면 현재는 미적분 14만, 확통 15만, 기하 1만 (...) 수준이라 기하 10만이라는 가정 자체가 성립하지 않는다. * 범위는 공통 과목인 수학Ⅰ(지수함수와 로그함수, 삼각함수, 수열), 수학Ⅱ(함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법/적분법)에서 각각 11문항 37점씩 22문항 74점 + 선택과목인 미적분(수열의 극한, 초월함수의 극한/미분/적분) / 확률과 통계(원순열부터 시작하는 경우의 수, 확률, 통계) / 기하 (2007 개정 기하와 벡터에서 일차변환과 공간벡터가 빠진 것) 중 '''단 1택으로 제한되어''' 8문항 26점으로 출제한다. 이로 인해 2011년부터 10년간 유지되던 문항 번호 체계가 개편되었다. 문항 수는 기존과 동일하게 30문항이며, 객관식은 1~15번, 23~28번에 배치되고 주관식은 16~22번, 29~30번에 배치된다. * 이른바 자연계(이과) 진학자들의 필수 과정이었던 '확률과 통계', '기하', '미적분'에 모두 응시하는 형태가 아닌 3중 1택이 필연적이게 되어 이공계학회·대학들이나 학부모들 사이에서 반발이 심한 편이다. [[https://n.news.naver.com/mnews/article/009/0004412303?sid=102|통합수능에 미적분 과외받는 공대생 늘어날라]], [[https://n.news.naver.com/mnews/article/011/0003373856?sid=105|[2022학년도 大入 개편 확정] 기하 '선택'화는 꼼수]], 이후 [[http://www.hangyo.com/news/article.html?no=86163|과학계]]에서는 가, 나형 체제로 다시 환원하고 '가형' 범위에 '기하', '미적분', '확률과 통계'로 제정하라고 요구하였으나 받아들여지지 않은 모양이다.[* 물론 가/나형 체제에 대한 비판도 만만치 않은데, 이과생의 입시를 불리하게 만들고 문과에게 사실상의 혜택을 주는 제도라는 비판을 받는다. 이과 수험생 수가 적은 것도, 그 적은 이과 수험생 일부가 [[나형과탐]]으로 빠지는 이유도 바로 '''가형의 살인적인 수험생/문제 수준이었다.'''] * 이러면서 바뀐 것이 2가지인데, [br]첫째는 표준점수를 맞춰야 하기에 시험지에서 가장 어려운 문항이라고 딱히 정할 문제가 '''없다'''[* 원래는 22번이었어야 하나, 22번의 난이도를 크게 감소시키고 이 난이도를 다른 문제에 분배해 4점 대부분이 준킬러 역할을 해낸다.], 둘째는 기존 수능에선 미적I에서 미적II / 기벡은 못 물어봐도 기벡에서 미적II, 미적II에서 미적I을 물어볼 수 있었으나 현재 수능에선 어떠한 경우에도 기하에서 미적분의 요소(덧셈정리)를 전혀 사용할 수 없게 되었다. 왜? 미적분 자체가 출제범위가 아니니까. 또한, 수I으로 돌아왔지만 제2코사인법칙을 기하에서 대놓고 엮기는 힘들어졌다.[* 다만 제2코사인법칙이 담긴 수학I은 수능 한정으로 공통과목이기 때문에 출제하려면 충분히 출제할 수 있다. 실제로 선택과목 연계교재에서도 수1수2 개념을 응용해 기술된 부분이 있다. 이를 통해 선택과목에서 수학I, 수학II 내용은 간접출제범위라고 볼 수 있다. 이는 확률과 통계도 마찬가지다. ] (기하 자체가 고1수학까지만 하고 온다는 전제로 쓰여졌기에) * 2020년 5월 29일에 공개된 2022 수능 예시 문항만 본다면 다시 [[2005 수능]]~[[2011 수능]] 체제처럼 '골고루 어려운 문항을 넣어두는 경향'으로 복귀할 것임을 예고했다. 전체적으로 '가장 쉬운 문항(눈으로도 풀리는 문항)'을 없애 버렸고, 초반부터 까다로운 문제가 다소 등장하는 모습이다. 기존 문과 표본을 고려하여 수학Ⅰ, 수학Ⅱ에서 쉽게 낸다는 예상을 깼다. 수학Ⅱ '다항함수의 미분법' 문항이 공통 문항 주관식 킬러 문제로, 수학Ⅰ의 '삼각함수'가 도형 킬러 문제로 출제되며, 일각에서 예상했던 대로 '중학교 도형' 연계율을 높였다('''외심'''이라는 용어가 직접적으로 등장함.). 이로써 아무리 사교육을 줄인답시고 '[[기하와 벡터]]' 같은 과목을 빼도 어떻게든 도형 문제를 어렵게 낼 수 있다는 것만 증명되었다. 선택 과목의 문항에선 최후반 주관식 문항도 상위권 학생을 제외하고는 만만치 않은 문제로 장식되었다. * 이과생들에게 있어 2015 개정 교육과정부터 달라지는 학교별 과목 개설 체제가 2022학년도 수능 3중 1택 경향에 어느 정도 영향을 미칠 것이라는 의견도 있다. 일부 자율형 사립고등학교를 제외하면 '기하'가 3학년 2학기 과정[* 사실상 3학년 1학기에 내신 산출이 끝나기 때문에 버려진 것이나 다름 없다.]으로 차출되는 등의 행보를 보이고 있어, 이런 점에서 볼 때 '미적분'이 강제되는 것이나 다름없다고 보는 것이다. '확률과 통계' 및 '기하'를 수업받을 순 있을지언정, [[정시]]로 대학 가는 상위권 학생들 입장에서는 사실상 '''확률과 통계'''를 선택하지 말라는 것과 다름 없어진다는 이야기다. [* 간혹 계열 구분 없이 미적분 강제 같은 이상한 사례들이 커뮤니티에 있는 것으로 보아 문이과 통합은 학교부터 감독을 하고 해야 할 문제일 것이다.] 이공계가 크게 반발하는 이유도, 선택 받지 않은 과목에 대한 상대적 중요도가 혼탁해질 수밖에 없는 점을 우려하는 것이다. 과학과 중에 유사한 사례를 찾자면 Ⅱ과목 전부, 그 중에서 '물리학Ⅱ', '지구과학Ⅱ'가 있다. 수능에서 선택을 안 하는 것도 있지만, 그 1차적인 원인은 실제 교내 '물리학Ⅱ', '지구과학Ⅱ' 개설률 및 수강률도 밑바닥을 기는 상황에 상관관계가 크다는 입장이다. 당장 이 부분의 근거 중 하나가 '화학Ⅱ' 인데, 화학Ⅱ는 생명과학Ⅱ다음으로 내신 개설률이 높다. 이로 인해 모의고사 응시자 수도 지구과학Ⅱ를 넘은 적이 많기도 하고. * 상세한 시험별 후기는 [[2022학년도 대학수학능력시험/의견]] 참조. == 과목별 의견 == === 공통 과목 === ==== [[2015 개정 교육과정/수학과/고등학교/수학Ⅰ|수학Ⅰ]] ==== 2020년 5월 29일에 공개된 예시 문항에서는 공통 과목 시험지에서 준킬러와 풀기에 까다로운 문제들로 도배해놓았다. 당장에 1페이지부터 단순히 눈으로 계산하기 난해한 문제가 등장하고 있다. 즉, 2점 문제가 단순한 난이도가 아니라는 의미라는 거다. 시험 범위가 줄면서 변별력을 올리기 위해 당연한 수준이긴 했으나 실제 시험장에서 맞이했다면 당황했을 것이다. 전체적으로 수학Ⅰ이 수학Ⅱ보다 훨씬 까다롭게 출제되어 이 과목의 중요도가 급부상했다. 객관식 공통 킬러에서는 기존 21/29번 수준의 문항을 '삼각함수'로, 30번 수준의 문항을 '다항함수의 미적분'으로 출제하였다. 수학Ⅰ에서 삼각함수의 사인법칙 / 제2코사인법칙이 오랜만에 수능 출제 범위로 들어오면서 기하추론력(각기하)을 수능 템포로 올려야 한다는 부담감이 생겼다. 출제자들이 '기하'(기하와 벡터)를 빼버린 것에 심술이 났는지 발문에 '''외심'''이 노골적으로 등장하는 등 오히려 중학 도형 연계성은 더 높아졌다. 직전의 2009 개정 교육과정 시험 체제과 비교하면 '나형(인문계)' 기준으로 삼각함수와 지수, 로그 함수가 들어와서 학업 부담이 늘었다고 하나, [[거짓말은 하지 않는다|어디까지나 직전 교육과정이랑'''만''' 비교했을 때 그런 것이다.]] 그 이전에는 삼각함수는 30년 넘게 고1 때 배웠고, 지수함수와 로그함수 역시 몇 십년 넘게 고2 때 문이과 공통으로 배우던 내용이므로, 그 이전에 비하면 오히려 학업 부담이 줄어들었거나 유지되었다고 할 수 있다. 구성 상의 논제를 마치 수준적인 순서로 일치시키면 안 된다. 예컨대 '벡터의 정의', '이차곡선'도 당장 고1 과정으로 끌어내려도 문제가 없는 수준이다. * 지수함수의 밑이 다르고 지수가 같을 때, 지수가 0이 되는 부분을 기준으로 위치 관계가 바뀐다. * 로그함수의 밑이 다르고 진수가 같을 때, 진수가 1이 되는 부분을 기준으로 위치 관계가 바뀐다. 주로 ㄱ.ㄴ.ㄷ 문제로 자주 나오는 유형이다. * 직전 교육과정부터 정식 명칭으로 쓸 수 없지만 편의상 '지수방정식과 로그방정식', '지수부등식과 로그부등식'에 대해서 다룬다.[* 단, [[대한수학회]]에서는 아직도 이 명칭을 쓴다.] * 지수함수와 로그함수 단원에서 나왔던 킬러는 크게 두가지가 있었는데 하나는 지수함수 / 로그함수의 '개수 세기' , 하나는 상용로그의 지표와 가수 문제이다. 그런데 지표와 가수는 [[상용 로그]]의 지표와 가수가 삭제되면서 낼 수가 없고 (상용로그 자체는 남아있음) '개수 세기'는 2012학년도 수능 30번처럼 지수함수만으로 킬러 문제를 내지 않은 이상, 부등식의 영역이 [[2015 개정 교육과정/수학과/고등학교/경제 수학|경제 수학]]으로 넘어가면서 빠지는 바람에 내더라도 非킬러 수준에 그칠 것으로 보인다. * 지수함수와 로그함수가 서로 역함수 관계임을 활용한 문제 역시 출제될 수 있다. 2022학년도 9월 모의평가 21번이 그 예시인데, 직선 y=x-1 대칭을 생각하지 못했다면 직선 y=x 대칭이동 후 평행이동을 한번 더 해야 하는 문제였다. 혹은 2023학년도 9월 모의평가 21번처럼 도형의 성질과 엮어서 출제될 수도 있다. * 물론, 순수 지수로그 만으로도 어느 정도 어렵게 낸 적이 있었으나[* 2019년 9모 나형 28번, 그 외 기출에 찾아보면 은근 있다.] 2019년 고2 6모 가형 30번에 데여서 여기서는 안 낼 가능성이 높다.[* 사실 문제 오류라고는 할 수 없다. 수학적으로 틀린 건 없는데, '''출제자들조차도 눈치채지 못한 반례가 수백가지 존재했을 뿐.'''] * 삼각함수는 쉽게 나온다면 육십분법을 호도법으로 바꾸는 문제가 나오며, [math(180°=π)]를 기억하고 있으면 쉽게 풀 수 있다. 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하는 문제도 자주 출제되며, 길이는 [math(l=r\theta)], 넓이는 [math(\displaystyle S=\frac{1}{2}r^{2} \theta=\displaystyle \frac{1}{2}rl)]를 이용하면 된다. 참고로 부채꼴의 둘레의 길이가 일정할 때 부채꼴의 넓이가 최대일 때는 중심각이 2(라디안)일 때이다. * 삼각함수의 그래프 문제는 어렵게 출제될 가능성이 낮은 편이다. 그나마 2021학년도 9월 모의평가 가형 21번이 어려운 편이고, 2022학년도 6월 모의평가 15번 문항은 문제 번호에 비하여 크게 어렵지는 않은 편. sin, cos, tan 그래프의 성질을 제대로 이해하면 대부분은 쉽게 풀린다. 다만 삼각방정식, 삼각부등식과 같이 나오는 경우도 있으니 주의하자. * 삼각함수에서 사인법칙, (제2)코사인법칙의 경우 2009 개정 교육과정(직전 교육과정) '삼각함수' 과정에 딱 한 번 빠졌던 내용이었는데, 이번 2015 개정 교육과정에 접어들면서 다시 부활한다. 2015년까지의 기출 문제를 찾아서 학습해야 한다. 그러나 당시에도 직접 출제 범위는 아니었기 때문에, 고3 시험에서 단일 문항으로 나오는 경우는 17년 만에 최초이다. 직접 출제 범위였던 세대가 지금 30대 중반이 넘어갔던 세대이며, 당시엔 계산이 워낙 조잡하므로 별로 도움은 못 된다. 그러므로 기타 사설 문제집, 2015 개정 교육과정이 반영된 고2, 고3 교육청 기출을 풀어보는 것이 좋다. 당장 고2 2019년 11월 모의고사에서 이걸 활용한 문제가 가형28, 나형29에 공통으로 배치되었는데 가형 2.66%, 나형 0.52%[* 나형 응시자 200985 x 0.52% = 1045명]...의 기적이 나왔다. 참고로 이 시험 가형 1컷 80, 만점표점 155...[* 이게 어느정도냐면, 그 악명높은 [[2009학년도 대학수학능력시험]] 수리 가형이 1컷 81에 만점 표점 154이다..] 나형 1컷 '''76'''.. * 수열은 7차 교육과정 때는 가히 [[헬게이트]]를 펼쳐놨었지만, 2007 개정 교육과정 이래로는 딱히 부담스럽게 다루는 부분도 없고, 킬러의 반열에서 내려왔다. 다만 이는 수열이 간접 출제 범위였던 수학 가형 한정이고 수열이 출제 범위에 포함되었던 수학 나형에서는 수열 문제가 파괴력이 있게 출제되어 상위권 변별에 일조하였다.[* 2018년 수능 나형 29번 등차-등비수열 성질문제 정답률 19%(메가스터디) / 8% (EBSI), 2019년 수능 나형 21번 수열 점화식 추론문제 정답률 32% (메가스터디) / 30% (EBSI)] 이를 감안하면 2021학년도 이후 수능/모의평가에도 수열 단원이 준킬러 문제로 얼마든지 출제될 수 있음을 예상할 수 있다. 2022학년도 9월 모의평가 15번은 합성함수의 요소를 활용하여 변별력을 갖추는 데 일조했다. * 공개된 [[2022 수능]] 예시 문항(2020년 5월 29일)에서는 15번 문항(객관식 공통 마지막 문항)을 보면 수열에서 어느 정도 다시 급부상할 여지를 남겨두었다. 이전 교육과정으로 돌아가지 않아도 충분히 어려운 문항을 창조해낼 수 있는 평가원을 엿볼 수 있었다. 기존 문과생들을 의식해서라도 난이도 조절에 들어갈 수 있을 것이라고 예상했지만 결과는 준킬러 파티. * 수열의 합으로부터 일반항을 구하는 과정의 빈칸을 채우는 문제, 부등식의 성립을 확인하는 문제가 주로 출제된다. 온갖 기괴한 방법을 동원하므로 앞뒤의 식에서 끼워맞추는 방법도 자주 쓰인다. ==== [[2015 개정 교육과정/수학과/고등학교/수학Ⅱ|수학Ⅱ]] ==== [[2021학년도 대학수학능력시험]]에서는 나형 출제 범위에만 포함되고 가형에서는 제외되었으나, [[2022학년도 대학수학능력시험]]부터는 필수과목으로 격상되었다. 여전히 킬러 문제는 2단원의 '다항함수의 미분법'일 가능성이 높다. 2020년 5월 29일에 공개된 2022 예시 문항에서는 '다항함수의 미분법'을 다소 가형 버전으로 바꾼 듯한 킬러 문제로 출제했다. 2015년 수능을 끝으로 이과 시험에서 종적을 감추어버렸던 '다항함수의 미적분'이 6년 만에 다시 직접 출제 범위로 부활함에 따라, 이과생들을 중심으로 한 입시 커뮤니티에서도 다항함수 관련 주제들이 다시 떡상하고 있다. 수학 강사 현우진은 이과생들이 문과생들보다 다항함수에 대한 이해도가 부족한 상황이라고 밝힌 바 있다. 수학Ⅱ가 아무리 미적분의 하위 호환 교과라 해도 직접 출제 범위냐, 간접 출제 범위냐에 따라 성취도가 크게 갈렸던 듯 하다. 그러나 다항함수의 미적분을 필수 범위로 추가하는 과정에서 기하, 확통이 이공계의 필수 범위에서 빠진 것에 대한 논란이 많았다. * 미정계수를 구하는 문제는 [[로피탈의 정리]]를 이용하면 빠르게 풀 수 있는 것도 있으나, 무리함수 꼴로 나타나질 경우 미적분 선수택자가 아니라면 무리함수를 미분할 수 없어 로피탈의 정리를 이용하여 풀 수 없다. 그런데 사실 로피탈 정리를 쓸 필요도 없다.[* 무리함수로 나왔다면 유리화를 하자. 이 단원 내용만으로도 어렵게 출제할 수 있는데, 2023학년도 6월 모의평가 22번 문항이 대표적이다.] 오히려 로피탈 정리의 사용은 권장되지 않는다. * 2019 고2 전국연합학력평가 문항들 기준으로 보았을 때 그래프를 보고 연속/불연속 판별하는 문제가 여전히 단골 --2점짜리 수준 --문제로 출제되고 있다. 수능에서도 큰 기조 변화는 없을 것으로 보인다. 만일 조금 더 꼬아서 낸다면, 합성함수와 역함수를 연계하기도 한다. * 가/나형 구분이 사라진 수능부터는 삼차함수, 사차함수를 활용한 그래프 추론 문제가 킬러 문제로 급부상할 것으로 보인다. 당시 역대 최강으로 평가받았던 2011 수능 가형 24번 문항처럼 나오는 게 이젠 아예 디폴트로 자리잡아버렸으니[* 아직 이 문항을 풀어보지 않은 사람이라면 한 번 풀어 보자. '이게 역대 최강이라고?' 싶을 것이다. 물론 당시에는 실제로 역대 최강이었지만, 지금 시점에서 이 문제가 수능에 나오면 9~11번 정도의 쉬운 4점으로 나와도 별로 문제가 없을 것이다..] 연습을 놓치지 말 것. * 기존의 자연계 기준에서는 다항함수 적분에서는 그렇다 할 킬러가 나온 적이 없다. 2017 수능 이후 나형에서 자리잡은 30번 역시 풀 만한 수준으로 출제된다. 가형 적분과 나형 적분 수준 차가 큰 만큼, 이 후속 과목인 [[미적분(2015)|미적분]]에서 등장했던 심화 적분 킬러가 예삿일이 아닐 정도로 매우 어려웠다(2017 수능, 2018 수능 가형 기준). * 일부 문항은 수학I과 융합되어 출제되기도 한다. 예를 들어 다항식으로 정의되는 수열의 합과 정적분을 엮어서 계수를 맞추는 문제를 출제한다거나. 선택 과목 미적분에선 수1과 수2가 대놓고 엮이니 미적분 선택자들에겐 익숙할 것이다. [[한국교육과정평가원]] 관할 시험의 수학Ⅱ에서는 미·적분을 통한 다항함수 관련 추론 문항이 교과서에서만 나오는 직접적인 내용만으로 대비하기엔 역부족이다. 그러므로 기출 문제를 갖고 경향성을 파악하는 것이 중요하다. [include(틀:상세 내용, 문서명=다항함수/추론 및 공식)] [include(틀:상세 내용, 문서명=삼차함수)] [include(틀:상세 내용, 문서명=사차함수)] === 선택 과목 === ||[youtube(K-ztqaSghno)]|| [youtube(ClKPax5G1l0)] || || 선택과목에 따른 '''표준점수 산출'''에 관한 영상. || [[대성마이맥]] [[이창무]]X[[차영진]]X[[한석원]] - '''수학 과목 선택 기준'''에 대한 미신에 관하여 || '''주장'''을 요약하면, '''공통과목의 점수가 낮은(높은) 수험생이 많이 선택할 과목이라고, 선택과목이 그 수준에 맞게 쉬워지지(어려워지지) {{{#RED 않는다}}}'''는 주장이다.[*예시1 흔히 말하는 '확통하는 애들은 수학 못하니까 확통이 쉽게 나올 것이다'라는 말이 '''틀렸다는''' 이야기.] 예를 들어, 한 선택과목을 선택한 수험생의 공통과목 평균이 38점이라고 하면, 그 수험생들의 선택과목 점수 평균은 12점이 될 정도로 출제되고, 한 선택과목을 선택한 수험생의 공통과목 평균이 57점이라고 하면, 그 수험생들의 선택과목 점수 평균은 18점이 될 정도로 출제된다는 것이다. '''평가원이 발표한 산출 공식'''의 원리는 '공통과목의 평균 점수가 높고, 선택과목의 평균 점수가 낮은 과목을 선택한 사람은 표준점수에서 우위를 점한다'이다. 이를 간단히 적용하면 다음과 같다.[* 원리 이해가 목적이므로 계산이 정확하지 않을 수 있다.] 만일 [[확률과 통계]]를 선택한 수험생의 공통과목 평균이 38점인데, 그 수험생들의 선택과목 점수 평균은 16점이고, [[미적분]]을 선택한 수험생의 공통과목 평균이 57점인데, 그 수험생들의 선택과목 점수 평균은 16점이라면 분명 확률과 통계가 쉽고 미적분은 어려웠을 것이다. 왜냐하면 공통과목을 비교해 보았을 때 확률과 통계의 수험생 수준이 낮고 미적분이 높으나 점수가 비슷하다는 건 그만큼 시험의 수준도 확률과 통계가 쉽고 미적분이 어려웠다는 것이다. 여기에서, 확률과 통계가 원래 선택과목에서 12점이 평균이 되어야 했으나 16점이 되어 버렸기 때문에 조정 과정에서 '''그 차이인 4점을 {{{#RED 감점}}}하게 된다.''' 반대로 미적분은 원래 선택과목에서 18점이 평균이 되어야 했으나 16점이 되어 버렸기 때문에 조정 과정에서 '''그 차이인 2점을 {{{#BLUE 가점}}}하게 된다.'''[*예시2 그러므로 예시1의 주장에 흔히 따라붙는, '그러니까 난 이과생이지만 확통 선택해서 꿀빨아야지'라는 주장은 '''더더욱 틀렸다'''는 이야기가 된다.] 바로 이 부분에서 '''선택과목의 점수 조정'''이 일어나게 된다. 그러므로 무슨 과목을 선택했든 '''결국 본인의 실력에 맞는 표준점수를 얻게 된다.''' 그렇기 때문에, 선택과목 점수를 비슷하게 받는다면 분명히 가점된 후자가 유리하나, 그렇지 않다면 결국 본인이 잘하는 과목을 선택하는 게 유리하다는 것이다. 참고로 공통과목은 선택과목과 관계없이 표준화되니 공통과목 열심히 하자(...). 선택과목별 특징을 비교하면 다음과 같다. || '''과목명''' || '''학습량'''[* '''순수한 교과서 개념에 대한 공부량'''을 말하며 개개인의 성향 및 학습 패턴에 따라서 차이가 있을 수 있다.] || '''선택자 수 비율''' || '''진입장벽'''[* 개념에 대한 객관적인 진입장벽을 말하며 해당 과목 선택자들에 대한 표본 집단의 수준도 포함된다. 만점 기준 표준점수와 비례하며, 등급컷과 반비례한다.] || '''수능 문제 수준''' || 이공계열 학과 지원 가능 여부 || || 확률과 통계 || 보통 || 약 48% || 매우 낮음 || 낮음[* 확률과 통계는 마음만 먹으면 [[노가다(수학)|그 어느 과목보다도 어렵게 출제할 수 있으나]] 전통적으로 평가원은 모평이 아닌 수능에선 확통으로 변별을 하지 않았다. 다만 선택과목 체제가 적용된 [[2022 수능]] 이후 수능에서는 최상위권의 표준점수 손해를 막기 위해 모평에서는 쉽게 내더라도 수능에서는 어렵게 출제하고 있기는 하다.] || Δ || || 미적분 || 많음[* 개념량이 수학II의 몇 배에 달할 정도로 많은데, 공통과목인 수학Ⅱ와 많은 내용이 겹치지만 그것을 감안해도 타 선택과목에 비해 개념양이 많다.] || 약 48% || 높음 || 높음 || O || || 기하 || 적음[* 단, 교과서에서 다루는 개념량이 적다는 것이지 수능 준비를 위해선 미적분에 맞먹는 학습량이 필요하다.] || 약 '''4%''' || 보통[br] ~[br] '''매우 높음'''[* 개인차가 극심해서 잘 맞는 사람은 쉽게 적응하지만 그렇지 않다면 적응하기 매우 어렵다. ] || 보통[br] ~[br] '''매우 높음''' || O || ==== [[2015 개정 교육과정/수학과/고등학교/확률과 통계|확률과 통계]] ==== 2021학년도 대학수학능력시험에서는 '가형'과 '나형' 모두 필수이지만, 2022학년도 대학수학능력시험부터서는 문·이과 구분을 두지 않는다는 명목으로 '미적분', '기하'와 함께 선택 과목으로 격하되었다. 기존 인문계열 대학 지망자가 다수 지망할 것으로 보이지만, 과거 수리 나형 [[수학Ⅰ(7차)|수학Ⅰ]] 시절 '확통의 공포'[* 당시의 '경우의 수'와 '확률' 문제는 가히 [[헬게이트]]라고 할 수 있을 정도로 거친 문제가 다수 등장한 바 있다.]가 재림할 수 있는 부분이기도 하여 수리 가형의 '확률과 통계' 마냥 기피 선택 과목이 될 수도 있다. 늘 평가원의 전통대로 기초적인 부분에서 문제를 더럽게 어렵게 내는 것도 있고, 이 과목에서 작정하고 킬러 문제가 제대로 등장하면 감히 미적분이나 공간도형 '''따위'''가 범접할 수 없을 정도로 정말로 답이 없기 때문이다. 극단적으로 말해서 그냥 [[KMO]] 1차 조합론 문제를 웬만한 거 하나 가져와서 내도 '''교육과정상 아무런 문제가 없다고 봐도 무방하다.'''([[카탈랑 수]], 그래프 이론 등은 누가 봐도 교육과정 침해인 걸 알 테니까) 사설 인터넷 강의 수학 강사 [[현우진]]은 [[2022 수능]]부터 '확률과 통계' 난도가 소폭 상승할 것으로 예측하였다. [[https://youtu.be/NHxOET9ri28|관련 영상]][* 물론 본인도 [[뇌피셜]]임을 자처하였으나 경험상 그렇게 될 확률이 높다고 보았다.] 그 이유는 문이과 공통으로 치르는 시험 특성상 문과 표본과 이과 표본이 합쳐지면, 공통 범위에서 어렵게 내는 것은 합리적으로 불가능하기 때문에 선택 과목에서 변별력을 가를 것이라는 해석이다.[* 과거 구 7차 교육과정 수리 가형 공통 범위에서 어렵게 낼 수 있었던 것도 수리 가형 선택자의 상당수가 이과였기에 가능했던 것이다.] 이에 따라 '미적분'은 지금보다 어려워지거나 17 수능, 18 수능 수준으로 갈 가능성이 있으며, '기하'는 작년 수능에서 빠졌기 때문에 재수생 유입이 필히 덜할 것이므로 킬러의 난도는 무난할 것이고, '확률과 통계'는 소폭 상승이라는 의견이다. 그런데 이 소폭 상승이라는 말이 굉장히 무서운데, 2020학년도 6월 모의평가에서 '확률과 통계' 문제 수준을 아주 살짝 올렸는데도 정답률이 우수수 떨어지는 진풍경을 보여준 적이 있다.[* 게다가 확률과 통계의 특성상 객관식에서는 아무리 어렵게 나와도 선지를 통해서 어느정도 여사건을 쓸지 안쓸지와 답이 맞는지 안 맞는지를 대강 알 수 있는데 주관식은 그런 장치가 전혀 없기에 조금의 실수가 발생해도 이를 보정해줄 장치가 거의 없다. 그래서 언제나 주관식에서의 확률 통계는 쉽든 어렵든 수준에 비해서 대개로 낮은 정답률을 보여준다.] 그리고 이 문제는 20번대 중반부의 중상 수준의 문제였다. 그러나 이제는 '''당장 30번에 '확률과 통계' 문제가 뜰 수 있다는 것이다.''' 인문계열 진학 예정 수험생 입장에서는 이 점을 잘 생각해보아야 한다. 만점을 맞을 게 아니라면 별 상관없지만 만점을 맞아야 하는 입장이라면 공간 벡터가 탈락한 기하 30번이 더 수월할 수도 있다! 2020년 공개된 2022 수능 예시 문항에서는 확률+경우의 수+통계가 모조리 융합된 유형이 30번에 떴다. 선택형 문항이 총 8개인데, 다른 문항은 그리 어렵지 않은 것으로 보아 확통 선택자 한정으로 6+2 또는 7+1 기조를 보일 것이라는 관측이 있다. 이후 2022 수능 역시 만만치 않은 조건부확률 문항이 출제되었는데, 착실하게 계산만 하면 풀 수 있게 출제되었...으나, 이는 이론적인 결과고. 실제 정답률은 무려 4%(...)가 나왔다. 경우의 수 문제의 경우 문제를 보자마자 '아 이건 중복조합이네'와 같이 곧바로 어떤 단원에서 배웠던 건지 떠올리기가 힘들다. 그래서 아예 직접 세어 보면서 규칙을 찾는 풀이법(일명 [[노가다(수학)|NGD Theorem]])도 많다.[* 사실 억지로 공식을 사용하는 것 보다는 그냥 세는 게 나을 때도 있다. 이는 [[KMO]] 조합론에서도 많이 쓰이는 테크닉.] 4점짜리가 이러한 [[이산수학]]적인 창의적인 구성법을 요구하기도 한다. 문제가 어려워질수록 빼야 하는 경우의 수가 많아지는데, 어떻게 빼야할 지 당연히 알려줄 리 없기 때문에 그로 인해 고전하는 경우도 많다. 문제를 많이 풀어서 다양한 유형을 접하며 감각을 익혀야 이 단원에 익숙해질 수 있다. 평가원/교육청 기출 확통 박스형 빈칸 추론 문제들을 '''박스 없이''' 해결할 수 있는 수준이면 충분할 것이다.[* '''박스 없이'''가 포인트. 확통의 박스형 문제에서 주어지는 힌트는 실제 확통 문제에서 요긴하게 사용될 수 있는 '''발상'''인 것이 대부분이라, 이러한 발상들을 박스 없이 문제만 있는 상황에서 끄집어낼 수 있도록 연습해야 한다. 그렇게 하지 않으면 확통 빈칸 기출 문제를 아예 공부하지 않는 것과 다름없다.] * 순열과 조합에서는 합의 법칙, 경우의 수, 직순열, 조합은 [[수학(2015)|고1 수학]]으로 내려가면서[* [[2007 개정 교육과정]] 때도 한 번 내려간 적이 있어, 이번이 두 번째로 내려간 것이다.] 다루지 않는다. 그러므로 복습이 필요하다. 특히 개념 복습도 중요하지만 그 자체로는 앙금 없는 찐빵 같은 존재라, 문제 복습을 더 확실히 해두어야 한다. 그리고 자연수의 분할, 집합의 분할이 삭제(심화 수학Ⅱ로 올라감)되었다. * 확률은 주관식으로 나오면 피를 토할 수 있다. 아니나 다를까 2022 수능부터 인문계열 전용 선택 과목으로 전락할 가능성이 농후하기 때문에, 2013 이전 수능 때처럼 거친 문제가 마구 등장할 수 있기 때문. * 순수 확률 문제는 사실상 순열과 조합의 응용이다. 조건부 확률과 이항분포가 관건. * 통계 파트는 실력 싸움이라기보다는 그냥 안 외워서 까먹는 파트에 가깝다. 2014 수능에서 미분을 활용한 최댓값 구하기 융합 문항이 등장한 적 있으나, 기본적으로는 그냥 탐구 영역이라 생각하고 학습하는 것이 좋다. ==== [[2015 개정 교육과정/수학과/고등학교/미적분|미적분]] ==== * 주로 상위권 수험생, 자연계열 수험생들이 선택하는 과목이며, 학습량과 문제 수준, 표본수준이 타 선택과목에 비해 높은 과목이다. 이것에 대한 학습이 제대로 안되어있으면, 바로 이공/자연계열 학과에 가서도 피를 보게 되기 때문에 제대로 공부해야 한다. [[2021학년도 대학수학능력시험]]에서는 가형 출제 범위에 포함되어 있으나, [[2022학년도 대학수학능력시험]]부터는 선택과목으로 격하되어 [[기하(교과)|기하]]나 [[확률과 통계(2015)|확률과 통계]] 선택자는 응시하지 않는 과목이 되었다. 직전 2009 개정 교육과정의 메타 대로라면, 적분법에서 30번 킬러 문제가 뜰 수 있겠으나, 이번에 수학Ⅰ을 포함시키는 바람에 2013 수능 때처럼 '수열'이나 '지수함수'에서 킬러를 출현시킬 수 있다. (2009 교육과정 마지막 수능인) 2019년 수능에서도 30번 문제가 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하는 문제였으므로 이번 교육과정의 예비 실험이었을 지도 모른다. 다만 지수함수라던가 수열이라던가 하는 킬러는 22번에 뜨면 몰라도 30번에 뜰 리는 없으니 30번은 거의 적분법 단원으로 나올 것이다. * (무한)등비급수 도형 관련 추론 문제는 직전 교육과정 세대 딱 한 번만 '공통범위'에서 빠지고 '인문계열'에서만 다루는[* 가형에서는 간접 출제 범위였다.] 우스꽝스러운 일이 일어났었다. 혹시 재수생일 경우에는 이 유형을 집중적으로 학습하기 바란다. 특히 수학I에 나오는 사인법칙과 제2코사인법칙을 활용하는 문제는 충분히 킬러급으로 나올 수 있기 때문에 옛날 기출들을 풀어보는 것이 중요하다. 공통 → 문과용 범위 → 이과용 범위가 되어버린 희한한 단원 중 하나이다. 4점으로 출제되었던 과거와 다르게 3점 문제로 나오고, 난이도도 약간 내려갔다. 다만, [[윤석열 정부 수능 출제 방침 지시 관련 파문]]의 영향으로 2024 9월 모의평가부터는 소위 삼도극이라 불리던 또 다른 도형추론 문제 문제가 출제되기 어려워졌으므로 반대급부로 등비급수가 4점으로 재격상되고 난이도가 치솟을 가능성이 있다. * 삼각함수 파트는 지난 교육과정과 동일하다. 삼각함수는 극한과 미분 파트만 봐도 무리가 없을 것이다. 다만, [[수학 I]]에 상당부분 추가된 삼각함수 파트는 소홀히 하지 말 것. * 아직은 추측의 영역이지만, 기하가 수능 범위에서 제외됨에 따라 약화된 도형 관련 문제들이 여기에서나 등비급수에서 강화되어 출제될 수 있으므로 주의하도록 하자. * [[2022학년도 대학수학능력시험]]부터는 선택과목으로 격하되므로 2005~2011 수능 때처럼 30번이라고 하더라도 준킬러 수준으로 난도가 낮아질 가능성이 높다. 이는 2020년 5월 29일에 공개된 2022 수능 예시 문항에서도 확인할 수 있는데, 29번과 30번 문항이 둘 다 기존의 30번과 비슷한 비주얼을 보이고 있지만 실질적으로는 한 자리수 정답률이 뜰 정도로 크게 어려운 편은 아니다. 실제로, 2022 수능 30번의 경우 거의 동네북(...) 수준의 문제가 출제되는 굴욕을 당했다. 대신 29번에 삼각함수 극한 [[노가다(수학)|체육 문제]]를 하나 배치함으로서(...) 계산량으로 승부를 본 셈. * 과거와 달리 매우 볼륨이 큰 킬러 문제는 더 이상 출제되지 않고 있다. 다만 풀이의 단서를 찾지 못하면 문제를 풀 수 없다는 특성과 공통 과목에 비해 많은 계산량은 여전하다. 따라서 개정 교육과정의 출제 경향에서 미적분 교과에서 좋은 성적을 받기 위해서는 '''계산력'''과 '''직관에 따른 발상력'''이 매우 중요하다. 이 중 계산력은 쉽게 기를 수 있지만 직관이 매우 골치아픈데, 특히 '''도형'''과 '''적분법'''의 경우 풀이를 찾아가는 과정이 직관에 매우 크게 의존하며, 단서를 발견하지 못할 경우 시험장 내에서 그 문제를 절대로 풀어낼 수 없기에 확실한 실력을 갖추는 것이 요구된다. 즉, 발상을 하지 못하거나 단 하나의 단서라도 놓치면 그대로 문제를 틀리게 되며, 기본개념을 문제에 적용시키는 과정 자체가 매우 난해하기에 공통과목에 비해 단기간에 성적을 올리기 매우 어려운 과목으로 여겨진다. 따라서 미적분 교과를 선택한 학생들은 내신이 3학년에 편성되어 있다면 2학년 때부터 기본 개념과 기출을 학습하고 '''단서'''를 찾아내어 개념을 적용시키는 연습을 통해 직관력을 키워야 4점 문항을 다 맞힐 수 있다. ==== [[2015 개정 교육과정/수학과/고등학교/기하|기하]] ==== * 2020년 수능에서는 이 과목이 수학 가/나형 모두 출제범위에 포함되지 않았다. [[https://news.naver.com/main/read.naver?mode=LSD&mid=sec&sid1=102&oid=001&aid=0009927332|기사]] 이로써 이과수학은 수능 첫 시행 이후 최초로 기하 및 벡터 범위 전체가 사라지게 되었다. (문과는 6차 교육과정기인 [[1999학년도 대학수학능력시험]]부터 사라졌다.) * 2020년 5월 29일에 공개된 2022학년도 예시 문항을 보면 기존 2014~2020학년도 수능에서 나온 29번의 공간도형x공간벡터가 순수공간도형으로 바뀌어 30번으로 옮겨 갔고, 29번 문항은 [[이차곡선]]에서 [[킬러 문제]]로 출제하였다. 반면 평면 벡터나 공간도형에서는 힘을 빼버리는 기조가 강하다. * 6,9평 때 기하가 미적분보다 쉽게 출제되면서 기하가 꿀과목이라는 결론이 나오는 듯 했으나... 수능 날 제대로 헬게이트 수준으로 상승하였다. 100점을 맞았다면, 미적분과 표준점수가 동점이 나올 정도로 유사한 등급분포를 보이고 있고, 절대적인 난도는 기하가 가장 높았다는 말까지 있을 정도. 문제는 응시자 수가 적다 보니 기형적인 표본으로 인해 아웃풋이 영 좋지가 않다. ---- * 이차곡선 * 수학적 테크닉을 요구하는 문제가 나오기도 한다. 가장 신유형으로 각색하기 좋은 단원이기도 해서 그리 만만하게 볼 단원은 아닐 수도 있다. 실제로 2019학년도 6월 모평에서 신유형으로 매우 어렵게 등장했고(17, 19번), 이 문제 때문에 1등급 컷이 85점으로 내려갔었다. 포물선은 좌표 평면 상에서 준선과 초점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합으로 표현된다. 이를 통해 이등변삼각형을 유도하기도 한다. * 처음 배우는 학생들은 이차곡선은 쉽다고 생각해서 약간 무시하는 경향이 있고[* 상술했듯이 본래 고등학교 1학년 과정에서만 다루던 '중단원' 규모의 기초 수준에 불과했기 때문에 이런 인식이 생기는 것이다.], 벡터 파트를 더 열심히 공부하는데, 이차곡선은 2009 개정후 첫 시행인 2017, 2018학년도 모평과 수능에서 꾸준히 준킬러로 나오며 수험생들을 골 때리게 했었다. 또, 2019학년도 6월 모평 가형 19번과 2020학년도 9월 모평 가형 21번에서는 신유형으로 등장하며 상당히 어렵게 나왔다. 비록 2015 개정 교육과정에서는 이차곡선에 음함수의 미분과 엮어서 나올 수는 없지만, 판별식으로 충분히 접선의 방정식을 유도할 수 있기 때문에 음함수의 미분과 엮지 않아도 매우 어렵게 출제할 수가 있다. 이차곡선의 기하적 성질이 접선과 엮으면 매우 방대하기 때문. 중학교때 배운 기하적 성질과 더불어 원의 방정식과 엮어서 나오면 그야말로 헬이 될 수도 있다. 이차곡선은 잠재적인 킬러 단원이므로 소홀히 공부하면 절대 안된다. * 평면벡터 * 벡터의 합 차 같은 경우에는 과학의 힘의 합성과 유사한 부분이 있어 이론 자체는 다른 단원보다 쉽게 느껴질 수 있다. * 내분 · 외분으로 어렵게 나올 순 있지만, 모평이나 수능에 내분 · 외분을 복잡하게 낸 사례는 10년 동안 딱 '''한 문제''' 밖에 없었다. 따라서 앞으로도 모평이나 수능에 나올지는 의문이지만, 나온다면 꽤 어렵게 나올수 있다. * 벡터의 내적의 경우 중학교 과정의 삼각비만으로 설명할 수 있도록 예각과 둔각의 경우를 나눠놨는데, 왜냐하면 교육과정상 [[수학(2015)|고1 공통수학]]만을 배우고 바로 기하를 배울 수 있도록 하여 기하를 배우는 학생들은 삼각함수를 일절 배우지 않았다는 것을 전제로 하기 때문이다. 이에 따라 삼각함수를 써야 풀리는 문제는 나오지 못하게 됨으로써 코사인의 최대 · 최소를 묻는 문제도 어렵게 나올 수가 없게 되었다. * 또한 같은 이유로 2009 개정 교육과정까지 각도 표시를 호도법으로 했었는데, 2015 개정 교육과정에서는 각도를 육십분법으로 나타낸다. 상술했듯이 삼각함수에 대한 교육이 전무하기 때문에 호도법을 쓰지 않는 것. 호도법은 수학Ⅰ의 삼각함수에서 맨 처음 나오는 개념이다.[* 다만 [[2023학년도 대학수학능력시험]] 기하 27번, 29번 문항에서는 각도를 호도법으로 나타내었다.] * 공간도형과 공간좌표 * 교육과정이 바뀌면서 (제2)'''코사인 법칙'''[* 삼각형 ABC에서 a²=b² + c² - 2bc cos A° . 여기서 a, b, c는 임의의 길이이므로 관점(?)을 다르게 봐도 성립한다.]이 수능 범위한정으로 다시 들어왔기 때문에[* 정확히는 수학I로 들어온 것이기 때문에, 수1을 선수로 두지 않는 기하에서는 원칙적으로 사용할 수 없지만, 수학I을 필수과목으로 놓는 수능에서는 출제될 수 있다.] 입체도형의 물리량을 다시 물어볼 수 있게 되었다. 변의 길이와 각도의 크기를 묻는 문제가 출제될 수 있다는 것에 유의해야 한다. 따라서 만약 시중 참고서나 문제집이 최근 경향만 다루고 있으면 비추천한다. 2016~2019년 기출 문제로만 공부하면 상당히 피볼 수 있으므로 2015년까지의 기출 문제를 꼼꼼히 찾아볼 필요가 있다. 또 '쎈', '정석', '바이블' 등 시중 참고서에서는 코사인법칙 연계 관련 문제가 없다. 교육과정 해설서에도 다루지 말라고 굳이 막지는 않았지만, 기하 과목은 코사인법칙이 들어가 있는 수학I을 배우지 않고도 배울 수 있는 과목이기 때문에 시중 참고서에서는 코사인법칙과 연계한 문제를 잘 볼 수 없는 것으로 추정된다. * 이론서만 달달 외우고 문제를 푸는데, 사실상 이 파트에서 그런 식의 사회탐구식 공부법은 전혀 도움이 되지 않는다. 또 하나 이 부분을 어려워 하는 학생들은 주로 중학교 도형 수학이 제대로 안 되어 있는 사람들이 대부분이니 안됐지만 중학교 수학의 그쪽을 다시 공부하기 바란다. 중학교 2학년 때 배운 도형의 성질과 닮음 개념을 휘황찬란하게 곁들여주기 때문에 중학교 때 논 사람들은 상당히 힘들어한다. 각종 인터넷 강의 전문 사이트에서는 중학 도형 특강을 무료로 제공하고 있으니, 중학교 도형이 약한 수험생들은 그쪽 컨텐츠를 적극적으로 활용하기 바란다. 처음 배운 사람 입장에서 생소한 개념으로 꼽히는 삼수선 정리는 가히 평면 도형의 피타고라스 정리 만큼의 위상을 갖고 있다. 특히 문제에서 수직이 나오면 일단 삼수선 정리를 떠올리자. 직접 증명해보는 것도 좋은 방법이다. 일단 수선의 발을 내리고 삼수선 정리를 생각해 보면 뭘 물어보려는 지가 보인다. [[파일:namu_삼수선의정리_수정.png]] 삼수선 정리를 외운다기보단, 상단 그림을 이미지화해서 기억하면 쉽다. * 특히 이면각을 구하는 문제를 풀때, 직각이 있는 곳에 임의로 좌표공간을 도입하고, 점의 좌표를 이용하여 법선벡터(교육과정 탈락 내용)를 설정함으로써 평면의 방정식까지 세우면 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 벡터의 외적까지 사용하면 문제가 빠르게 풀린다. * 이 단원에서는 [[공간지각력|공간지각능력]]을 엄청나게 요구하지 않을 뿐더러 공간지각적으로 접근해 직관적으로 풀기 어려운 문제도 많으므로 초등수학이나 중학수학 도형 문제를 풀듯이 풀지 말고 공간도형을 잘라 '''단면화'''해 해석하는 것이 중요하다. 이 점은 EBS 강사들도 설명한 바 있다. * 과거엔 공간도형 · 공간벡터의 연관성을 중시하여 이 두 단원을 엮어서 출제하였다. 공간도형 · 공간벡터, 소위 말하는 공도벡 파트는 이과 수학 수능 29번의 킬러 문제로 군림했었다.(30번은 미분 · 적분에서 출제하였다) 그러나 '''공간벡터''' 문제들이 모두 삭제되며, 이에 따라 공간벡터를 배우면 쉽게 풀 수 있는 '''공간도형과 공간좌표'''의 문제들도 대거 삭제된다. 특히 공간도형의 이면각이나 직선과 평면 사이의 각을 구하는 문제가 그러하다. 따라서 개정 후 공간파트의 문제는 다소 쉬워질 것으로 예상된다. 다만, 공간도형 특성상 그림을 그리는 게 평면보다 쉽지는 않기 때문에 세 개의 단원 중 체감 난도가 가장 높을 수 있다. --걱정하지마라, 2010학년도 9월 모의수능 23번 문제는 전혀 공간 벡터를 쓰지 않아도 되었으니...-- 이러한 이유로 인해 '''기하 기출 중 벡터만 출제된 문제, 공간도형과 공간좌표만 출제된 문제 같은 경우 상대적으로 부족한 편'''이므로, 이제까지의 모든 기출 풀이법을 마스터할 것 뿐만 아니라 다양한 방식으로 접근해서 여러 가지 풀이로 문제를 풀어보는 것이 좋다. 쉽게 나온다면 기존 기출만 잘 공부해도 점수를 잘 얻을 수 있지만 기출에 없는 전혀 새로운 문항이 출제되었을 때, 여러 가지 방법으로 시도하는 것이 정답에 이르는 가능성이 높아진다. == 여담 == * 원래 (고1) 수학은 [[2021학년도 대학수학능력시험|2021 수능]] [[수학 영역]]에서 수능 직접 출제 과목으로 포함시켜 치르게 할 예정이었다. [[http://noworryserver.ipdisk.co.kr/publist/HDD2/Policy/2017-03-15(2)/2.png|(당시 1안)]] 이유는 초안을 작성하는 과정에서 고1 수학을 넣는 것이 차라리 '''수학능력'''을 시험하는 데 있어 더 알맞다고 의견이 모아졌기 때문. 하지만 알 수 없는 이유로 수능 범위에서 빠지게 되었다. 이 뿐만 아니라 7차 교육과정부터 고1 수학이 수능 범위가 아니라는 이유로 건너 뛰는 바람에 [[수포자]]가 많아졌다는 설도 꾸준히 제기되기도 했다. 중간 기둥이 무너지면 후속 과정에 차질이 생기고, 사실상 높은 성적을 받기 힘들기 때문.[* 근데 이런 논리라면 중학교 도형이랑 통계 파트도 직접 출제 해야 한다. 나머지 대수, 해석, 이산수학 파트는 고1 수학에 와서 재설명을 해주고 있지만, 통계는 이러한 부분이 전혀 없고, 기하는 다루긴 하나 중학교때 다루는 [[논증기하]]와는 다른 [[해석기하]]만 다룬다.] * 나형과탐의 이익이 사라졌음에도 예상대로 확률과 통계 응시자가 가장 많았으며, 기하 응시자는 전체의 10%도 안되는(37300명 - 8.6%) 처참한 비율로 고3 수험생들과 재수생들에게 버림받았다. [* 그러나, 확통 접수자 비율은 53.2%, 응시자 비율은 51.6%에 불과, 67.0%였던 전년도 나형 접수자 비율과 비교하면 비율이 많이 줄어들었다.] 미적분 : 기하 = 4.55 : 1이라는 비율이 나온 이유로는 복합적인 요인이 있겠지만, 무엇보다 수I과 수II에서 배운 개념을 갖고 적용한다는 점에서 완전히 새로운 내용을 배워야 하는 기하보다 수험생에게 더 친근하게 다가왔을 것이다. 실제로 많은 개념이 수1과 수2의 중복이기 때문에 수1과 수2 실력 향상에도 큰 도움이 된다. 이 외의 이유로는 버릴거면 확통도 같이 버려야지 기하만 인강에서 버림받아서 컨텐츠가 부족한 점, 미적분이 기하보다 표준점수가 높을것이라고 예상되었고 실제로도 6번의 시험 모두 그랬던 점[* 정작 2022 수능에서는 100점 표준점수가 '''미적분=기하'''였고, 심지어 같은 점수라도 어느 과목에서 점수를 어떻게 받았느냐에 따라 오히려 기하 선택자가 이득을 볼 수 있으며, 실제로 2022년 6월에 실시한 모의평가에서는 기하가 1점 차이로 미적분을 역전해버리는 결과가 나와버렸다.--덕분에 표준점수 최고점이 13명밖에 없다--], 기본적으로 학생들은 중등기하에 약한데 그 내용만 모여있는 기하라는 과목에 대한 부정적인 인식, 이공계 대학생의 공통수학 격인 [[미적분학]][* 이공계로 들어왔다면 좋든 싫든 교양필수로 이수해야 하는 과목이다.]과의 연관성이 매우 큰 점 등이 있을 것이다. 사실 기하가 내용 때문에 버림받는다기보다 내신 상대평가인 미적분과 수능에서의 기하를 같이 준비하기 힘든 인원이 있다는 점, 기하를 응시하면 자연계인데도 초월함수의 미적분을 하지 않게 되는 기형적인 선택형 구조 때문에 이런 일이 발생한 것으로 보인다. * 2021년에 시행한 수능에서 미적/기하를 고르고 2과탐을 보지 않은 학생이 13,786명이다.[* 미적 2사탐 8,377명, 미적 1사1과 2,637명[br] 기하 2사탐 2,163명, 기하 1사1과 609명] 22수능은 미적분이 확통보다 최고점이 3점 높았는데, 앞으로도 미적분 선택자수가 늘어날 것으로 예상되며, 실제로 2023학년도 수능에서도 미적/기하를 고르고 2과탐을 보지 않은 학생이 18,449명, 무려 33.8% 증가했다. 미적분과 확률과통계의 선택자 수의 격차가 2.8%p로 더욱 줄어 확통 선택자 비율이 50% 미만으로 내려갔음에도, 여전히 언론은 수학을 기준으로 문이과를 나누고 있다.(...) * 2022 입시부터 상위권 이공계열 대학에서는 수능에서 '기하', '미적분' 중에 1택이라는 조건을 걸어놓아, 사실상 확률과 통계가 문과용 과목으로 전락했다. 물론, 중등과정 확률과 통계는 대학에선 큰 의미가 없긴하나 문이과 통합이라 해놓고서 나형시절보다 제한을 더 거는것은 좋게 보일리가 없다.[* 컴퓨터나 전산 업무와 직결되는 학과에서는 확통이 기하보다 더 중요할 수 있으나, 대학교에서 배우는 확통은 오히려 '''미적분이 훨씬 중요하다.''' 기초적인 확률분포인 정규분포부터 미적분을 많이 쓰기 때문.] * '''대부분의 학교는 확통, 미적, 기하 3과목 모두 들을 수 있도록''' 교육과정을 편성하며, 대개 '''확률과 통계는 대부분의 학교가 모든 학생이 이수할 수 있게 편성한다.'''[* 확통과 기하는 학교에 따라 배우는 시점이 2학년이 될 수도, 3학년이 될 수도 있다. 미적분은 3학년 과정으로 편성하는 경우가 많다.] 다만, 문과는 확통, 이과는 미적분과 기하만 배울 수 있게 하는 학교와 문•이과 관계없이 가장 학습량이 많은 '''언어와 매체'''와 '''미적분'''을 필수로 거는 학교가 드물게 있다는 것을 유의해야 한다. 아예 서울대에서는 '''대부분의 자연계열 학과는 내신으로 확통, 미적, 기하 3과목 모두 이수하라고 권장(사실상 필수)'''했으며, 서울대뿐만 아니라, 자연계열 학과에 학생부종합 생각이 있는 학생들은 수학 3과목을 모두 이수해야 조금이나마 좋은 평가를 받을 수 있다는 것도 참고할 것. ---- * 자연계 기준으로 2020년 수능부터 기하를 응시하지 않아도 되는 바람에 공학 계열 입장에서는 '''물리와 벡터를 안 배우고 공대에 진학하는 학생들'''이라는 존재와 맞닥뜨려야 하고, 이 때문에 반발도 크고 이목도 당연히 쏠릴 수밖에 없게 되었다.[* 다만 미적분과 비교하여 고등학교 기하의 개념 수준은 상당히 쉽기 때문에 살짝만 보고 익혀도 되는 수준이다.] * 위와 정반대로 2021년부터는 미적분을 응시하지 않고 기하를 응시하는 학생들이 굉장한 문제가 될 것이다. 당장 이공계 학생들이 1학년때 필수적으로 배워야 하는 과목은 [[미적분학]]인데, 고교 미적분과 매우 큰 연관이 있기 때문에[* 엄밀히 말하면 [[기하]]도 후반부 공간기하학 파트에서 필요하긴 하나, 기하는 기본 개념만 알면 되는 데에 비해 미적분의 경우 [[엡실론 델타 논법]], [[역삼각함수]], [[쌍곡선함수]]의 도함수와 원시함수, [[이상적분]], [[로피탈의 정리]], [[삼각치환]], 급수의 수렴성 정리, [[테일러 급수]]부터 더 나아가 [[편미분]], [[델(연산자)|방향도함수]], 라그랑주 승수, [[전미분]], [[중적분]] 등 엄청난 양의 개념들이 미적분 베이스가 없다면 '''손도 댈 수 없다.'''] 수능에서 미적분을 응시하지 않았더라도 꼭 고교 미적분을 완벽히 끝내고 대학에 입학하여야 한다. * [[중국 수학 교육과정]]에서는 기하에 해당하는 내용을 문이과를 막론하고 1~2학년 때 필수로 배운다. 반면, 확률과 통계는 무려 이과 전용 과정이며, 문과는 간단한 자료 정리와 통계 함수만 배운다. 2022 수능부터 기하가 이과 전용 과목, 확통이 문과 전용 과목인데 중국은 정반대라는 것이 기이하다. 이 때문에 [[이과]] 지망생들이 확률과 통계를 건드리지도 않을 경우 '[[문과]]보다 머리는 나쁘면서(수학능력적 수학), 그저 아는 것만 더 많은(지식적 수학) 이과'로 남게 될 수 있다. 장차 [[PSAT]]를 준비하는 학생들이 이 과목을 못 하면 벽에 부딪치고 말 것이다. == 관련 문서 == * [[다항함수/추론 및 공식]] * [[삼차함수]] * [[사차함수]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=수학(2015), version=132)] [include(틀:문서 가져옴, title=수학Ⅰ(2015), version=234)] [include(틀:문서 가져옴, title=수학Ⅱ(2015), version=183)] [include(틀:문서 가져옴, title=미적분(2015), version=194)] [include(틀:문서 가져옴, title=확률과 통계(2015), version=117)] [include(틀:문서 가져옴, title=기하(2015), version=555)] [include(틀:문서 가져옴, title=2021학년도 대학수학능력시험/의견, version=378)]캡챠되돌리기