[include(틀:통계학)] [목차] [[https://www.youtube.com/watch?v=xmDs5s-1beo|수식없이 설명하는 F분포]] == 개요 == '''f분포'''(F-distribution 또는 Snedecor's F-distribution 또는 Fisher–Snedecor distribution)는 [[통계학]]에서 사용하는 [[연속 확률 분포]](continuous probability distribution)로 [[분산 분석]]에 많이 사용한다. 독립적인 두 [[카이제곱분포]]에 관한 비로써 정의된다. 자유도는 분자에 해당하는 카이제곱분포의 자유도와 분모에 해당하는 카이제곱분포의 자유도에 의해 결정된다. 분산 비 검정, [[분산 분석]], [[회귀 분석]] 등에 사용한다. F-분포로 하는 [[검정]](test)을 [[F-검정]](F-test)이라고 한다. == 정의 == [math(U_1\sim\chi^2_{\nu_1},\,U_2\sim\chi^2_{\nu_2})]이고 [math(U_1)]과 [math(U_2)]가 독립일 때 f분포를 다음과 같이 정의한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(F=\dfrac{U_1/\nu_1}{U_2/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\,\nu_2})]}}} [math(\nu_1)]은 [math(U_1)](분자)의 자유도이고, [math(\nu_2)]는 [math(U_2)](분모)의 자유도이다. 한편, [math(\Large{F_{\nu_1,\;\nu_2,\;\alpha}})]는 [math(\Large X\sim{F_{\nu_1,\;\nu_2}})]에 대하여 [math(P[X\geq a]=\alpha)]가 되도록 하는 [math(a)]의 값을 일컫는다. == 분산비검정 == '''분산비검정'''(variance ratio test)이란 다음과 같이 두 분산을 비교할 때 사용하는 방법이다. 두 [[카이제곱분포]] [math(U_1=\dfrac{(n_1-1){s_1}^2}{{\sigma_1}^2}\sim\large{\chi^2_{n_1-1}})]과 [math(U_2=\dfrac{(n_2-1){s_2}^2}{{\sigma_2}^2}\sim\large{\chi^2_{n_2-1}})]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}F&=\dfrac{U_1/\nu_1}{U_2/\nu_2}=\dfrac{\cfrac{\cancel{(n_1-1)}{s_1}^2}{{\sigma_1}^2\cdot\cancel{{\nu_1}} }}{\dfrac{\cancel{(n_2-1)}{s_2}^2}{{\sigma_2}^2\cdot\cancel{{\nu_2}} }}\\ \\&=\dfrac{{s_1}^2/{\sigma_1}^2}{{s_2}^2/{\sigma_2}^2}=\dfrac{{s_1}^2/{s_2}^2}{{\sigma_1}^2/{\sigma_2}^2}\sim \large{F_{n_1-1,\;n_2-1}}\end{aligned})] [math((\because \nu_1=n_1-1,\;\nu_2=n_2-1))]}}} == 성질 == 분모와 분자의 자유도가 서로 바뀌어 있는 두 [math(F)]분포에 대하여 다음과 같은 중요한 성질이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\Large{F_{\nu_1,\;\nu_2,\;\alpha}}=\dfrac1{\Large{F_{\nu_2,\;\nu_1,\;1-\alpha} }})]}}} {{{#!folding [증명] 두 [math(F)]분포 [math(X\sim\Large{F_{\nu_1,\;\nu_2}})]이고 [math(Y=\dfrac1X\sim\Large{F_{\nu_2,\;\nu_1}})]이 있을 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}{\color{red}\Large P\left[X\geq{F_{\nu_1,\;\nu_2,\;\alpha}}\right]}&=\alpha\\\Large P\left[Y\geq{F_{\nu_2,\;\nu_1,\;1-\alpha}}\right]&=1-\alpha\end{aligned})] }}} 두 번째 식을 변형하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}{\Large P\left[\dfrac1Y\leq\dfrac1{{F_{\nu_2,\;\nu_1,\;1-\alpha} }}\right]}&=1-\alpha\\\rightarrow{\color{red}{\Large P\left[\dfrac1Y\geq\dfrac1{{F_{\nu_2,\;\nu_1,\;1-\alpha} }}\right]}}&=\alpha\end{aligned})]}}} 빨간색 식끼리는 값이 [math(\alpha)]로 같으면서, [math(Y=\dfrac1X)]이므로 결국 다음 양변이 같을 수밖에 없다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\Large{F_{\nu_1,\;\nu_2,\;\alpha}}=\dfrac1{\Large{F_{\nu_2,\;\nu_1,\;1-\alpha} }})]}}} ---- }}} 또한, '''[[t분포|[math(\boldsymbol t)]분포]]를 제곱하면 분자와 분모의 자유도가 각각 1, [math(\boldsymbol \nu)]인 [math(\boldsymbol F)]분포가 된다.''' {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}t&=\dfrac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t_\nu\\\rightarrow t^2&=\dfrac{Z^2/1}{U/\nu}\sim F_{1,\;\nu}\end{aligned})]}}} == 그래프 == || [[파일:800px-F-distribution_pdf.svg.png|width=400]] || [[파일:800px-F_distributionCDF.png|width=400]] || || [[확률 밀도 함수]] || [[누적 분포 함수]] || 매개변수: [[자유도]] d,,1,, > 0, d,,2,, > 0 == 관련 문서 == * [[확률 분포]] * [[정규 분포]] * [[표준 정규 분포]](z-분포) * [[스튜던츠 t-분포]](t-분포) * [[카이-제곱 분포]](χ^^2^^ 분포) * [[분산 분석]](analysis of variance, ANOVA) * [[회귀 분석]](regression analysis) * [[상관 계수]] * [[Microsoft Excel/함수 목록]]: 간단한 [[통계학]] 계산은 [[엑셀]]이나 [[Calc]]로 할 수 있다. [[분류:확률 분포]]