[include(틀:수와 연산)]
[목차]
== 개요 ==
||<table align=center>{{{#!wiki style="margin: -5px -10px"
[youtube(r0_mi8ngNnM)]}}}||
0의 0제곱 즉, [math(0^0)]은 일반적으로 정의되지 않는 값으로 [[극한]]에서 대표적인 [[부정형]] 중 하나이다.[* 다른 부정형으로는 [math(1^{\infty})], [math(0/0)] 꼴 등이 있다.]

[[복소수]] [math(z)]에 대하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(z^0 \equiv \dfrac zz )]}}}
로 정의하는데, [math(0/0)]은 [[부정형|그 값을 하나로 정할 수 없기 때문이다]].[* 같은 원리로 [math(0^z (z<0))]도 정의되지 않는다.]

== 극한값 ==
=== x^x의 [[극한]] ===
[math(0^0)]은 다음처럼 극한으로 나타낼 수 있다.[* 물론 극한값으로 나타낼 수 있다고 해서 0^0=1로 정의되는 것은 아니다. 예를 들어 sin(x)/x이 0에 가까워 질 때의 좌·우극한 모두 1이지만 sin(0)/0 자체는 정의할 수 없다.]
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 0^0=\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} )]}}}
[[자연로그]]로 식을 다시 쓰면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle x^x = e^{\ln x^x} = e^{x\ln x} )]}}}
이고, [math(x\equiv t^{-1} )]로 잡으면 [math(x\to0^+)], [math(t\to\infty)]가 되므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = \lim_{t\to\infty} \exp \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) )]}}}
이다. 이때, 지수의 극한값이 존재하므로 [[로피탈의 정리]]에 의해
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) \xlongequal{\textsf{l'H\^opital}} \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac1t \biggr) = 0)]}}}
이 됨에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = e^0 = 1)]}}}
이 된다. 

[[복소로그함수]]를 이용하면 좌극한은 물론 일반적인 복소극한도 생각할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle\lim_{z\to0}z^z=\lim_{z\to0}\exp(z\operatorname{Log}z)=\exp\left(\lim_{z\to0}z\operatorname{Log}z\right)=1)]}}}
여기서 [math(\rm Log)]은 편각을 [math([0,2\pi))]로 제한한 복소로그함수이다.[* 이런식으로 치역의 편각을 [math(2\pi)] 기준으로 제한하는 것을 분지절단이라고 한다. 주로 [math([0,2\pi))]를 쓰지만 [math([a,a+2\pi))] 아무거나 써도 큰 문제가 생기지는 않는다.]

=== y^x의 극한 ===
그렇다면, [[다변수함수|이변수함수]] [math(f(x,\,y)=y^x)]은 어떨까? 이는 다음과 같이 생각할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 0^0 = \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) )]}}}
[math(y=0)]이라는 조건에서 이 극한을 생각하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \lim_{x\to0} 0^x = 0)]}}}
이 되고, 반대로 [math(x=0)]이라는 조건을 따라서 생각하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \lim_{y\to0} y^0 = 1)]}}}
이 된다. 즉, 극한이 진행하는 방향에 따라 그 극한값이 달라지기 때문에 [math(\displaystyle \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) )]는 정의되지 않게된다. 같은 이유로 복소함수에서의 극한 [math(\displaystyle \lim_{(z,\,w)\to(0,\,0)} z^w )]도 정의되지 않는다. 따라서 [math(0^0)]의 값은 정할 수 없다.
=== [[무한 지수 탑 함수|무한 번 제곱한다면?]] ===
우선 다음을 정의하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \overset{n}{\overbrace{a^{a^{\cdots^a}} }}=a\uparrow\uparrow n)]}}}
이를 [[테트레이션]](tetration)이라고 한다. [[덧셈]], [[곱셈]], [[지수(수학)|지수]]에 이은 4차 연산이라는 의미이다.

그리고 이 연산에서 [[무한 지수 탑 함수|[math(n)]을 무한대로 보내면]] 다음과 같이 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a \uparrow\uparrow n = -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} )]}}}
여기서 [math(\ln)]은 [[자연로그]], [math(W)]는 [[람베르트 W 함수|람베르트 [math(W)] 함수]]이다.

이제 [math(a)]에 [math(0)]을 대입해 보자. 여기서 [math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} (-\ln x) = \infty)]이고 [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty} W(x) = \infty)]이므로 결국 위 극한은 [math(\dfrac{\infty}{\infty})] 꼴의 [[부정형]]이 된다.

여기서 부정형의 극한값을 구하기 위해 [[로피탈의 정리]]를 적용하면, 최종적으로 무한 번의 [math(0)]제곱은 [math(0)]에 수렴한다는 사실을 얻을 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \lim_{a\to0^+} \biggl( -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} \biggr)
\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}0)]}}}
== 편의상 값을 정하는 경우 ==
엄밀하게는 정의되지는 않지만, 계산기, [[프로그래밍]] 등과 같은 실용적인 분야에선 편의상 [math(0^0=1)]로 놓는 경우가 많으며, [math(0^{-n}=\infty \,(n \in \mathbb{N}) )]로 두는 경우도 많다.

엄밀한 증명이 필요치 않은 경우, 그 값을 1로 둬도 문제되지 않으며, 계산의 편의성이 증가한다. [[https://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=65972176|여기]]에서 더 많은 예시를 볼 수 있다.
=== [[다항식]] ===
다항식 [math(f(x) )]를
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k )]}}}
의 형태로 표현하고자 할 때, [math(x)]의 값에 관계없이 [math(x^0=1)]이라 놓으면 편리하다. 그렇기 때문에 다항식을 다룰 때 [math(0^0=1)]이라 정의하는 경우가 많다.

=== 함수의 개수 ===
두 집합 [math(X)], [math(Y)]에 대하여 각 집합의 원소의 개수를 각각 [math(x)], [math(y)]라 하자. 그런데 만약 두 집합이 모두 공집합이라면, [math(X \to Y)]인 함수는 순서 모음 [math( (\varnothing,\,\varnothing,\,\varnothing) )]으로 단 하나 존재한다. 이런 관점에서 [math(0^0=1)]이라 정의할 수 있다.

그렇기 때문에, [[초한기수]] 문서에도 기재돼 있지만, 기수의 지수 연산에서는 [math(0^0=1)]로 '''정의된다.'''

=== [[중복 순열]] ===
마찬가지로, 0개에서 0개를 중복을 허락해서 뽑는 경우의 수는 사실상 '그냥 안 뽑는 것' 딱 한 가지이다. 따라서 [[조합론]]의 관점에서는 명백히 [math(0^0=1)]로 생각할 수 있다.

=== [[뮌하우젠 수]] ===
[[뮌하우젠 수]]에서는 [math(0^0=0)]으로 정의한다.
[include(틀:상세 내용, 문서명=뮌하우젠 수)]
=== 계산기 프로그램 ===
 * 많은 계산기 프로그램에서 [math(0^0=1)]로 정한다. 심지어 [[Microsoft Windows|윈도우]] [[계산기]]에도 0^0이라 치면 1이 나온다. 추측건대, 계산기가 모든 수의 0제곱을 1로 인식해서 그런 듯하다. 
 * [[CASIO/계산기|카시오 공학계산기]]에서는 'Math Error'라며 계산을 거부하고, [[텍사스 인스트루먼트|TI-84]] 계열 계산기에서는 도메인 오류를 띄우며, [[Wolfram Alpha]] 역시 '정의되지 않은 값'이라는 결과를 표시한다. 아예 안드로이드 계산기에는 '정의되지 않거나 1임'이라는 결과를 표시해준다.

== [[바퀴 이론]]에서의 정의 ==
실수 [math(a)]에 대하여

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle {a^0 = {a \over a}})]}}}

라고 한다면, [math(a = 0)]일때 [math(\displaystyle {0 \over 0})]이다. 그러니까

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle {0^0 = ⊥})]}}}

이다.

== 관련 문서 ==
 * [[0으로 나누기]]
 * [[제곱]]
 * [[0]]

[[분류:산술]][[분류:오류]][[분류:0]]