[[분류:원]][[분류:수학 용어]]
[include(틀:평면기하학)]

[목차]

== 개요 ==
{{{+1 segment of a circle · [[弓]][[形]][* 활꼴을 한자어로 [[궁형#s-1]]([[弓]][[形]])이라고 하나 거의 쓰지 않으며, 우리나라 교육과정에서도 '활꼴'이라는 명칭만을 사용한다.]}}}

원주 위의 서로 다른 두 점이 만드는 [[호(수학)|호]](弧)와 [[할선|현]](弦)으로 둘러싸인 도형. [[활]]처럼 생겨서 붙은 이름이다.[* 호가 활 몸체, 현이 활시위에 대응한다.] 특별히 현이 원주에 딸린 [[지름]]과 같은 도형은 [[반원]]이라고 한다. 일상생활에서는 흔히 '[[반달]] 모양'이라고 한다.

|| [[파일:Euclid-elements-III-35-segments.svg|width=300]]  ||
||  호의 높이 [math( \overline{EB} )], 호의 (밑변)길이(또는 [[현(수학)|현]]) [math( \overline{CD} )] ,  호(둘레길이) [math(\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{CD}  = \overset{\huge\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{CBD}  )] ||
== 둘레 ==
반지름의 길이를 [math(r)], 현의 길이를 [math(c\,(0\le c\le 2r))][* 현의 길이는 지름을 넘을 수 없지만, 현 함수인 [math(\rm crd)] 함수가 [math({\rm crd}\,\theta = 2\sin\dfrac\theta2)], 즉 사실상 삼각함수의 특별한 케이스이기 때문에 [[해석적 연속|해석적 확장]]을 통해 [math(\theta)]가 복소수라고 하면 [math(c>2r)]인 경우의 해도 충분히 구할 수 있기는 하다. 이를 테면 [math(c=7,\,r=1)]이라고 할 때 [[삼각함수#오일러 공식 관련|이 문서의 예제]]처럼 풀면 정수를 [math(n)]이라 할 때 [math(l=7+\pi+4n\pi-2i\log\dfrac{7\pm3\sqrt5}2)]가 된다. [math(c < 0)]의 경우 [math(\arcsin)] 함수가 [[대칭함수|홀함수]]이므로 [math(c > 0)]에서의 값 앞에 음수 기호가 붙는 정도이다. 그러나 [math(l)]이 '활꼴의 둘레'로 정의된 물리량( [math(l \in (\{0\} \cup {\mathbb R}^+))])이기 때문에 복소수나 음수가 등장하는 [math(c>2r)] 또는 [math(c<0)] 조건에서는 그냥 '''해가 없다'''고 결론짓는 게 맞는다.]라고 하면 활꼴의 둘레 길이 [math(l)]은 다음과 같다.
||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} l &= c + r\,{\rm acrd}\,\dfrac cr \\ &= c + 2r\arcsin\dfrac c{2r}\end{aligned})] ||
[math({\rm acrd})]는 [[삼각함수/관련 함수#s-2.2|역할선 함수]], [math({\arcsin})]은 [[역삼각함수|역사인 함수]]이다.

현의 길이를 모르고 중심각 [math(\theta)]를 알 경우, 둘레 공식은 아래처럼 바뀐다.
||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} l &= r( \operatorname{crd} \theta + \theta) \\ &= r \left( 2 \sin \dfrac{\theta}{2} + \theta \right) \end{aligned})] ||
[math({\rm crd})]는 [[현 함수]]이다.
== 넓이 ==
활꼴의 넓이는 [[부채꼴]]의 넓이에서 [[삼각형]]의 넓이를 빼서 구한다. 활꼴의 호의 길이에 따라 부채꼴의 중심각 [math(\theta)]와 넓이가 결정된다. 원의 반지름을 [math(r)], 중심각을 [math(\theta)](단위는 [[라디안]])이라고 하면 부채꼴의 넓이는 [math(\dfrac12r^2\theta)], 삼각형의 넓이는 [math(\dfrac12r^2 \sin{\theta})]이므로 활꼴의 넓이는 다음과 같다.

||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\dfrac12r^2(\theta-\sin\theta))] ||
== 교육과정 ==
[[대한민국]]에서는 중1 때 배운다.

== 관련 문서 ==
 * [[부채꼴]]
 * [[원(도형)]]
 * [[할선]]