[include(틀:수와 연산)]
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== 개요 ==
'''항등원([[恒]][[等]][[元]], identity element)'''은 임의의 원소(실수, 다항식, 행렬, 벡터 등)에 특정 연산을 했을 때 재귀시키는 원소를 말한다. 그리고 연산 결과 항등원이 나오게 하는 원소를 '''역원([[逆]][[元]], inverse element)'''이라고 한다.

== 정의 ==
집합 [math( S )]와 이 집합 위에서 정의된 [[이항연산]] [math( *:S \times S \to S )]가 있을 때, 어떤 [math( e \in S )]가 다음을 만족한다고 하자.
 1. 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( e*x = x )]
 1. 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*e = x )]
1.을 만족하는 경우 [math(e)]를 좌항등원(left identity)라 하고, 2.를 만족하는 경우에는 우항등원(right identity)라 한다. 1.과 2.를 동시에 만족시키면 [math(e)]를 양쪽 항등원(two-sided identity) 또는 항등원이라 한다.

또한 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*a = e )]을 만족하는 [math(a)]를 역원이라고 한다. 보통 [math(a=x^{-1})]로 표기한다.

=== 수에서의 항등원과 역원 ===
 * 덧셈에서의 항등원은 [[0]]이다. 덧셈의 항등원은 달리 '''영원'''이라고도 한다.
 * 곱셈에서의 항등원은 [[1]]이다. 곱셈의 항등원은 달리 '''일원'''이라고도 한다.
기호로는 e 를 쓰며, 독일어로 einheit(단위)를 나타내는 단어에서 유래되었다. 표기가 같은 [[자연로그의 밑]]과 혼동에 주의. 

 * 덧셈의 역원은 [[부호]]가 반대인 수([[반수]])이다. ([math(a + (-a) =0)])
 * 곱셈의 역원은 [[지수(수학)|지수]]의 부호가 반대인 수([[역수]])이다. ([math(a \cdot a^{-1} =1)])

한편, 항등원은 존재하지만 역원이 존재하지 않는 [[군(대수학)|군]]은 [[모노이드]]라고 한다. 대표적으로 0을 포함하는 [[자연수]] 집합 [math(\mathbb{N})]이 있다.

=== 멱등원 ===
동일한 연산(대부분 [[지수(수학)|거듭제곱]])을 행한 원소가 원래의 원소와 동일한 경우, 그 원소를 '''멱등원([[冪]][[等]][[元]], idempotent element)'''이라고 한다. 보통 [math(S^2 = S)]로 표기한다.
위의 덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 [[멱등행렬]], [[멱등함수]] 등이 있다.

이를 통해 알 수 있는 사실은, 멱등원은 제곱해도 그 값이 변하지 않는다는 것이다.

그리고 항등원과 멱등원이 동일한 경우도 있으나, 그렇지 않은 경우도 많다. 가령 곱셈에 대해 예를 들자면, __0을 곱한 횟수에 상관없이 결과값이 0으로 동일하므로__ 0은 멱등원에 속한다.

2000년대 [[KTF]]의 광고 '쇼 곱하기 쇼는 쇼'(쇼 x 쇼 = 쇼)가 적절한 예시이다. [[다항식]] '쇼^^n^^ = 쇼'처럼 [[거듭제곱]]을 몇 번이나 해도 결과가 같다. [[SHOW|쇼]]의 값은 0 또는 1인 셈인데, 공교롭게도 두 숫자는 [[이진법]]에서 쓰인다.
[youtube(SutOCd5jqno)]
== 예시 ==
|| [math( S )] || [math( *:S \times S \to S )] || [math( e \in S )] || [math( S^{-1} )] || [math(S^2=S)] ||
|| [[행렬]]의 집합 || 덧셈 || 영행렬 || 부호가 반대인 행렬 || 영행렬 ||
|| [math( n \times n )] 행렬의 집합 || [[행렬곱]] || [math( n \times n )] [[단위행렬]] || [[역행렬]][* 역행렬은 정사각행렬에서만 정의된다.] || [[멱등행렬]] ||
|| [[함수]]의 집합 || [[합성함수|함수의 합성]] || [[항등함수]] || [[역함수]][* 역함수는 치역과 공역이 동치여야 하고 정의역과 공역이 서로 일대일 대응이 되어야 정의된다.] || [[멱등함수]] ||
[[분류:대수학]][[분류:수학 용어]]

== 중등교육과정 ==
[[2007 개정 교육과정]]까지 '집합과 수 체계' 단원에 포함되어 있었으나, [[2009 개정 교육과정]]에서 [[행렬]]이 탈락되면서 함께 사라졌다. [[2022 개정 교육과정]]의 [[공통수학1]]에 행렬은 다시 편제되었으나 항등원과 역원은 재포함되지 않았다.