[include(틀:기하학·위상수학)]
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== 개요 ==
프랙털은 [[수학]], [[기하학]] 연구 분야 중 하나로서, '''자기유사성'''을 갖는 기하학적 구조를 뜻한다. 쉽게 말하면 어떤 도형의 작은 일부를 확대해 봤을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형에 관한 연구이다.   

자기상사, [[병리적 함수|병리적]][* '병리적'이라는 단어는 [[실해석학]]의 시각에서 본 단어인데, 일반적인 수학적 대상(그 중에서도 [[함수]])과는 동떨어진 성질을 갖고 있어서 붙여진 이름이다.]이라는 다른 단어로 표현하기도 한다.
== 역사 및 의의 ==
[[프랙털]](Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙털의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 예를 들면 [[카를 바이어슈트라스]]가 제시한 [[바이어슈트라스 함수|전구간 미분불능 연속함수]]는 프랙털의 성질을 보이고 있으며, 더 거슬러 올라가면 [[야코프 베르누이]]가 [[로그함수]]를 극좌표로 표현하면 자기유사성을 띠는 나선이 됨을 발견한 것이 있다. 어원은 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했다. [[https://en.m.wiktionary.org/wiki/fractal|어원 정보]]

프랙털 이론은 1975년 [[망델브로 집합]]을 연구하면서 시작되었으며, 그 이후로 많은 사례들이 발견되었다. 그 후 자연계가 통계적인 프랙털[* 완벽한 프랙털은 아니지만 대충 프랙털처럼 생긴 것.] 모양을 하고 있다는 사실이 밝혀지면서 [[카오스 이론]]과 접목시켜서 자연을 모델링 하는데에 굉장히 유용하게 사용된다. 특히 망델브로 집합의 경계면에서는 극도로 미세하게 값이 달라져도 발산하거나 수렴하게 되는데 [[카오스 이론|초기 조건에 극히 민감한 결과를 갖는 시스템]]이라는 성격에 잘 부합된다. 

고사리의 잎 윤곽이나 나무가 가지를 뻗는 양상, 리아스식 해안선의 모양 등 많은 것들이 자기유사성을 가지고 있다. 심지어 주식의 변동곡선도 하루 동안의 변화, 한 주 사이의 변화, 한 달, 1년 사이의 변화가 비슷한 형태로 나타나는 자기유사성을 띠고 있다.

이러한 프랙털의 자기복제적인 특징들은 아주 간단한 법칙도 되먹임하면 복잡한 양상을 이끌어낼 수 있음을 보여주고 있다. 이것은 전술한 대로 혼돈 이론을 묘사하는 도구 중 하나일 뿐 아니라, [[진화생물학|진화론]]상의 빈틈을 메꿔줄 도구로 사용될 수도 있다. 즉, 생물이 나타내는 복잡한 구조가 반드시 기적적인 우연을 필요로 하는 것은 아닐 수 있다는 주장이다.

[[파일:attachment/프랙탈~1.gif]]
<프랙털 항구>

컴퓨터상으로 몇 가지 간단한 재귀함수를 통해 구현할 수 있다. 예를 들면 이런 것.

[[파일:external/upload.wikimedia.org/Animated_fractal_mountain.gif]]
<프랙털 이론을 응용하여 산의 모습을 만드는 과정>

어디서 많이 보던 형상이 아닌가하고 생각할텐데, 바로 3D 모델링 방법 중 그 유명한 [[테셀레이션]]이다. 기술발전이 미미하던 과거에는 프리렌더링용 기법이었지만 [[DirectX]]11 이후 리얼타임으로도 구현이 되어 간단한 도형가지고도 복잡한 모델을 구현할 수 있게 되었다.

프랙털 도형의 면적을 구하는 문제가 매년 [[대학수학능력시험]]에 출제되고 있으며, 이 경우 [[무한등비급수]]의 성질을 이용해 계산하는 문제로 나온다.[* 사실 무한등비급수를 요약하면 동일 과정의 무한 반복이니 프랙털과 접근법이 똑같기 때문이다.][* 2021년 11월 시행된 2022학년도 대학수학능력시험에서는 출제되지 않았다. 단순 등비급수 계산 문항이 출제되었다.]

[[마이클 크라이튼]] 원작 소설 [[쥬라기 공원]]에도 소개되는데 등장 인물중 [[이안 말콤]]박사가 프랙털 이론을 언급하는 장면이 나온다.

== 차원 ==
프랙털 이론에서는 차원을 정의하는 방식을 달리하여 정수가 아닌 차원까지 생각할 수 있는데, 이를 '''하우스도르프 차원'''이라고 한다.
[include(틀:상세 내용, 문서명=하우스도르프 차원)]
== 프랙털 도형의 종류 ==
 * [[코흐 곡선]]
 * [[시어핀스키 삼각형]] / 양탄자 / 피라미드[* 사실 이것 말고도 문자로도 구현이 가능하다.]
 * [[시어핀스키 카펫]]
 * [[드래곤 커브]]
 * [[멩거 스펀지]]
 * [[리아스식 해안]]선 - [[해안선 역설]]
 * [[http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_fractal|뉴턴 프랙털]][* [[https://youtu.be/-RdOwhmqP5s|3Blue1Brown의 설명]]. 뉴턴-랩슨법이 어떻게 프랙털로 연결이 되는지 시각화해서 보여준다.]
 * [[칸토어 집합]][[http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set|#]]
 좀 특이한 집합인데, 총 측도(길이)는 0[* 매 과정을 거칠 때마다 길이가 [math(\frac{2}{3})]배로 줄어들기 때문에, 이 과정을 무한히 반복하면 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( \frac{2}{3} \right)^n=0)]이 되기 때문이다.], 그런 주제에 구멍이 듬성듬성한데도 집합 농도는 실수와 같은 집합이다.[* 구간 [math(\left[ 0,1 \right])]의 수직선 구간에서 만들어진 칸토어 집합은 3진법으로 [math(0.a_{1} a_{2} a_{3} \cdots)]으로 표현할 수 있으며, 각 자리가 0 혹은 2가 된다. 즉, 칸토어 집합을 [math(C)]라고 하면, [math(\displaystyle \forall x \in C, x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{3^k})](단, [math(a_k)]는 0 혹은 2)을 만족한다. 그런데, 3진법 소수에서 2진법 소수로의 대응함수 [math(f)]를 [math(\forall x \in C, f \left( x \right) = f \left( \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}} \right) = \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^{k+1}}})]와 같이 대응시킬 수 있다. 이 함수의 치역은 2진법 소수로 [math(\left[ 0,1 \right])]의 구간이기 때문에, 칸토어 집합과 [math(\left[ 0,1 \right])] 사이에 일대일대응이 성립하여, 실수 집합과 농도가 같게 된다.]
 * [[http://ko.wikipedia.org/wiki/쥘리아_집합|쥘리아 집합]][* 만델브로 집합의 일부분이기도 하다. [[http://www.youtube.com/watch?v=px4mqU9ZTSA]]]
 * [[망델브로 집합]][* 가끔 사상 최악의 방사능 오염치를 보였다는 미스테리 서클 사진으로 올라오고는 하는데 믿지 말자. 말했다시피 이건 프랙털 이미지일 뿐이다.]

== 관련 영상 ==
아래의 2D, 3D등의 분류는 해당 프랙털이 어느 좌표계([[복소평면]] 등) 위에 그려지느냐에 따라 임의로 나뉜 기준으로, 실제 프랙털은 [[하우스도르프 차원]]을 가진다.
=== 2D 프랙털 ===
프랙털 도형은 특정한 과정을 무한히 반복해서 만들어지는 도형이고, 넓이는 유한하지만 표면적(2차원에서는 둘레)이 무한하기 때문에 특정 부분을 확대하면 특정 패턴이 무한히 반복된다.

아래는 인터넷에 한때 유행했던 프랙털 도형 확대 영상.
 * [[망델브로 집합]]
  * 일반적인 확대 영상
  [youtube(0jGaio87u3A)]
  * 도형 속에서 여러가지 작품을 찾아보는 영상
  [youtube(93akxnQ1xxw)]
  * 지루한 확대와는 달리 이 영상은 초고속 확대를 시도한다.
  [youtube(VDMgmZOzZTo)]
  * 패턴이 움직이는 영상
  [YouTube(KsVwFlFn_nI)]
 이러한 영상들을 끝낼 때는 마지막에 첫 도형과 같은 도형으로 끝내는 경우가 일반적이다. 

 * 줄리아 집합
 [youtube(gruJ0S3TTtI)]
 보는 사람에 따라서 어지러울 수도 있다.

 * [[구글]]의 인공지능 '[[딥드림|Deep Dream]]'이 생성한 프랙털. 갈수록 사람에 따라 심기가 불편할 수 있다. [[https://youtu.be/SCE-QeDfXtA|열람 주의]]
 
=== 3D 프랙털 ===
이하는 3D 애니메이션으로 구현한 프랙털 도형들. 잘 만들어진 영상은 그 특유의 장엄함으로 인해 인기를 끌기도 한다.

'''[[환공포증|개인에 따라 조금 징그럽단 느낌이 들 수 있으니 주의.]]'''

[youtube(S530Vwa33G0)]
동영상 제목이 Like in a dream (꿈만 같은)이다. 이미 꿈의 스케일을 벗어난 듯한 동영상이지만.

[youtube(P5EkdJRtF-4)]
[[시에르핀스키 삼각형]].[* 참고로 베이스가 되는 건 [[정이십면체]]이다.] 

[youtube(j_dey8YBKjE)]
위의 2D 프랙털 영상과 합쳐놓은 듯한 컨셉의 영상. 처음에는 장엄하게 가다가 확대를 시작한다.

[youtube(xj_4jvSDVME)]
시에르핀스키. 이번에는 축소하는 동영상이다.

[youtube(N8WWodGk9-g)]
Ray Marching 기법을 이용한 특수한 렌더링 엔진으로 여러 가지 3D 프랙털을 '''실시간''' 렌더링하는 모습. [[https://youtu.be/svLzmFuSBhk|이 동영상]]에서 원리가 설명되어 있다.

=== 4D 프랙털 ===
[youtube(uvCGE_ypsc0)]
만델브로 집합을 '''[[4차원|4D]]'''에 구현한 영상.

== 용례 ==
 * [[마블 시네마틱 유니버스]] 영화인 [[앤트맨(영화)|앤트맨]], [[닥터 스트레인지(영화)|닥터 스트레인지]]와 [[가디언즈 오브 갤럭시 VOL.2]]에서 신비로운 분위기를 연출하기 위해 3D 프랙털을 사용하였다.
 * 리듬게임 BGA 중에서는 [[Aleph-0]]가 3D 프랙털을 적극적으로 활용하여 수학적 컨셉을 웅장하게 살렸고, [[Hypernaid]]는 초현실적인 분위기를 연출하기 위해 잠깐 활용하였다.
 * [[니팔자야]] 뮤직비디오의 초반에 [[망델브로 집합]]을 확대하는 장면이 있다.
 * [[쥬라기 공원]]에도 프랙털을 이용한 CG가 이용되었다.
 * [[카도: The Right Answer]]에서 카도의 모양이 3D 프랙털이다.
 * 태영건설 [[데시앙]] CF에서 프랙털을 사용하였다.
 * [[시리악 해리스]]의 작품에도 프랙털이 많이 등장한다.
 * 퍼즐 [[인디 게임]] 중에는 특정한 공간이 내부에서 무한히 반복되는 기믹이 자주 활용된다. 그 대표적인 예시가 'game inside a game inside a game'과 '[[Patrick's Parabox]]'.
== 여담 ==
 * 나무위키 주석으로 프랙털[* 순환참조에 가깝다.]을 구현할 수 있었으나 서버에 큰 부담을 주게되는 기능인 탓에 수정되었다. 현재는 할 수 없다.
 * [[https://www.youtube.com/watch?v=droTYSmSGHg|카오스 게임(Chaos Game)]]으로 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있다. 방법은 다음과 같다.
  1. 삼각형 안의 아무 점에서 시작한다.
  1. 그 점과 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나를 선택해서 중점을 구한다.
  1. 2에서 구한 중점을 표시하고 다시 그 중점과 다시 아무 꼭짓점 사이의 중점을 구한다.
  1. 3을 무한히 반복하면 삼각형 위에 표시한 중점이 시에르핀스키 삼각형을 이룬다.
 * [[고사리]]의 잎모양이 프랙털과 관련이 있다. 프랙털 도형처럼 작은 잎과 큰 잎의 모양구조가 뜯어보면 상당히 유사하기 때문이다.[[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Fractal_fern_explained.png|참고]]

[[분류:프랙털 이론]]