[include(틀:다른 뜻1, other1=이탈리아의 장편소설, rd1=푸코의 진자(장편소설))] [include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == || {{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [[파일:external/www.askamathematician.com/FoucaultPendulum.jpg|width=100%&align=center]]}}} || || '''푸코의 진자 모습''' || '''푸코의 진자(Foucault pendulum)'''는 [[지구]]의 [[자전]]을 증명하기 위해 고안해낸 실험 장치이다. 1851년 [[프랑스]]의 [[과학자]] 장 베르나르 [[레옹 푸코]]는 [[팡테옹]]의 돔 천장에 길이 [math(\textrm{67\,m})]의 [[실]]을 달고, 그 아래 [math(\textrm{28\,kg})]의 추를 메달아 커다란 단진자를 만들었다. 그는 이 [[진자]]를 흔들어 지구의 자전을 증명하였고, 이 업적으로 당시의 [[노벨상]]이라 할 수 있는 코플리상을 받았다. 진자에 작용하는 힘은 [[중력]]과 [[장력]]뿐이므로 진자는 일정한 방향으로 흔들리게 된다. 그러나 지구의 자전에 의해 바닥이 같이 움직이므로, 바닥에 서있는 우리 눈에는 진자가 [[시계]]방향으로 도는 것처럼 보이게 된다.[* 남반구에서는 시계 반대방향] 그는 계산을 통해 [[파리(프랑스)|파리]]의 위도에서는 32시간을 주기로 돌 것이라고 예상하였고, 그의 예상은 멋지게 들어맞았다.[* 극점에서는 지구의 자전과 같은 약 24시간(24시간은 해의 위치 기준 1회전이므로 여기서는 그보다 살짝 짧은 23시간 56분.)을 주기로 돌며, 적도에서는 돌지 않는다. 이것에 대한 증명은 아래에 있다.] 참고로 실험에 쓰였던 진자는 1855년에 파리 국립 과학 연구원으로 옮겨졌으나 결국 줄이 끊어져 파손되었고, 현재 위 사진에 찍힌 팡테옹에 있는 것은 복제품이다. [[구글]]에서는 2013년에 레옹 푸코 탄생 194주년을 기념하여 진자의 움직임을 모두 재현한 놀라운 애니메이션을 로고에 박아놓았다.[[http://www.google.com/doodles/leon-foucaults-194th-birthday|#]] [* 단순한 그림이 아니라 위도와 시간을 설정할수 있다] == 역학적 분석[* 이 문단의 내용은 "Classical Dynamics of Particles and Systems(5th)" ''by. Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion''을 참고하였다.][* 물리학과 2학년 [[고전역학]] 수준으로 기술되었다.] == [[파일:namu_푸코의진자_리마스터.png|width=280&align=center]] 지구의 좌표계[* 지구 중심이 원점인 고정된 관성계를 말한다.]에 대하여 [math(\omega)]로 자전하는 회전 좌표계(비관성계)에서 진자를 매달아 놓은 축을 [math(z)]축으로 설정하자. 문제를 간단히 하기 위해 진자는 미소 변위로 진동하며, 진자를 매달아놓은 길이 [math(l)]의 줄은 매우 가볍고, 길다고[* 실제 푸코 진자도 매우 높은 위치에 매달아 놓은 것을 알 수 있다.] 가정한다. 또한 진자의 평형점일 때의 위치를 원점으로 가정한다. 이때, 회전 좌표계에서 진자의 가속도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathbf{T}}{m}+\mathbf{g}-2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v})]}}} 주의해야 하는 것은 [math(\mathbf{a})]는 회전 좌표계에서 측정된 진자의 가속도라는 것이다. [math(\mathbf{g})] 또한, 만유인력에 의한 중력 가속도 뿐만 아니라, 자전에 의해 생기는 원심력을 보정한 중력 가속도이다. 제 [math(3)]항인 [math(-2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v})]는 [[코리올리 힘]]에 의한 가속도이다. [math(\mathbf{T})]는 장력이다.[* [[비관성 좌표계]] 참고.] [math(\mathbf{T})]에 대한 분력을 생각해보면, 진자가 미소 변위로 진동하기 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T_{x}=-\frac{x}{l}T,\,T_{y}=-\frac{y}{l}T,\,T_{z}\approx T)]}}} 로 놓을 수 있고, 마찬가지 이유로 진자의 z축 속도 [math(\dot{z}\approx 0)][* [math(\dot{z} \Leftrightarrow \dfrac{{\rm d}z}{{\rm d}t})]이다. 좌변은 [[아이작 뉴턴|뉴턴]]식, 우변은 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠|라이프니츠]]식 미분계수이다.]로 놓을 수 있다. 따라서 진자의 속력은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{v}\approx\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}})]}}} 가 된다. 위도[* 단 북반구로 생각한다.]가 [math(\lambda)]인 곳에서 회전 좌표계에서 측정된 자전 각속도는 아래의 그림을 참고하면, 아래와 같음을 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \omega_{x}&=-\omega\cos{\lambda} \\ \omega_{y}&=0 \\\omega_{z}&=\omega\sin{\lambda} \end{aligned})]}}} [[파일:푸코의 진자_증명_3.svg|width=170&align=center]] 이상에서 진자의 [[코리올리 힘]]에 의한 가속도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle -2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}=2\omega_{z} \dot{y}\hat{\mathbf{x}}-2\omega_{z} \dot{x}\hat{\mathbf{y}}+2\omega \dot{y}\cos{\lambda}\hat{\mathbf{z}})]}}} 가 된다. 진자의 진동면([math(xy)]평면)만 생각해주게 되면, [math(a_{x}=\ddot{x})], [math(a_{y}=\ddot{y})]이고, [math(T/ml \equiv \alpha^{2})]라 놓으면, 아래의 두 방정식이 나오게 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \ddot{x}+\alpha^{2}x=2\omega_{z} \dot{y}\\ \displaystyle \ddot{y}+\alpha^{2}y=-2\omega_{z} \dot{x}\end{array}\right.)]}}} 위 식에서 두 번째 식에 [math(i)]를 곱하고, 첫 번째식과 합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle (\ddot{x}+i\ddot{y})+\alpha^{2}(x+iy)=2\omega_{z}(\dot{y}-i \dot{x}))]}}} 이것을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle (\ddot{x}+i\ddot{y})+\alpha^{2}(x+iy)=-2i\omega_{z}(\dot{x}+i\dot{y}))]}}} 이때, [math(q \equiv x+iy)]를 도입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{q}+2i\omega_{z}\dot{q}+\alpha^{2}q=0)]}}} 이 되고, 이 방정식의 해는 쉽게 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle q(t)=\exp{(-i \omega_{z}t)} [ A\exp( \sqrt{-\omega^{2}-\alpha^{2}} \, t)+B\exp ( - \sqrt{-\omega^{2}-\alpha^{2}} \, t ) ])]}}} 이때, 지구가 만약 자전하지 않는다면, [math(\omega_{z}=0)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{q}'+\alpha^{2}q'=0)]}}} 이 되고[* 참고로 프라임은 지구가 자전하지 않을 때의 좌표계를 구분하기 위해 붙인 것이다.], 이것은 진동 방정식이므로 [math(\alpha)]는 진자의 진동수와 관계되는 인자임을 알 수 있다. 그런데 명백히 진자의 각진동수는 지구의 자전 각진동수보다 크므로 즉, [math(\alpha \gg \omega_{z})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle q(t) \approx \exp{(-i \omega_{z}t)} \left [ A\exp\left ( i \alpha t \right )+B\exp\left ( -i \alpha t \right ) \right ] )]}}} 그런데 지구가 자전하지 않을 때의 방정식의 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle q'(t)= A\exp\left ( i \alpha t \right )+B\exp\left ( -i \alpha t \right ) )]}}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle q\mathbf(t)= \exp{(-i \omega_{z}t)}\, q'(t) )]}}} 이 성립하고, [math(q(t) \equiv x(t)+iy(t))], [math(q'(t) \equiv x'(t)+iy'(t))], [math(\exp{(-i \omega_{z}t)}=\cos{\omega_{z}t}-i \sin{\omega_{z}t})]임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)+iy(t)=\left ( \cos{\omega_{z}t}-i \sin{\omega_{z}}t \right )\left [ x'(t)+iy'(t) \right ] )]}}} 가 되고, 이것을 실수부와 허수부를 정리하여, 행렬로 나타내면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{bmatrix}x(t) \\ y(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\omega_{z}t} &\sin{\omega_{z}t} \\ -\sin{\omega_{z}t} &\cos{\omega_{z}t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'(t) \\ y'(t)\end{bmatrix} )]}}} 가 된다. 위의 논의는 다음을 얻는다. * 가운데 행렬은 자전의 반대 방향의 회전 변환을 나타내는 변환 행렬이므로 진자는 지구가 자전할 때, 진동면은 자전 방향의 반대로 회전한다는 사실을 알 수 있다. 그런데 이것은 실제로 관측되었고, 결국 지구는 자전한다는 사실을 실험으로 증명해낸 것이다. * 단진자의 진동은 진동면의 회전과 무관하게 운동한다: 관성 * 푸코진자의 진동수는 위도마다 다르며, 위도가 높아질 수록 [math(\omega_{z})]는 증가하므로 극점에서 관측할 때, 진동수가 최대로 진동면이 회전하고, [[적도]]에서 관측하면, [math(\omega_{z}=0)]임에 따라 진자의 진동면은 회전하지 않는다. 참고로, 미소 변위에 대해, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \alpha^{2}=\frac{T}{ml} \approx \frac{mg}{ml}=\frac{g}{l})]}}} 이다. 따라서 푸코진자의 각진동수는 거의 [[단진자]]와 근사적으로 동일함을 알 수 있다. == 관련 문서 == * [[진자]] * [[고전역학]] [[분류:물리학]][[분류:역학]][[분류:1851년 작품]][[분류:1851년/사건사고]]