[include(틀:평면기하학)]
[목차]

== 개요 ==
||<bgcolor=#ffffff><tablealign=center><:> {{{+5 =}}} ||
||<:>[[등호]]의 모양은 
평행선에서 비롯되었다. 평행선 모양은 철도 건널목 기찻길에서도 찾을 수 있다.||

{{{+2 [[平]][[行]] / parallel}}}

평행이란, 어떤 평면에서의 직선이나 공간에서의 평면을 한없이 늘려도 영원히 만나지 않는 상태를 말한다.[* 공간에서의 두 직선은 만나지 않아도 평행이 아닐 수 있다. [[꼬인 위치]] 참조.] 다만 이건 [[유클리드 기하학]]에서만 한정되며, [[비유클리드 기하학]]은 평행선 공준을 부정하는 것으로부터 시작하기 때문에 평행선이 존재하지 않거나(타원 공간), 평행선이 여러 개 존재한다(쌍곡 공간). 아래 성질들은 유클리드 기하학에 한한다.

직선이거나 평면인 한 도형 [math(l)]과 다른 도형 [math(m)]이 서로 평행할 때 수학에서는 [math(l//m)] 또는 [math(l \parallel m)]와 같이 표현한다. 전자는 한국에서 많이 쓰이고, 후자는 세계 보편적으로 많이 쓰인다.

좌표 평면 위의 도형을 모양과 크기가 바뀌지 않게 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것은 평행이동이라고 한다.
== 성질 ==
=== [[유클리드 기하학]]적 성질 ===
[[파일:ySDLMR5.jpg]]
 1. 서로 평행한 두 직선에 교차하는 또 다른 직선을 그렸을 때 [[엇각]], [[동위각]] 등의 크기가 같다. 이에 대한 증명은 각 문서 참조.
 1. 서로 평행한 두 직선은 어느 점을 기준으로 삼아도 다른 직선까지의 거리가 같다.
 1. 직선 [math(l)]과 직선 밖의 점 [math(P)]에 대하여, [math(l)]과 평행하고 [math(P)]를 지나는 직선은 단 하나밖에 없다(유클리드 제 5공준의 변형).

이러한 성질을 활용하여 한 직선의 평행선을 [[작도]]할 수 있다.

[[파일:external/search.pstatic.net/?src=http%3A%2F%2Fdbscthumb.phinf.naver.net%2F4357_000_1%2F20160328110435938_DI9MC9TDM.jpg%2Fs_ca14_10_i5.jpg]]

 1. 직선 [math(l)] 있을 때, 그 위에 있지 않은 점 [math(P)]을 그린다.
 1. 점 [math(P)]를 지나고 직선 [math(l)]과 한 점에서 만나는 직선을 그리고, [math(l)]과 만나는 점을 [math(P)]′라고 한다.
 1. 점 [math(P)]'에 [[컴퍼스]]를 대고 [[원(도형)|원]]을 그린다. 이때 원이 직선 [math(\overline{PP})]′와 만나는 점을 점 [math(O)]라고 하고 원과 직선 [math(l)]이 만나는 점을 점 [math(A)]라고 한다.
 1. 방금 3번에서 그린 원과 같은 반지름으로 점 [math(P)]에 컴퍼스를 대고 원을 그리고, 이 원과 직선 [math(\overline{PP})]′가 만나는 점을 [math(O)]′라고 한다.
 1. 컴퍼스로 점 [math(O)]와 점 [math(A)]의 거리를 재고 그 길이를 [[지름|반지름]]으로 하여 점 [math(O)]′에 컴퍼스를 놓고 원을 그린다. 이 원과 4번에서 그렸던 원을 교점을 [math(A)]′라고 한다.
 1. 점 [math(P)]와 점 [math(A)]′를 연결하는 직선 [math(l)]′을 그린다. 이로써 직선 [math(l)]의 평행선인 직선 [math(l)]′을 그렸다.

과거 7차 교육과정 4학년 2학기 때도 나왔으며 중1때 수행평가 용도로 종종 써먹었다.

[[일차함수]]의 그래프에서의 좌표평면의 두 직선이 서로 평행할 조건은 기울기는 같고, y절편은 달라야 한다는 점을 응용한 것이므로 다음과 같다.

 1. 두 직선 [math(l:y = mx+n)], [math(l':y = m'x+n')]에 대하여 [math(l)], [math(l')]이 서로 평행하기 위해서는 [math(m = m')], [math(n ≠ n')]이다. 거꾸로 [math(m = m')], [math(n ≠ n')]이면 두 직선은 서로 평행하다.
 1. 한편, 일차함수의 그래프에서 두 직선이 일치하려면 서로 기울기와 y절편이 모두 같아야 성립하므로 [math(m = m')], [math(n = n')]이면 두 직선은 일치한다.

또한 좌표평면 위의 점 [math(P(x, y))]를 [math(x)]축의 방향으로 [math(a)] 만큼, [math(y)]축의 방향으로 [math(b)]만큼 평행이동한 점을 [math(P'(x', y'))]이라고 한다면, [math(x'=x+a,\y'=y+b)]이다. 따라서 점 [math(P)]의 좌표는 [math(x+a, y+b)]이다.
=== [[벡터]]적 성질 ===
영벡터가 아닌 두 평면벡터 [math(a)]와 [math(b)]가 이루는 각을 θ(0≤θ≤π)라고 할 때 [math(a)] • [math(b)] = |[math(a)]| |[math(b)]| [math(cos)]θ인데, θ의 값이 0이면 [math(a)]와 [math(b)]는 서로 평행하면서도 방행이 서로 같고, θ의 값이 π이면 서로 평행하면서도 방향은 서로 정반대이다. 이 역 또한 성립되며, 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

[math(a)] ∥ [math(b)] ↔ [math(a)] • [math(b)] = ± |[math(a)]| |[math(b)]|

또는 영벡터가 아니고 정확히 일치하지 않는 두 벡터간에 0이 아닌 실수배 관계가 존재하면 평행으로 볼 수도 있다.

평행인 두 벡터를 [[외적]]하면 0이고, [[내적]]하면 두 벡터의 절댓값의 곱이다.

== 수학 외의 용례 ==
널리 알려진 [[수학]] 용어라, 일상적인 용례에서도 쓰이곤 한다. "평행선을 달리다"라는 관용어가 대표적인 예로, [[협상]] 등에서 아무런 접점도 없이 허송세월하는 것을 뜻한다. 

=== 활용 ===
 * 직진 [[도로]]의 [[차선]]은 특수한 상황이 없는 경우 평행하게 만든다.
 * 도로가 등에 차들을 일직선으로 주차시키는 것을 [[평행주차]]라고 한다.
 * [[철봉#s-1.1.3|평행봉]]은 철봉 2개를 평행으로 배치한 도구이다.
 * [[착시현상]]을 보여주는 소재로 잘 활용된다. 기하 도형 주변에 특정한 변화를 가하면 시각 자극이 과도하게 수용되어 실제 도형과 다른 뒤틀림 현상이 일어나는데 평행선은 두 개의 곧은 직선만으로 이루어졌다는 명확한 시각 정보를 가지고 있어 그 직선이 아닌 다른 시각 자극을 주면 그것을 뒤틀리도록 하기 쉽기 때문이다. 평행선을 이용한 착시 현상에는 다음과 같은 예가 있다.
||<bgcolor=#ffffff>[[파일:external/g.hiphotos.baidu.com/8b82b9014a90f603257a02423d12b31bb151ede9.png|width=250px]]||'''체르너 착시'''
'''(Zollner illusion)'''
평행선 위에 여러 개의 빗금을 긋되 한 선 위에 그어지는 빗금은 서로 평행하게 하며 빗금 간 거리를 일정하게 유지하고, 다른 선 위의 빗금은 옆의 선에 그어진 빗금과 [[수직]]이 되도록 그으면 평행선이 휘어 보인다.||
||<bgcolor=#ffffff>[[파일:external/www.richardgregory.org/brain_model_fig4.gif|width=250px]]||'''헤링 착시와 분트 착시'''
'''(Herring illusion & Wundt illusion)'''
서로 평행한 두 직선 사이 한가운데에 방사선을 그으면 두 평행선이 바깥으로 휘어 보인다. 반대로 평행선 바깥쪽에 각각 방사선을 그으면 두 직선이 안으로 휘어 보인다. --위 사진의 선은 휘어있다--||
||<bgcolor=#ffffff><:>[[파일:attachment/Opticalillusion01.gif]]||'''카페 월 착시'''
'''(Cafe Wall illusion)'''
서로 간의 거리가 같은 평행선 여러 개 사이에 변의 길이가 평행선 간의 거리와 정사각형들을 그리고 위아래로는 서로 어긋나게 배열하고 좌우로는 흑백이 교차되도록 하면 평행선들이 휘어 보인다. 이 때 일반적으로 검은색 칸이 더 바깥쪽으로 나온 곳은 평행선끼리의 거리가 더 멀고 안으로 들어간 곳은 거리가 가까워 보인다.||
 * [[평행우주]] 혹은 [[평행세계]], [[평행차원]]은 보통 [[다중우주]]를 일컫는 용어로 사용되는데, 이는 우리가 살고 있는 우주가 아닌 다른 시공간에 존재하는 우주를 뜻하는 말로 각 우주가 차원의 벽으로 나뉘어 있어 영원히 만날 수 없는 점이 평행선을 연상시키기 때문에 사용된 용어이다.

== 역평행 ==
antiparallel.
직선은 방향이 없지만, 방향이 있는 [[벡터]]를 이야기할때나 수학 외의 분야에서는 평행하지만 방향이 반대인 것을 가리켜 역평행하다고 한다. [[일방통행]]이 아닌 [[도로]]와 마찬가지. 역평행인 것 중에 가장 유명한 것은 아무래도 [[DNA#s-3.1]]의 이중나선 구조일 것이다. 두 가닥의 진행방향이 반대다.
== 관련 문서 ==
 * [[동위각]]
 * [[마름모]]
 * [[엇각]]
 * [[꼬인 위치]]
 * [[등적변형]] - 평행선을 이용하여 등적변형을 할 수 있다. 
 * [[사다리꼴]]
 * [[페럴렐 라인즈]]
 * [[평행사변형]]
 * [[평행 우주]]
 * [[평행주차]]
[[분류:기하학]]