[include(틀:천문학)]
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== 개요 ==
{{{+1 escape velocity · 脫出速度}}}

물체가 [[천체]]의 [[중력]]을 이겨내고 무한히 멀어질 수 있는 최소한의 속'''력'''을 말한다.[* 이름은 탈출 속도이지만, 사실 탈출 속도는 속도보다는 속력이라 보는 게 타당하다.]

== 유도 ==
우선 천체와 물체 사이의 중력 외에 다른 외력이 작용하지 않는다고 가정하자.

천체는 대략적으로 구형의 밀도가 균일한 구형 물체라 가정해볼 수 있으므로 천체의 질량이 [math(M)]이고, 반지름이 [math(R)]라 한다면, 천체의 중심에서 [math(r)]만큼 떨어진 질량 [math(m)], 속력이 [math(v)]인 물체의 역학적 에너지 [math(E_{r})]는 천체의 중력에 의한 중력 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지의 합으로 주어진다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} E_{r}=-\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}mv^{2} \end{aligned})] }}}
[math(G)]는 중력 상수이다. 이 물체가 천체의 중력의 영향권에서 벗어나는 것은 천체로 부터 곧 무한히 멀어져 [math(r\to \infty)]일 때 일 것이다. 이 경우 중력 퍼텐셜 에너지는 0[* 0이 되는 이유는 중력 퍼텐셜 에너지를 구할 때 무한 원점에서 퍼텐셜 에너지를 기준으로 삼은 둔 우리의 목적과 연관이 있다. [[퍼텐셜 에너지]] 문서를 참조한다.]이 되므로 이 때 역학적 에너지는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} E_{\infty}=0+T_{\infty} \end{aligned})] }}}
[math(T_{\infty})]는 이 점에서 물체의 운동 에너지가 되며, 속력을 가지지 않을 경우 [math(T_{\infty}=0)]이다. 중력은 [[보존력]]이고, 이러한 힘의 장에서 외력을 받지 않는 물체의 역학적 에너지는 보존되므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}mv^{2}=T_{\infty} \end{aligned})] }}}
이상을 정리함으로써
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}mv^{2}=\frac{GMm}{r}+T_{\infty} \end{aligned})] }}}
우리의 목적은 이러한 조건을 만족시키는 속력 [math(v)]의 최솟값을 찾는 것이고, 퍼텐셜 에너지 항은 조정할 수 없는 것이 없으므로 결국 [math(T_{\infty}=0)]이 될 때, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \end{aligned})] }}}
따라서 이 속력을 '''탈출 속도'''[* 엄밀하게는 [[이름과 실제가 다른 것|속도가 아니라 속력]]이 맞다.]라 정의하고 그 기호를 [math(v_{\sf{esc}})]로 쓴다.

만약 행성의 표면에서 이를 생각한다면, 표면 중력 가속도의 크기는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} a=\frac{GM}{R^{2}} \end{aligned})] }}}
행성 표면에 대한 탈출 속도를 생각한다면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v_{\sf{esc}}=\sqrt{2aR} \end{aligned})] }}}
으로 쓸 수 있다.

이 결과를 가지고 태양계 일부 구성원에 대한 표면에서의 탈출 속도를 구해보면, 지구 [math(11.19\,{\rm km/s})], 달 [math(2.37\,{\rm km/s})], 목성 [math(59.5\,{\rm km/s})]이고, 태양 [math(617.5\,{\rm km/s})]이며, 지구 궤도에서 태양계 중력권을 탈출할 수 있는 탈출 속도는 [math(42.1\,{\rm km/s})]이다.

== 특성 ==
 * 지구의 탈출 속도를 보면 [math(11.19\,{\rm km/s})]로 매우 빠른 속력임을 알 수 있는데 실제로 인공 위성 발사 등을 보면 그렇게 빠르다는 생각이 들지 않는다. 이는 당연한 것으로 탈출 속도 자체가 '''추진력 같은 외력을 받지 않고, 무한히 멀어지는 데 필요한 최소 속력'''으로 정의되었기 때문이다. 연직 방향의 속력을 0 이상으로 유지 할 수 있다면, 지구 대기권을 벗어나는데는 아무 문제가 없다.[* 간단히 말하면, 지구의 지표면에서 탈출 속도 이상의 빠르기로 물체를 쏘아올린 뒤 아무런 추진력을 주지 않고 가만히 두면 이 물체는 지구의 중력이 계속 작용함에도 불구하고 지구를 벗어날 수 있다. 반대로, 매우 적은 속도로 이 물체를 쏘아올려도 지속적으로 지구를 탈출하는 방향으로 중력보다 큰 힘의 추진력을 준다면 이 물체는 언젠가는 지구를 탈출한다.]
 * 행성의 탈출 속도는 그 행성의 대기 구성 요소와 밀접한 관계를 가진다. [[수성]], [[달]]과 같이 탈출 속도가 작은 천체의 경우 그 대기가 비교적 무거운 기체인 [[제논]], [[이산화탄소]] 등으로 이루어져 있는 반면, 탈출 속도가 큰 [[목성형 행성]]의 경우 그 대기는 [[수소]], [[헬륨]]과 같이 가벼운 기체로 이루어져 있다. 이는 가벼운 기체일수록 같은 온도, 즉 운동 에너지가 같더라도 질량이 작아 속도가 빨라지기 때문에 우주로 빠져나가기 쉽기 때문이다.
 * 탈출 속도가 [[광속|빛의 속도]] 이상이 될 경우, 그 유명한 [[블랙홀]]이 된다. 다만 위의 탈출 속도에 광속 [math(c)]를 넣으면 [math(r=2Gm/c^2)]이라는 결과가 나오는데, 이는 실제로 상대성이론을 적용하여 구한 [[슈바르츠실트 계량]]과 '''우연의 일치로''' 동일한 결과물이 된다.

== 우주 속도 ==
탈출 속도와 유사한 개념으로 우주 속도가 있는데, 제1-3 우주 속도로 3가지로 나뉜다. 이들은 모두 일정한 값을 가지고 있는데, 측정에 필요한 요소들(천체의 질량과 크기, 중력 등등)이 명확하여 수식에 대입해 계산 가능하기 때문이다.

=== 제1 우주 속도 ===
물체가 지구 지표면에서 추락하지 않고, 지구의 중심을 원 궤도의 중심으로 원운동 할 수 있는 최소한의 속력. 

물체가 중력 방향에 대하여 이 속력을 가지고 있다면 지구 중심을 공전한다.

지구, 화성, 목성의 제1 우주 속도는 각각 [math(7.905\,{\rm km/s})], [math(3.55\,{\rm km/s})], [math(42.12\,{\rm km/s})]이다.

이것의 유도는 구심력의 크기가 중력의 크기와 같음을 이용한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{GMm}{(R+r)^{2}}=\frac{mv^{2}}{R+r} \end{aligned})] }}}
이것을 정리함으로써 다음을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v=\sqrt{\frac{GM}{R+r}} \end{aligned})] }}}
여기서 볼 수 있듯 물체의 질량은 해당 속력에 관여하지 않는다.

=== 제2 우주 속도 ===
물체가 천체를 중심으로 원운동할 수 있는 최소한의 속력[* 제1 우주 속도는 지구 궤도에서의 원운동에 필요한 최소 속도를 의미하므로 [math(v')]는 천체마다 다르다.]을 [math(v')]라 할 때 물체 속력 [math(v)]가 다음 조건
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v'<v<\sqrt{2}v' \end{aligned})] }}}
을 만족시킬 때, 물체는 천체를 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 움직이게 된다. 즉, 천체의 중력에 종속되어 있긴 하나 일반적인 원 궤도를 벗어나 더 멀어질 수 있다.

||<table width=100%>{{{#!folding [증명]
-------
[중심력]] 문서에 따르면 3차원 상의 외력이 없는 중력장의 운동은 2차원 평면 상으로 기술될 수 있으며, 이때, 투사한 물체의 질량을 환산 질량
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mu=\frac{mM}{m+M} \end{aligned}  )]}}}
으로 대치하여 사용한다. 그러나 우리가 다루는 상황은 행성과 위성 또는 항성과 행성 등 [math(M \gg m)]인 상황으로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \approx m \end{aligned}  )]}}}
으로 쓸 수 있다. 

이제 궤도의 [math(r=R+r_{0})]에서 중력장에 대하여 수직으로 [math(v)]의 속력으로 물체를 투사하는 것을 고려하자. 이때, 물체의 궤도는 원뿔곡선이며, 그 이심률은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle  \varepsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{ (GM)^{2} m^{3} } } )] }}}
이때, 타원 궤도가 되려면, [math(0<\varepsilon<1)]을 만족해야 하며, 그것은 곧
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle -1< \frac{2El^{2}}{ (GM)^{2} m^{3} } <0 )] }}}
임을 만족해야하는 것으로 귀착된다.

각운동량은 보존됨에 따라 초기 각운동량
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} mv(R+r_{0})=l  \end{aligned} )] }}}
으로 쓸 수 있고, 에너지 또한 보존되므로 초기 에너지를 [math(E)]라 쓰자. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} E=\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{GMm}{R+r_{0}}  \end{aligned} )] }}}

이것을 부등식에 대입하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle -\frac{GM}{r+R_{0}}< \frac{(r+R_{0}) v^4}{GM}-2v^{2} <0  )] }}}
이 부등식의 해는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} v'<v<\sqrt{2}v' \qquad \biggl(v'=\sqrt{\frac{GM}{R+r_{0} }} \biggr) \end{aligned} )] }}}
으로 이것이 타원 운동할 조건이 된다.

그러나, 부등식의 해는 [math(0<v<v')]도 되는데, 이는 원 운동을 하기에 충분하지 못할 때, 떨어지는 궤도 또한 타원임을 의미한다.}}} ||

[[파일:namu_우주속도_개요.svg|width=370&align=center&bgcolor=#ffffff]]

그리고 [math(\sqrt{2} v')]의 속도를 넘으면 그때 비로소 천체의 중력권에서 탈출할 수 있게 되는데, 이 속도가 바로 탈출 속도이다. 물체가 탈출 속도를 가진 경우 천체에서 벗어난 후 다른 천체 중력의 영향을 받을 때까지 등속 직선 운동을 한다.[* 다만 태양계에서는 지구의 중력권에서 벗어나는 즉시 태양의 중력권에 들어가기 때문에...] 제2 우주 속도는 위의 제1 우주 속도에 [math(\sqrt{2})]를 곱한 값에 [[태양]] 등에 의한 약간의 오차를 수정한 값으로, 대략 [math(11.19\,{\rm km/s})]이다.

=== 제3 우주 속도 ===
물체가 지구 공전 궤도에서 [[태양계]]를 탈출할 수 있는 최소한의 속력. 약 [math(\rm 16.7\,{\rm km/s})]로 알려져있다.

== 기타 ==
=== 가상의 우주 속도 ===
일반적으로 알려진 제1-3 우주 속도 이외에도 [[SF]]의 영역에선 제4-6 우주 속도도 간혹 속도계로 쓰인다.

1-3 우주 속도가 원궤도 도달속도 → 지구 인력권 탈출 속도 → 태양계 인력권 탈출 속도로 이어지는 것처럼 4-6 우주 속도는 더 나아가 [[우리 은하]]계 인력권 탈출 → [[국부 은하군]] 인력권 탈출 → (모든 천체에 붙잡히지 않고) 변경 우주 진출 속도로 이어지는 식.

이게 가상인 이유는 제1-3 우주 속도와 달리 해당 속도를 구하는데 필요한 질량 등에 관련된 정확한 데이터를 얻을수 없기 때문에 여전히 미지의 영역인 것이 이유로 소설이나 영화, 애니메이션 등에서나 다루어지는 속도이다.

더불어 SF 영역에선 단순하게 [[워프]] 속도, [[초광속]]같이 [[속도계]]로 쓰기에 쉽고 편리한 설정이 있어 탈출 필요속도 단위인 우주속도는 쓰임새도 적고 마이너한 편이라 국내에는 잘 알려져 있지 않다. 그리고 어차피 [[매스 드라이버]] 같은 게 아니라면 보통 우주선은 추진력을 꾸준히 내기 때문에 탈출 속도의 의미가 없다.

==== 제4 우주 속도 ====
[[우리 은하]]의 탈출 속도는 태양계에서 [math(492{\text -} 594\,{\rm km/s})]임이 알려져 있다.[[https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0611671v2.pdf|#]]

은하 중심과의 거리에 따른 탈출 속도 그래프는 다음과 같다.

[[파일:은하탈출속도.png|width=400&align=center]]
== 같이 보기 ==
 * [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%83%88%EC%B6%9C_%EC%86%8D%EB%8F%84|위키백과의 '탈출 속도' 문서]]
 * [[퍼텐셜 에너지]]
 * [[운동 에너지]]
 * [[중력]]
 * [[보존력]]
 * [[중심력]]

[[분류:물리학]]