[include(틀:해석학·미적분학)]

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== 개요 ==
{{{+1 [[縮]][[小]][[區]][[間]][[定]][[理]] / Nested Intervals theorem}}}
[[해석학(수학)|해석학]]의 한 이론. 폐구간의 부분집합 중 폐구간인 부분집합으로 이루어진 부분집합열의 극한은 적어도 원소를 1개 이상 가진다는 정리다.

수학적으로 표현하면 다음과 같다.

||<tablebordercolor=#999><tablebgcolor=#fff>축소구간열이란 다음 조건을 만족하는 구간열을 의미한다.
 * [math(\forall n \in \mathbb{N}, I_{n}\supseteq I_{n+1})]

이 때, '''폐구간의 축소구간열 [math(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}})]에 대하여, [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_{n}\neq \emptyset)]이다.''' ||

== 증명 ==
||<tablebordercolor=#999><tablebgcolor=#fff>각 폐구간 [math(I_{n})]을 [math(\left[x_n, y_n\right])]이라 두면, 구간의 기본적인 성질에 따라 [math(\forall n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(x_n \leq y_n)]이다.

이 때, 축소구간열의 성질에 따라 [math(x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n\leq\cdots)]라는 단조 증가 수열과 [math(y_1 \geq y_2\geq\cdots\geq y_n\geq\cdots)]이라는 단조 감소 수열이 만들어지는데, 결국 [math(\forall n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(x_n \leq y_n)]이므로 [math(x_n \leq y_1, x_1 \leq y_n)]이다.

즉, 위의 두 단조수열은 유계인 단조증가/단조감소 수열이므로 [[단조 수렴 정리]]에 의해 극한값이 존재한다.
따라서 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n = \sup x_n=x, \lim_{n\to\infty}y_n=\inf y_n=y)]라고 두자.
그러면 [math(\forall n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(z \in \left[x, y\right])]이면 [math(z \in I_n)]이 성립하므로, [math(\displaystyle z \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_{n})]이 성립하기 때문에, [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_{n}\neq \emptyset)]가 성립하므로 증명 완료. ||

== 응용 ==
이 정리를 이용한 대표적인 증명으로는 [[중간값 정리]]의 증명이 있으며, 그 외에도 '''역사상 가장 처음으로 이루어진''' 실수의 비가산성 증명법이 있다. 중간값 정리 증명은 해당 항목의 다른 증명 문단을 참조.

=== 실수의 비가산성 증명법 ===
[[게오르크 칸토어]]가 [[대각선 논법]] 이전에 증명한 방법이다. 증명 내용은 다음과 같이 귀류법을 이용하여 증명한다.

먼저 [math(\left[0,1\right])]이 가산집합이라고 가정하자.
그렇다면 [math(\left[0,1\right])]은 가산개의 원소를 가진 무한집합으로서 다음과 같이 표현할 수 있다.

[math(\left[0,1\right]=\{x_1,x_2,\cdots\})]
이제, [math(\left[0,1\right])]의 첫번째 원소인 [math(x_1)]을 포함하지 않는 부분집합 중, 폐구간을 하나 잡아 [math(I_1)]라고 정의하자. 즉 [math(x_1 \notin I_1\subseteq\left[0,1\right])]이다.
이제 이를 계속 반복하자. 즉 [math(x_{n+1}\notin I_{n+1} \subseteq I_{n})]를 만족하는 폐구간열을 만들면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.
 * [math(\left[0,1\right]\supset I_1\supset I_2\supset I_3\supset I_4\supset \cdots)]

따라서 축소구간정리에 의해 [math(\displaystyle \bigcap_{n\in \mathbb{N}} I_n\neq \emptyset)]이 되며, 이는 곧 적당한 자연수 [math(m\in\mathbb{N})]이 적어도 한개는 존재하여, [math(\forall I_n \ni x_m)]이 성립함을 의미한다. 하지만 위의 폐구간열을 정의한 내용에 의해 [math(\forall p>m)]에 대하여 [math(I_p\notni x_m)]이기 때문에 모순이 발생한다.
즉, 처음에 가정한 [math(\left[0,1\right])]이 가산집합이라는 것이 틀렸다는 것이 되며, 따라서 [math(\left[0,1\right])]은 비가산집합이다.(■)


[각주][include(틀:문서 가져옴, title=중간값 정리, version=123, paragraph=3.1)]
[[분류:해석학(수학)]]