[[분류:도형]]
[include(틀:평면기하학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 spiral of Theodorus}}}

[[피타고라스 정리]]로 유도되는, [[앵무조개]]처럼 생긴 도형. 영어로는 spiral of Theodorus[* 테오도로스 와선([[渦]][[線]])]라고 불린다. 무수히 많은 [[직각삼각형]]들이 한 점을 공유하며 회전하듯이 이어진다.

[[파일:제곱근노앵무조개.jpg|width=300&align=center]]

== 상세 ==
밑변과 높이가 [math(1)]인 [[직각삼각형]]에서 출발하여, 길이가 [math(\sqrt2)], [math(\sqrt3)], [math(\sqrt4)], [math(\cdots)]인 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형을 차례로 그려 나가면 [[앵무조개]]와 같은 기하학적 무늬가 나오는데, 이를 '''제곱근의 앵무조개'''라고 한다. 제곱근의 앵무조개에서 모든 직각삼각형의 밑변의 길이는 [math(1)]이다. [math(n)]번째 직각삼각형의 빗변의 길이는 [math((n+1))]번째 직각삼각형의 높이와 같고, 그 길이는 [math(\sqrt{n+1})]이다. 표로 정리하면 다음과 같다.

||<-3><table align=center><table bgcolor=#ffffff,#000000><rowbgcolor=#efefef,#555555> '''[math(\boldsymbol n)]번째 직각삼각형''' ||
||<rowbgcolor=#efefef,#555555> 밑변의 길이 || 높이의 길이 || 빗변의 길이 ||
|| [math(1)] || [math(\sqrt{n})] || [math(\sqrt{n+1})] ||
[[피타고라스 정리]]로 따져보면 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(1^2+(\sqrt n)^2 = (\sqrt{n+1})^2 = n+1)]}}}
이므로 관계가 성립한다. 나아가, [math(n)]은 [[자연수]]이므로 제곱근의 앵무조개는 한없이 많이 그릴 수 있다.

[[직각]]을 [[작도]]할 수 있고, [[컴퍼스]]를 사용하여 길이가 같은 선을 또 그릴 수 있기 때문에, 제곱근의 앵무조개는 '''작도 가능하다.''' 만약 직각삼각형의 변의 길이에 [math(\rm cm)] 따위의 [[단위]]를 붙인다면, 정확히 [math(1\rm cm)]를 작도하는 것은 눈금 없는 자로는 불가능하겠지만, 단위를 언급하지 않았기 때문에 첫째 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 어떻게 정하든 그것이 바로 [[단위길이]]가 되므로 문제가 없다.

한편 [math(n)]번째 직각삼각형까지 이어 붙였을 때, 회전한 각은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle
\sum_{k=1}^n \arctan \biggl( \frac1{\sqrt k} \biggr)
)]}}}
이고 [math(\arctan{x} > tx)] (단, [math(t<1)], [[실수(수학)|[math(t \in \mathbb{R})]]])가 성립하니 해당 급수는 발산하고, 이 조개 모양은 무한히 지속된다.

[[유클리드 노름|다른 시각]]으로 보면, 2차원에서부터 변 길이가 같은 위 단계 차원의 [[초입방체]]를 [[대각선]]에 붙인 꼴이다. 즉 처음 도형은 [[정사각형]], 두번째는 [[정육면체]], 세번째는 [[정팔포체]], [math(\cdots)]의 규칙인 셈이다.

== 연속 곡선 ==
이 문단에서는 편의를 위해 [[극좌표계]]를 사용한다.

1번째 직각삼각형을 [math(x)]축 위에 놓고, 반시계 방향으로 다음 직각삼각형들을 그려 나가면 [[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spiral_of_Theodorus.svg|이런 모습]]이 된다. 원점을 [math(P_0)]이라 하고, [math(n)]번째 직각삼각형에서 직각을 이루는 꼭짓점을 [math(P_n)]이라 하자. 또, [math(P_0)]의 편각을 [math(-\pi/2)]라고 정의하자. 그러면 [math(P_0)]의 좌표는
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
P_0 = \Bigl( 0, -\dfrac\pi2 \Bigr)
)]}}}||
이고, [math(n \ge 1)]인 자연수 [math(n)]에 대해 [math(P_n)]의 좌표는 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle
P_n = \Biggl( \!\sqrt n, \,\sum_{k=1}^{n-1} \arctan \frac1{\sqrt k} \Biggr)
)]}}}||
예를 들어서 [math(P_3)]까지의 좌표는 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
P_1 &= (1, 0) \\
P_2 &= \Bigl( \!\sqrt2, \frac\pi4 \Bigr) \\
P_3 &= \biggl( \!\sqrt3, \frac\pi4 + \arctan \frac1{\sqrt2} \biggr)
\end{aligned} )]}}}||

위 도형을 매끄럽게 연결한 곡선은 [[https://ko.wikipedia.org/wiki/테오도로스_와선#/media/파일:Theodorus_Wiki.svg|이 그림]]의 초록색 곡선이다.[* 파란색 곡선은 아래의 공식에서 음의 [math(x)]까지 확장해서 그린 곡선이다.] [math(x \ge 0)]인 실수 [math(x)]에 대해 [math(r(x))], [math(\theta(x))]를 다음과 같이 정의하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
r(x) &= \sqrt x \\
\theta(x) &= -\frac\pi4 + \arctan\sqrt x + \sum_{k=2}^\infty \biggl( \arctan\frac1{\sqrt k} - \arctan\frac1{\sqrt{k-1+x}} \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
그러면, 위의 초록색 곡선은 [math(P(x) = (r(x), \theta(x)))]로 나타낼 수 있다.[*출처 Waldvogel, Jörg (2009), [[https://people.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf|Analytic Continuation of the Theodorus Spiral]]. 링크를 누르면 pdf 파일이 열린다. 파일의 9번 식과 15번 식이 바로 위 수식의 [math(r(x))]와 [math(\theta(x))]이다.] 이 공식에 [math(n \ge 0)]인 정수 [math(n)]을 대입하면 [math(P(n) = P_n)]이 되는 것을 확인할 수 있다. 예를 들어서, 위 공식에 [math(x=0, 1, 2, 3)]을 대입하면 차례로 [math(P_0)], [math(P_1)], [math(P_2)], [math(P_3)]이 나오는 것을 확인할 수 있다. [math(r(n))]에 대한 증명은 자명하므로 [math(\theta(n))]에 대한 증명만 소개한다. [math(n=0)]일 때와 [math(n\ge1)]일 때를 나눠서 증명한다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\theta(0) &= -\frac\pi4 +\sum_{k=2}^\infty \biggl( \arctan\frac1{\sqrt k} -\arctan\frac1{\sqrt{k-1}} \biggr) \\
&= -\frac\pi4 -\arctan\frac1{\sqrt{2-1}} \\
&= -\frac\pi2 \\
\theta(n) &= -\frac\pi4 + \arctan\sqrt n + \sum_{k=2}^\infty \biggl( \arctan\frac1{\sqrt k} - \arctan\frac1{\sqrt{n+(k-1)}} \biggr) \\
&= -\frac\pi4 + \arctan\sqrt n + \sum_{k=2}^n \arctan\frac1{\sqrt k} \\
&= -\frac\pi4 + \arctan\sqrt n + \arctan\frac1{\sqrt n} + \sum_{k=2}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} \\
&= -\frac\pi4 + \frac\pi2 + \sum_{k=2}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} \\
&= \frac\pi4 + \sum_{k=2}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} + \arctan\frac1{\sqrt 1} - \arctan\frac1{\sqrt 1} \\
&= \frac\pi4 + \sum_{k=1}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k} -\frac\pi4 \\
&= \sum_{k=1}^{n-1} \arctan\frac1{\sqrt k}
\end{aligned} )]}}}||